Skärpedjup

Endast ett litet område av bilden verkar skarpt - ett exempel på ett grunt skärpedjup.

35 mm kamera med möjlighet att avläsa skärpedjupet på distansringen beroende på f-talet (här på ett avstånd av 2 m och f-nummer 2,8 mellan ≈1,8 och ≈2,3 m.)

Tre APS -filmlådor vid olika f -stopp (f / 2.8 - f / 4 - f / 5.6 - f / 8 - f / 11 - f / 16)

Klippning av ett föremål genom grunt skärpedjup med hjälp av exemplet på en enda cyklist som lyfts ur gruppen

Det skärpedjup (ofta även kallad skärpedjup ) är ett mått på omfattningen av den kraftiga området i objektrymden av ett avbildande optiskt system . Termen spelar en central roll i fotografering och beskriver storleken på avståndsområdet inom vilket ett objekt avbildas tillräckligt skarpt. Som regel uppnås ett stort skärpedjup genom små bländaröppningar eller linser med kort brännvidd : allt ser mer eller mindre skarpt ut framifrån till baksidan. Motsatsen är den så kallade "filmutseendet", där skärpedjupet är litet ( grunt ): kameran drar den centrala figuren i fokus, möjligen bara en persons öga, medan allt framför och bakom det syns ut ur fokus. I fallet med skärpning, betyder djupt djupet på rummet , dvs riktningen bort från optiken .

Fältdjupet påverkas inte bara av valet av brännvidd och avståndsinställning utan också av bländaren : ju större bländare (litet f-tal ), desto mindre skärpedjup (och vice versa). När du ställer in avståndet (fokusering) på ett nära objekt, är objektutrymmet som optiskt fångas som skarpt från - till kortare än när du fokuserar på ett objekt som ligger längre bort. Att välja bländare är en del av exponeringsinställningen .

I datoranimering är skärpedjupet en optisk effekt som beräknas i efterhand i varje enskild bild och därför innebär avsevärd beräkning . Mestadels används den engelska termen skärpedjup (DOF) här.

I allmänhet används skärpedjup och skärpedjup synonymt. Termen ”skärpedjup” standardiserades för första gången 1970 (DIN 19040-3). Den bilddjup representerar motsvarigheten till skärpedjupet på bildsidan.

Geometriskt skärpedjup

Det finns i princip två olika arrangemang att skilja: camera obscura , som bara består av ett enda hålmembran , och ett linssystem, som också innehåller ett sådant membran, men också (åtminstone) ett objektiv (framför eller bakom membran), den producerar vanlig optisk avbildning .

Camera obscura

Camera obscura

Ljusstrålar som kommer från ett föremål faller genom nålhålet på bildplanet (en skärm, en film eller en kamerabildsensor). Beroende på membranets diameter blir dessa ljusstrålar mer eller mindre tjocka, koniska ljuskroppar. Genom att korsa bildplanet med en kon skapas en cirkel på planet, så kallade förvirringscirklar eller cirklar av suddighet (Z). De existerar för varje dimensionering av avstånden mellan objektet, bländaren och bilden; cirkelstorleken i bildplanet beräknas enligt satsens strålning . Påverkan av bländardiametern är helt enkelt proportionell : ju större hålet, desto större är oskärpa -cirkeln. Ett mindre hål krävs för en skarpare bild. Men om hålet reduceras för mycket lämnas området för geometrisk optik kvar och ljusets vågegenskaper framträder. Diffraktionseffekterna som uppstår blir starkare ju mindre hålet är. Detta leder till minskad skärpa . Således finns det en optimal håldiameter för en camera obscura. Förutom avbildningsegenskaperna måste denna optimering också ta hänsyn till att ju mindre hålets diameter, desto lägre ljusflöde och därmed längre exponeringstider .

Linssystem

Ett extra inbyggt objektiv säkerställer att i idealfallet sker en skarp bild på ett visst avstånd mellan bildplanet och objektivet. I denna position gäller ovannämnda felaktigheter inte och bländaren kan förstoras avsevärt i intresset av bättre ljusutbyte. Först när det gäller objektpunkter som ligger framför eller bakom denna skarpt avbildade position minskar denna skärpa och minskar med ökande avstånd till det värde som bländaren ensam skulle orsaka som en obscura camera. Mer exakt:

I geometrisk optik kan endast de punkterna återges som skarpa bildpunkter i bildplanet (film, chip) som ligger på planet som ligger inom objektivets avstånd från objektivet. Alla andra punkter som finns på plan som är närmare eller längre bort visas inte längre i bildplanet som punkter, utan som skivor, så kallade förvirringskretsar eller suddighet (Z).

Förvirringskretsar uppstår eftersom ljuskropparna som faller från linsen till bildplanet (filmen) är kottar. Genom att skär bildplanet med en kon skapas en cirkel på planet. Punkter som ligger nära varandra som inte finns i objektets plan avbildas av förvirringskretsar som ligger nära varandra och som överlappar och blandas i kantområdena, vilket skapar en suddig bild.

Den maximalt tolererbara cirkeln av förvirringsdiameter för en kamera för acceptans av skärpa betecknas med Z. Den absoluta storleken på den maximala förvirringscirkeln Z beror på inspelningsformatet, eftersom det är 1/1500 av diagonalen. Så länge de suddiga cirklarna inte blir större än Z ligger de under ögats upplösningsgräns och bilden anses vara skarp. Detta skapar intrycket av att bilden inte bara har ett fokusplan, utan också ett fokusområde. Ett begränsat skärpedjup är också problematiskt om fokusmätningen inte utförs direkt i bildplanet, utan med separata fokuseringsskivor eller fokusgivare , eftersom fokuseringsfel lätt kan uppstå på grund av toleranser i bildavståndet .

Följande tabell visar den maximala storleken på förvirringens cirklar beroende på inspelningsformatet för respektive kamera :

Beräkna skärpedjup

Enkel ekvation

Följande variabler krävs:

• linsens brännvidd , till exempel 7,2 mm${\ displaystyle f}$
• den f-nummer anger förhållandet mellan brännvidden till diametern på ingångspupillen, exempelvis 5,6. Ingångspupillen är den virtuella bilden av det fysiska membranet genom linssystemet framför objektet . Om membranet är framför hela linssystemet är det också ingångseleven. Nedan ersätts med i formlerna . Medan du kan läsa direkt från kamerans bländarring, är ett värde som korrigeras av elevskalan :${\ displaystyle k '= f / D_ {E}}$${\ displaystyle D_ {A}}$${\ displaystyle f / k}$${\ displaystyle k '}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ beta = D_ {A} / D_ {E}}$${\ displaystyle k = k '/ \ beta}$
• objektavståndet (avståndet för det fokuserade objektplanet från det främre huvudplanet), till exempel 1000 mm${\ displaystyle g}$
• den diametern för cirkeln för förväxling , exempelvis 0,006 mm.${\ displaystyle Z}$
• avståndet för objektets bildpunkt i nära eller fjärrpunkten till bildplanet för inställningsområdet${\ displaystyle db}$

För att approximera kan följande formel användas som formatdiagonalen för inspelningsformatet i mm och som antalet punkter som ska särskiljas längs diagonalen: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {d} {N}} \ approx {\ frac {d} {1500}}}$

Denna approximation är baserad på antagandet att det mänskliga ögat kan lösa högst 1500 punkter över bilddiagonalen om visningsavståndet är ungefär detsamma som bilddiagonalen. För tekniska applikationer med högre bildupplösning kan det vara nödvändigt att välja betydligt högre. ${\ displaystyle N}$

Den linsekvationen

${\ displaystyle {\ frac {1} {b '}} + {\ frac {1} {g'}} = {\ frac {1} {b + db}} + {\ frac {1} {g '} } = {\ frac {1} {f}}}$

för det främre hyperfokala planet och

${\ displaystyle {\ frac {1} {b '}} + {\ frac {1} {g'}} = {\ frac {1} {b-db}} + {\ frac {1} {g '} } = {\ frac {1} {f}}}$

för det bakre hyperfokala planet. I synnerhet ger linsekvationen sambandet mellan bildavstånd och objektavstånd:

${\ displaystyle b = {\ frac {f \ cdot g} {gf}}}$.

Geometriska överväganden cirkel av förvirring , diametern på utgångspupillen och bildavstånden och med Einstellbildweite och bildavstånden på objektsidans avlägsna eller lokala punkter och bly med hänsyn till att man måste ha två ekvationer: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle D_ {A}}$${\ displaystyle b _ {-} = b-db _ {-}}$${\ displaystyle b _ {+} = b+db _ {+}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b _ {-}}$${\ displaystyle b _ {+}}$${\ displaystyle db _ {-} \ neq db _ {+}}$${\ displaystyle {\ frac {b _ { -}} {b _ { +}}} = {\ frac {D_ {A} -Z} {D_ {A} + Z}}}$

Representation av de grundläggande geometriska övervägandena för att härleda skärpedjupet. Startförhållandet för närpunkten kan härledas från de röda och gröna trianglarna, och det för den bortre punkten från de gula och blå trianglarna. Det bör noteras att skillnaderna (db) för när- och fjärrpunkten inte är desamma.

${\ displaystyle {\ frac {2 \ cdot (b \ pm db _ {\ pm})} {D_ {A}}} = {\ frac {2 \ cdot b} {D_ {A} \ mp Z}} = {\ frac {2 \ cdot b} {{\ frac {f} {k}} \ mp Z}} = {\ frac {2 \ cdot db _ {\ pm}} {Z}}}$

och du får:

${\ displaystyle db _ {\ pm} = {\ frac {b \ cdot k \ cdot Z} {f \ mp Z \ cdot k}} = {\ frac {\ frac {Z \ cdot k \ cdot f \ cdot g } {gf}} {f \ mp Z \ cdot k}}}$,

så att lösningen för objektavståndet för den främre eller bakre hyperfokalpunkten är: ${\ displaystyle g ^ {\ prime}}$

${\ displaystyle g ^ {\ prime} = {\ frac {f \ cdot \ left ({\ frac {f \ cdot g} {gf}} \ pm {\ frac {\ frac {Z \ cdot f \ cdot g} {gf}} {{\ frac {f} {k}} \ mp Z}} \ höger)} {\ vänster ({\ frac {f \ cdot g} {gf}} \ pm {\ frac {\ frac { Z \ cdot f \ cdot g} {gf}} {{\ frac {f} {k}} \ mp Z}} \ höger) -f}}}$.

Med hjälp av hjälpvariabler kan ekvationen lösas till: ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle g ^ {\ prime} = {\ frac {f \ cdot a_ {1}} {a_ {1} -f}}}$

med

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {f \ cdot g} {gf}} \ pm {\ frac {\ frac {Z \ cdot f \ cdot g} {gf}} {{\ frac {f} { k}} \ mp Z}} = {\ frac {f \ cdot g} {fg}} \ pm {\ frac {Z \ cdot f \ cdot g} {gf}} \ cdot {\ frac {k} {f \ mp Z \ cdot k}} = {\ frac {f \ cdot g} {gf}} \ cdot \ vänster (1 \ pm {\ frac {Z \ cdot k} {f \ mp Z \ cdot k}} \ höger) = {\ frac {f \ cdot g} {gf}} \ cdot a_ {2}}$

${\ displaystyle a_ {2} = 1 \ pm {\ frac {Z \ cdot k} {f \ mp Z \ cdot k}} = {\ frac {f \ mp Z \ cdot k \ pm Z \ cdot k} { f \ mp Z \ cdot k}} = {\ frac {f} {f \ mp Z \ cdot k}}}$

Nu får vi:

${\ displaystyle {\ frac {1} {a_ {1}}} = {\ frac {(f \ pm Z \ cdot k) \ cdot (gf)} {f ^ {2} \ cdot g}} = {\ frac {f \ cdot gf ^ {2} \ pm Z \ cdot k \ cdot gZ \ cdot k \ cdot f} {f ^ {2} \ cdot g}} = {\ frac {f \ cdot g} {f ^ {2} \ cdot g}} - {\ frac {f ^ {2} \ pm Z \ cdot k \ cdot (gf)} {f ^ {2} \ cdot g}} = {\ frac {f \ cdot g } {f ^ {2} \ cdot g}} - a_ {3}}$

med

${\ displaystyle a_ {3} = {\ frac {f ^ {2} \ pm Z \ cdot k \ cdot (gf)} {f ^ {2} \ cdot g}}}$,

då får vi för långt eller nära punkten av skärpedjupet:

${\ displaystyle g ^ {\ prime} = {\ frac {f} {1 -f \ cdot \ left ({\ frac {f \ cdot g} {f ^ {2} \ cdot g}} - a_ {3} \ höger)}} = {\ frac {f} {1-1 + a_ {3} \ cdot f}} = {\ frac {f} {a_ {3} \ cdot f}}}$.

Detta resulterar i:

${\ displaystyle g ^ {\ prime} = {\ frac {f ^ {2} \ cdot g} {f ^ {2} \ pm k \ cdot Z \ cdot (gf)}}}}$

På detta sätt, för ett givet objektavstånd , kan när- eller fjärrpunkten beräknas för en given bländare och cirkel av förvirringsdiameter . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g '}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle Z}$

Bildskalan för den rätlinjiga eller gnomiska projektionen ingår implicit i de första geometriska övervägandena: där ljusstrålens och R infallsvinkel är avståndet mellan bildpunkten och den optiska axeln. Fisheye -linser fungerar med andra utskjutningar för att uppnå en öppningsvinkel på 180 °, detta är inte möjligt med rätlinjiga linser. I princip finns det flera utsprång som tillåter en öppningsvinkel på 180 ° eller större för att uppnå, ett flertal av fisheye linserna arbetar med utsprånget equisoliden: . Det finns dock också linser med equidistant ( ) och stereografisk projektion ( ). Den senare typen är mycket komplex och därför vanligtvis också relativt dyr, men har fördelen att de typiska snedvridningarna är mer måttliga. Vad alla dessa linser har gemensamt är dock att härledningen av formeln för skärpedjupet inte gäller, eller bara i begränsad omfattning. En nödvändig förutsättning är att det fysiska membranet antingen ligger bakom linsen (diafragma är utgångspupillen), eller att linsens del på bildsidan visar membranet på ett gnomiskt sätt. Dessutom gäller det grundläggande antagandet för linsekvationen: på grund av de olika utsprången bara ungefär i närheten av den optiska axeln. Elevskalan får under inga omständigheter försummas. ${\ displaystyle R = f \ cdot \ tan (\ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle R = 2 \ cdot f \ cdot \ sin (\ alpha / 2)}$${\ displaystyle R = f \ cdot \ alpha}$${\ displaystyle R = 2 \ cdot f \ cdot \ tan (\ alpha / 2)}$${\ displaystyle {\ frac {B} {G}} = {\ frac {bf} {f}}}$

Avbildningsskalan för de gnomic projektions visar att derivatet av den funktion , nämligen vinkelupplösningen , är en funktion av infallsvinkeln . Eftersom de geometriska grundövervägandena helt uppenbart formulerades (faktorn 2 indikerar symmetriförhållanden) för förvirringskretsar i den optiska axeln, måste frågan undersökas om skärpedjupet är en funktion av infallsvinkeln. För varje infallsvinkel gäller följande förhållande mellan storleken på förvirringens cirkel och utgångselevens: ${\ displaystyle R = f \ cdot \ tan (\ alpha)}$${\ displaystyle {\ frac {dR} {d \ alpha}} = {\ frac {f} {\ cos ^ {2} (\ alpha)}}}}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ frac {Z} {db}} = {\ frac {{\ frac {D_ {A}} {2}} - B} {b -db}} + {\ frac {{\ frac {D_ {A}} {2}} + B} {b-db}} = {\ frac {D_ {A}} {b-db}}}$,

vilket som ett resultat motsvarar de första övervägandena. Således är skärpedjupet oberoende av infallsvinkeln.

Djupfältets egenskaper hos ett objektiv

Hyperfokalt avstånd

Olika strålvägar för att bestämma skärpedjupet. Det är fokuserat på det hyperfokala avståndet. Fjärrpunkten är alltså i oändlighet.

För de överväganden som nu följer måste vi vara tydliga med att objektavståndet inte anger avståndet för ett verkligt objekt från linsens huvudplan, utan justeringsavståndet på linsen för ett fiktivt objekt. det är dock alltid det avstånd från vilket bildavståndet kommer från objektivformeln . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle b}$

Från formeln för skärpedjupets fjärrpunkt:

${\ displaystyle d_ {f} = {\ frac {f ^ {2} \ cdot g} {f ^ {2} -k \ cdot Z \ cdot (gf)}}}}$

man kan se att om villkoret är uppfyllt, uppstår en singularitet. Justeringsområdet som uppfyller detta villkor kallas hyperfokalt avstånd: ${\ displaystyle f ^ {2} = k \ cdot Z \ cdot (gf)}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g = d_ {h} = {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} + f}$.

För specialfallet är de ungefärliga formlerna: ${\ displaystyle k \ cdot Z \ ll f}$

${\ displaystyle d_ {h} \ approx {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}}}$

Hyperfokalt avstånd är fokuseringsavståndet som resulterar i det största skärpedjupet.

Nära punkten

Olika strålvägar för att bestämma skärpedjupet. Fokusera innan hyperfokal borttagning. Fjärrpunkten är inte i det oändliga.

För ett givet inställningsområde , avståndet från huvudplanet hos linsen till nära punkten kan beräknas som: ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle d_ {n}}$

${\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {f ^ {2} \ cdot g} {f ^ {2} + k \ cdot Z \ cdot (gf)}}}}$

Från villkoret för singulariteten i formeln för fjärrpunkten vet vi: ${\ displaystyle d_ {f}}$

${\ displaystyle f ^ {2} = k \ cdot Z \ cdot (d_ {h} -f)}$,

så att för ett nära punktavstånd av: ${\ displaystyle g = d_ {h}}$

${\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {f ^ {2} \ cdot d_ {h}} {2 \ cdot f ^ {2}}} = {\ frac {d_ {h}} {2}}}$

resultat.

Närpunkten är därför på halva hyperfokalavståndet, och i detta fall avbildas objekt från oändlighet till halva hyperfokala avståndet med tillräckligt fokus. Det allmänna förhållandet mellan närpunkten och inställningsområdet erhålls genom att lägga till de ömsesidiga värdena för när- och fjärrpunkten:

${\ displaystyle {\ frac {1} {d_ {n}}} + {\ frac {1} {d_ {f}}} = {\ frac {f ^ {2} + f ^ {2}} {f ^ {2} \ cdot g}} = {\ frac {2} {g}}}$ .

För , vilket innebär att justeringsområdet motsvarar hyperfokalt avstånd ( ), får vi åter hälften av justeringsområdet för närpunkten. ${\ displaystyle 1 / d_ {f} = 0}$${\ displaystyle g = d_ {h}}$

En annan specifik och praktiskt relevant fråga handlar om vinsten i skärpedjup om fokus ligger på hyperfokalt avstånd istället för ett oändligt objektavstånd. För att kunna svara på denna fråga måste man räkna. Eftersom beräkningen med oändligheter har sina fallgropar, ersätts objektavståndet med: så att följande formel resulterar för närpunkten: ${\ displaystyle d_ {n} (g = \ infty)}$${\ displaystyle g = {\ frac {1} {\ gamma}}}$

${\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {f ^ {2}} {\ gamma \ cdot f ^ {2} + \ gamma \ cdot k \ cdot Z \ cdot ({\ frac {1} {\ gamma} } -f)}} = {\ frac {f ^ {2}} {\ gamma \ cdot f ^ {2} + k \ cdot Z- \ gamma \ cdot f}}}$.

Med: resultat för den närmaste punkten: . Genom att fokusera på det hyperfokala avståndet halveras det oskarpa området nästan. ${\ displaystyle \ gamma (\ infty) = \ lim _ {g \ to \ infty} {\ frac {1} {g}} = 0}$${\ displaystyle d_ {n} (\ infty) = {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} = d_ {h} -f}$

Lång punkt

I praktiken kommer situationen ofta att uppstå att en scen ska fotograferas som sträcker sig över ett begränsat djup av rymden. Frågan uppstår då om det optimala inställningsområdet som ger största möjliga skärpedjup för den givna scenen. För ett begränsat långt avstånd ${\ displaystyle g_ {E}}$

${\ displaystyle d_ {f} = {\ frac {f ^ {2} \ cdot g_ {E}} {f ^ {2} -k \ cdot Z \ cdot (g_ {E} -f)}}}}$justeringsområdet kan bestämmas genom att transformera och lösa ekvationen . Om mellanstegen: ${\ displaystyle g_ {E}}$

${\ displaystyle {\ frac {d_ {f} \ cdot k \ cdot Z} {f ^ {2}}} \ cdot (g_ {E} -f) = d_ {f} -g_ {E}}$och följande resultat för justeringsområdet: ${\ displaystyle ({\ frac {d_ {f} \ cdot k \ cdot Z} {f ^ {2}}} + 1) = (1 + {\ frac {k \ cdot Z} {f}}) \ cdot d_ {f}}$

${\ displaystyle g_ {E} = {\ frac {(1 + {\ frac {k \ cdot Z} {f}}) \ cdot d_ {f}} {{\ frac {d_ {f} \ cdot k \ cdot Z} {f ^ {2}}} + 1}}}$. Genom att förlänga fraktionen med : och ytterligare:${\ displaystyle {\ frac {f} {d_ {f}}}}$${\ displaystyle g_ {E} = {\ frac {f + k \ cdot z} {{\ frac {k \ cdot Z} {f}} + {\ frac {f} {d_ {f}}}}}}}$${\ displaystyle f + k \ cdot Z = ({\ frac {k \ cdot Z} {f}} + {\ frac {f} {d_ {f}}}) \ cdot g_ {E} = {\ frac { k \ cdot Z \ cdot d_ {f} + f ^ {2}} {f \ cdot d_ {f}}} \ cdot g_ {E}}$

Multiplicera ekvationen med och dividera med då ger:${\ displaystyle f \ cdot d_ {f}}$${\ displaystyle k \ cdot Z}$${\ displaystyle (d_ {f} + {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}}) \ cdot g_ {E} = ({\ frac {f} {k \ cdot Z}} + 1 ) \ cdot f \ cdot d_ {f} = ({\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot z}} + f) \ cdot d_ {f}}$

Genom att ersätta det hyperklara avståndet med det relativt tydliga förhållandet :, eller om påståendet är giltigt, kommer approximationen: ${\ displaystyle {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} + f}$${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle (d_ {f} + d_ {h} -f) \ cdot g_ {E} = d_ {h} \ cdot d_ {f}}$${\ displaystyle f \ ll d_ {h} \ lor f \ ll d_ {f} = true}$

${\ displaystyle g_ {E} \ approx {\ frac {d_ {f} \ cdot d_ {h}} {d_ {f} + d_ {h}}}}$.

Ett särskilt enkelt förhållande uppstår när och uttrycks i enheter ( ): ${\ displaystyle d_ {f}}$${\ displaystyle g_ {E}}$${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle d_ {f} = q \ cdot d_ {h}}$

${\ displaystyle g_ {E} \ approx {\ frac {q} {1 + q}}}$. Detta värde är aldrig större än ett, så inställningsområdet ligger alltid inom det hyperfokala avståndet.

Skärpedjup

Avstånden för de nära punkterna och avstånden för de avlägsna punkterna med tillhörande skärpedjup (mörk cyan) för olika objektavstånd ( blå) med ett givet hyperfokalt avstånd (rött) och en given brännvidd (violett). Längst till höger fokusplanet F (violett) och framför det huvudplanet för den optiska bilden H (grön). Bildplanet ligger till höger om brännplanet och visas inte i grafiken.${\ displaystyle d_ {n}}$${\ displaystyle d_ {f}}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d_ {h}}$ ${\ displaystyle f}$

Fältdjupet sträcker sig från den nära punkten till den bortre punkten med ${\ displaystyle \ Delta _ {d}}$${\ displaystyle d_ {n}}$${\ displaystyle d_ {f}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} = d_ {f} -d_ {n} = {\ frac {2 \ cdot f ^ {2} \ cdot g \ cdot k \ cdot Z \ cdot (gf)} {f ^ {4} -k ^ {2} \ cdot Z ^ {2} \ cdot (gf) ^ {2}}}}$,

så länge nämnaren tar positiva värden, vilket är synonymt med . ${\ displaystyle g <d_ {h}}$

Om det inställda objektavståndet är större än eller lika med hyperfokalavståndet ( ), är skärpedjupet oändligt eftersom fjärrpunkten då är oändlig. ${\ displaystyle g \ geq d_ {h}}$

Om det inställda objektavståndet är lika med brännvidden ( ) är skärpedjupet noll eftersom fjärrpunkten och närpunkten är identiska. Bilden ligger då i det oändliga. I makrofotografering med motsvarande stora bildskalor, oftast resulterar detta i mycket liten skärpedjup områden. ${\ displaystyle g = f}$

Om man nu vill uttrycka termen med , får vi: ${\ displaystyle k \ cdot Z}$${\ displaystyle d_ {h}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} = {\ frac {2 \ cdot f ^ {2} \ cdot g \ cdot {\ frac {f ^ {2}} {d_ {h} -f}} \ cdot (gf )} {f ^ {4} - {\ frac {f ^ {4}} {(d_ {h} -f) ^ {2}}} \ cdot (gf) ^ {2}}} = {\ frac { 2 \ cdot g \ cdot {\ frac {gf} {d_ {h} -f}}} {1 -{\ frac {(gf) ^ {2}} {(d_ {h} -f) ^ {2} }}}}}$.

Meningsfulla lösningar uppstår bara för , för nämnaren blir negativ med den meningslösa konsekvensen att närpunkten måste vara på ett större avstånd än den bortre punkten. ${\ displaystyle g <d_ {h}}$${\ displaystyle g> d_ {h}}$

Ytterligare transformation av ovanstående ekvation resulterar i:

${\ displaystyle \ Delta _ {d} = {\ frac {2 \ cdot g \ cdot (gf) \ cdot (d_ {h} -f)} {(d_ {h} -f) ^ {2} -(gf ) ^ {2}}} = {\ frac {2 \ cdot g \ cdot (gf) \ cdot (d_ {h} -f)} {d_ {h} ^ {2} -g ^ {2} -2 \ cdot f \ cdot (d_ {h} -g)}}}$.

Så länge brännvidden kan försummas jämfört med inställningsavståndet och hyperfokalavståndet ( ) förenklas formeln till följande approximationsekvation: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle d_ {h}> g \ gg f}$

${\ displaystyle \ Delta d \ approx {\ frac {2 \ cdot g ^ {2} \ cdot d_ {h}} {d_ {h} ^ {2} -g ^ {2}}} = {\ frac {2 } {{\ frac {d_ {h}} {g ^ {2}}} - {\ frac {1} {d_ {h}}}}}}}$.

Alternativt, i stället för termen , kan formlerna för långt och nära punkt också uttryckas med. Mellansteget ger då i princip samma resultat i en något smalare härledning. Denna härledning föreslår dock att endast kravet bör ställas på approximationen av och att en begränsning av inställningsbredden bör undvikas, så att approximationen är giltig för inställning av bredder. Tillnärmningen är då: ${\ displaystyle k \ cdot Z}$${\ displaystyle f ^ {2}}$${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle {\ frac {d_ {f} -d_ {n}} {d_ {h} -f}} = {\ frac {g} {d_ {h} -g}} -{\ frac {g} { d_ {h} + g-2 \ cdot f}}}$${\ displaystyle \ Delta d}$${\ displaystyle d_ {h} \ gg f}$${\ displaystyle d_ {h} \ gtrapprox g \ gtrapprox f}$

${\ displaystyle \ Delta d \ approx {\ frac {2 \ cdot g \ cdot d_ {h} \ cdot (gf)} {d_ {h} ^ {2} -g ^ {2}}}}$.

För att bestämma approximationens kvalitet beräknas det relativa felet först från förhållandet mellan det exakta värdet och approximationen: ${\ displaystyle \ Delta _ {r} (g)}$

${\ displaystyle \ Delta _ {r} (g) = {\ frac {\ frac {d_ {h} -f} {d_ {h}}} {\ frac {d_ {h} + g -2 \ cdot f} {d_ {h} + g}}}}$, och sedan överväga resultatet för gränsfall och : ${\ displaystyle g = d_ {h}}$${\ displaystyle g = f}$

${\ displaystyle \ Delta _ {r} (d_ {h}) = {\ frac {\ frac {d_ {h} -f} {d_ {h}}} {\ frac {2 \ cdot (d_ {h} - f)} {2 \ cdot d_ {h}}}} = 1}$och . ${\ displaystyle \ Delta _ {r} (f) = {\ frac {\ frac {d_ {h} -f} {d_ {h}}} {\ frac {d_ {h} -f} {d_ {h} + f}}} = {\ frac {d_ {h} + f} {d_ {h}}} = 1 + {\ frac {f} {d_ {h}}}}$

Detta betyder att å ena sidan, i gränsfallet, närmar sig approximationen till det exakta värdet och antar det också. Å andra sidan resulterar det andra gränsfallet i värden som begränsas uppåt av det relativa felet för approximationsformeln för hyperfokalt avstånd. För ett objektiv med en brännvidd på 50 mm, förutsatt ett maximalt relativfel på 0,2% resultat . ${\ displaystyle g \ approxeq d_ {h}}$${\ displaystyle g = d_ {h}}$${\ displaystyle g \ approxeq f}$${\ displaystyle {\ frac {1} {k \ cdot Z}} = 10}$

Generaliserad formalism

Utgångspunkten för en generaliserad övervägande av fakta är återigen ekvationerna för när- och fjärrpunkten för skärpedjupet. Genom att minska ekvatorns högra sida med faktorn får vi: ${\ displaystyle k \ cdot Z}$

${\ displaystyle g '= {\ frac {{\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} \ cdot g} {{\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} \ pm (gf)}} = {\ frac {(d_ {h} -f) \ cdot g} {d_ {h} -f \ pm (gf)}}}}$

Genom att normalisera hyperfokalavståndet till ett, skulle följande resultera för skärpedjupets längsta punkt: och anta approximationen . ${\ displaystyle d_ {f} = {\ frac {(1-f) \ cdot g} {1-g}}}$${\ displaystyle f \ ll d_ {h}}$${\ displaystyle d_ {f} \ approx {\ frac {g} {1-g}}}$

Tyvärr finns det en något mer komplex relation för närpunkten, eftersom brännvidden inte försvinner i nämnaren. Det verkar därför vara mer förnuftigt, i stället för att normalisera till hyperfokalt avstånd , till dess approximation , vilket är tillåtet, eftersom normaliseringen kan väljas fritt. ${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}}}$

${\ displaystyle g '= {\ frac {g} {1 \ pm (gf)}}}$.

Den nödvändiga förutsättningen för approximation är nu dock: . Förenklingen av formalismen betalas av det faktum att approximationen inte längre gäller för små objektavstånd, särskilt för makrofotografering. Följande resultat resulterar sedan för nära och fjärran punkten: och . För då resulterar de kända relationerna: och . ${\ displaystyle f \ ll g}$${\ displaystyle d_ {n} \ approx {\ frac {g} {1 + g}}}$${\ displaystyle d_ {f} \ approx {\ frac {g} {1-g}}}$${\ displaystyle g = 1}$${\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle d_ {f} = \ infty}$

Normalisering till det exakta hyperfokala avståndet leder också till approximationen med approximationen för fjärrpunkten ( ) med hjälp av det allmänna förhållandet mellan nära och fjärrpunkt ( ) , men begränsningen är inte uppenbar med denna härledning . ${\ displaystyle d_ {f} \ approx {\ frac {g} {1-g}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {d_ {f}}} + {\ frac {1} {d_ {n}}} = {\ frac {2} {g}}}$${\ displaystyle d_ {n} \ approx {\ frac {g} {1 + g}}}$${\ displaystyle f \ ll g}$

Denna generaliserade formalism kan användas på ett enkelt sätt och oberoende av enhetskonstanter eller inställningar. För skärpedjupet resulterar det nu i:

${\ displaystyle \ Delta d = d_ {f} -d_ {n} \ approx {\ frac {g} {1 -g}} -{\ frac {g} {1 + g}} = {\ frac {g + g ^ {2}-(gg ^ {2})} {1-g ^ {2}}} = {\ frac {2 \ cdot g ^ {2}} {1-g ^ {2}}}}$. Ett resultat som redan har härletts ovan, men inte i denna puristiska form.

Områdena för skärpedjupet framför och bakom objektavståndet kan nu beräknas lika enkelt:

${\ displaystyle \ Delta d_ {f} = d_ {f} -g \ approx {\ frac {g} {1 -g}} -g = {\ frac {g ^ {2}} {1 -g}}}$ och

${\ displaystyle \ Delta d_ {n} = g -d_ {n} \ approx g - {\ frac {g} {1 + g}} = {\ frac {g ^ {2}} {1 + g}}}$

Förhållandet mellan fokusområdena framför och bakom objektavståndet resulterar sedan i:

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta d_ {f}} {\ Delta d_ {n}}} = {\ frac {1 + g} {1-g}}}$.

För små objektavstånd ( dvs. objektavståndet är litet i förhållande till hyperfokalt avstånd) sträcker fokusområdet sig ungefär lika framför och bakom objektavståndet. Med ökande objektavstånd divergerar förhållandet mycket snabbt och för (objektavstånd större än hyperfokalt avstånd) finns det inte längre några meningsfulla lösningar, eftersom fokuspunktens fjärrpunkt då är oändligt. ${\ displaystyle g \ ll 1}$${\ displaystyle g \ geq 1}$

En närmare titt på förhållandet mellan objektavstånd och fjärrpunkt å ena sidan ( ) och nära punkt- och objektavstånd å andra sidan ( ) avslöjar likheten i relationerna. I synnerhet kan det ses att när justeringsområdet reduceras till avståndet från den föregående närpunkten, är den nya fjärrpunkten på avståndet från det föregående objektavståndet. En sekvens av efterföljande skärpedjupsområden med: och därmed resultat för varje långt punktavstånd . Speciellt uppstår om resultatet blir . ${\ displaystyle g \ approx {\ frac {d_ {f}} {1 + d_ {f}}}}$${\ displaystyle d_ {n} \ approx {\ frac {g} {1 + g}}}$${\ displaystyle d_ {f_ {0}} <\ infty}$${\ displaystyle d_ {f_ {i + 1}} \ approx g_ {i} \ approx d_ {n_ {i-1}}}$${\ displaystyle g_ {i + 1} = {\ frac {g_ {i}} {1 + g_ {i}}}}$${\ displaystyle g_ {0} = 1}$${\ displaystyle g_ {i} \ approx {\ frac {1} {i + 1}}}$

Den generaliserade formalismen gjorde det möjligt att drastiskt minska komplexiteten hos formlerna, men genom att eliminera linsparametrarna är det inte längre möjligt att diskutera deras inflytande på graden av skärpa. Det bör också noteras att normaliseringen innebär att alla mängder är måttlösa. För att få metriska storlekar måste ekvationerna multipliceras med hyperfokalt avstånd.

Makrofotografering

Inom makrofotografering är målet att återge ett objekt som är mycket stort och i detalj. Objektiv speciellt utformade för detta ändamål uppnår ofta ett bildförhållande på 1: 1, d.v.s. H. bilden på sensorn / filmen motsvarar storleken på det avbildade objektet. Objektavståndet är då i storleksordningen för brännvidden. Linsekvationen visar att med ett bildförhållande på 1: 1 är objektavståndet exakt dubbelt brännvidden.

Avbildningsskala bestämmer förhållandet mellan objektavstånd till bildavstånd och därför över linsen formeln, förhållandet mellan objektavstånd och brännvidd: . ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {B} {G}} = {\ frac {b} {g}}}$${\ displaystyle g = f \ cdot (1+ \ beta ^ {- 1})}}$

Sålunda termen kan substitueras med. Förhållandet resulterar sedan för skärpedjupet: ${\ displaystyle gf}$${\ displaystyle f \ cdot \ beta ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} = {\ frac {2 \ cdot f ^ {4} \ cdot k \ cdot Z \ cdot \ beta ^ {- 1} \ cdot (1+ \ beta ^ {- 1}) } {f ^ {4} -k ^ {2} \ cdot Z ^ {2} \ cdot f ^ {2} \ cdot \ beta ^ { - 2}}} = {\ frac {2 \ cdot k \ cdot Z \ cdot \ beta ^ {- 1} \ cdot (1+ \ beta ^ {- 1})} {1- {\ frac {k ^ {2} \ cdot Z ^ {2} \ cdot \ beta ^ {- 2 }} {f ^ {2}}}}}}$.

Så länge som ojämlikheten håller kan den andra termen i nämnaren försummas och följande approximation resulterar: ${\ displaystyle k \ cdot Z \ cdot \ beta ^ {- 1} \ ll f}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} \ approx {\ frac {2 \ times k \ times Z \ times (1+ \ beta ^ {- 1})} {\ beta}} = {\ frac {2 \ times k \ cdot Z \ cdot (\ beta +1)} {\ beta ^ {2}}}}$.

För makrofotografering resulterar detta i en bra approximation för skärpedjupet, vilket inte innehåller något uttryckligt beroende av brännvidden och istället beror på bildskalan.

För förstoringsförhållandet 1: 1 förenklar formeln till . För en helbildskamera med en förvirringscirkel på 0,0288 mm och ett bländarvärde på 8 resulterar detta i ett skärpedjup på cirka 1 mm. ${\ displaystyle \ Delta _ {d} \ ca 4 \ gånger k \ gånger Z}$

Under dessa och det ytterligare antagandet att makroobjektivet har en brännvidd på 100 mm finns det en relativ avvikelse från den exakta formeln för . ${\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ {- 6}}$

Å andra sidan kan vara substituerad med. Efterföljande multiplikation av täljare och nämnare med resultat i: ${\ displaystyle {\ frac {k \ cdot Z} {f \ cdot \ beta}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {N}}}$${\ displaystyle N ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} = {\ frac {2 \ times k \ times Z \ times \ beta ^ {- 1} \ times (1+ \ beta ^ {- 1})} {1- {\ frac {1} {N ^ {2}}}}} = {\ frac {2 \ gånger k \ gånger Z \ gånger \ beta ^ {- 1} \ gånger (1+ \ beta ^ {- 1}) \ gånger { \ frac {f ^ {2}} {k ^ {2} \ cdot Z ^ {2}}} \ cdot \ beta ^ {2}} {N ^ {2} -1}} = {\ frac {2 \ cdot (\ beta +1) \ cdot (d_ {h} -f)} {N ^ {2} -1}}}$.

Med kan försummas motsatt och motsatt och följande approximation uppfylls väl för makrofotografering: ${\ displaystyle k \ cdot Z \ cdot \ beta ^ {- 1} \ ll f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle N ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} \ approx {\ frac {2 \ cdot (\ beta +1) \ cdot d_ {h}} {N ^ {2}}}}$.

Utanför makrofotografering finns det en förenkling för tillräckligt små bildskalor ( ) till: ${\ displaystyle \ beta \ ll 1}$

${\ displaystyle \ Delta _ {d} \ approx {\ frac {2 \ cdot d_ {h}} {N ^ {2} -1}}}$.

Ett ungefär ömsesidigt kvadratiskt beroende av skärpedjupet på parametern ges praktiskt taget inte, eftersom felet som orsakas av approximationen ökar mycket snabbt med ökande värde (se nedan). ${\ displaystyle N \ gg 1}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

För den antagna här, mycket små förstoringar ( ) approximationen är giltig följer: . ${\ displaystyle \ beta \ ll 1}$${\ displaystyle \ beta = {\ frac {f} {gf}} \ approx {\ frac {f} {g}}}$${\ displaystyle N \ approx {\ frac {d_ {h}} {g}}}$

För exakt bestämning av bestäms av de ovanstående formlerna för heras följande förhållande: . Genom att förkorta och multiplikation med förhållandet har vi: . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ Delta _ {d}}$${\ displaystyle {\ frac {k \ cdot Z \ cdot N ^ {2}} {\ beta ^ {2} \ cdot (N ^ {2} -1)}} = {\ frac {d_ {h} -f } {N ^ {2} -1}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ beta} {\ beta +1}} = {\ frac {f} {g}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ beta \ cdot k \ cdot Z \ cdot N ^ {2}} {(\ beta +1) \ cdot \ beta ^ {2}}} = {\ frac {(d_ {h} ) -f) \ cdot f} {g}}}$

Genom genom lämplig matematisk transformation ställs in och sedan förkortning uppstår: . ${\ displaystyle N ^ {2} = {\ frac {\ beta \ cdot f} {k \ cdot Z}} \ cdot N}$${\ displaystyle N = {\ frac {d_ {h} -f} {g}} \ cdot (\ beta +1) = {\ frac {d_ {h} -f} {gf}}}$

Om justeringsområdet motsvarar hyperfokalt avstånd gäller följande två villkor: och . Sålunda erhållna från ovanstående ekvation: och avbildningsskalan i hyperfokalavståndet: . ${\ displaystyle N = 1}$${\ displaystyle d_ {h} = g}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ beta +1}} = 1 - {\ frac {f} {d_ {h}}} = 1 - {\ frac {1} {{\ frac {f} {k \ cdot z}} + 1}} = {\ frac {f} {f + k \ cdot Z}} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {k \ cdot Z} {f}}}} }$${\ displaystyle \ beta _ {d_ {h}} = {\ frac {k \ cdot Z} {f}}}$

Beroenden

Sensorn är diagonal som parameter

Av approximationsformeln för hyperfokalavståndet kan man enkelt se att detta ökar och skärpedjupet minskar när brännvidden ökar, f-talet blir mindre (eller bländaren större) eller förvirringens cirkel bör vara mindre. ${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle Z}$

Förhållande mellan bildvinkel , bildavstånd och bilddiagonal${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle d}$

Om du vill parametrisera hyperfokalt avstånd enligt bilddiagonalen är antagandet med avseende på beskärningsfaktorn att förhållandet mellan brännvidden och sensordiagonal är en konstant så länge bildens öppningsvinkel inte ändras. Det detaljerade övervägandet är baserat på formeln för den gnomiska eller rätlinjiga projektionen , som beskriver förhållandet mellan ljusets infallsvinkel och avståndet mellan bildpunkten och den optiska axeln. För en bildcirkel med en öppningsvinkel (där den önskade bildvinkeln är avgörande för perspektivbildseffekten) resulterar förhållandet: ${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle R = f \ cdot \ tan (\ beta)}$${\ displaystyle \ alpha = 2 \ cdot \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle f = {\ frac {d} {2 \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}},}$

Observera att när du fokuserar på bildavståndet , ändras avståndet mellan linsen och sensorn, och därmed också bildens öppningsvinkel. Ett tillvägagångssätt som förutsätter ett förhållande mellan b och d strider därför mot de initiala kraven. Om du ansluter detta till ekvationen för hyperfokalt avstånd får du: ${\ displaystyle b \ neq f}$

${\ displaystyle d_ {h} = {\ frac {d ^ {2}} {4 \ cdot k \ cdot Z \ cdot \ tan ^ {2} \ vänster ({\ frac {\ alpha} {2}} \ höger )}} + {\ frac {d} {2 \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}} = d \ cdot ({\ frac {N} {4 \ cdot k \ cdot \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}} + {\ frac {1} {2 \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ alpha } {2}} \ höger)}}))}$

eller för ungefärliga resultat: ${\ displaystyle k \ cdot Z \ ll f}$

${\ displaystyle d_ {h} \ approx {\ frac {d \ cdot N} {4 \ cdot k \ cdot \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}} }$

Detta innebär att hyperfokalavståndet ökar linjärt med bilddiagonalen om f-talet , antalet pixlar på bilddiagonalen och bildvinkeln hålls konstanta. Det går också att läsa av formeln att ju mindre f-talet eller synvinkeln är, desto mindre är skärpedjupet. Allt annat lika har vidvinkelobjektiv ett större skärpedjup än teleobjektiv , eller så är hyperfokalavståndet mindre med vidvinkelobjektiv än med teleobjektiv. ${\ displaystyle d_ {h}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ alpha}$

Vidare kan det konstateras att skärpedjupet alltid är detsamma med ett konstant förhållande mellan bildsensor diagonal och f-tal med samma bildvinkel och samma antal acceptabla förvirringskretsar. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle k}$

Efterföljande skärpedjup

Om inställningsområdet minskas på ett sådant sätt att skärpedjupets fjärrpunkt motsvarar det hyperfokala avståndet, resulterar en intressant serie efterföljande djup av fältområden. Utgångspunkten för övervägandet är att en minskning av inställningsområdet leder till det önskade resultatet, då med q gånger inställningsområdet blir nämnaren i formeln för avståndet till fjärrpunkten noll och följande förhållande uppstår: ${\ displaystyle g = d_ {h} / q}$

${\ displaystyle d_ {f} = d_ {h} = {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} \ cdot {\ frac {1} {q-1}} = (d_ {h} -f) \ cdot {\ frac {1} {q-1}}}$och det följer :, där approximationen är giltig under villkoret . Detta innebär att det nya justeringsområdet motsvarar ungefär hälften av hyperfokalavståndet, dvs ligger på avståndet från den tidigare närpunkten. Upprepa processen j gånger resulterar i: ${\ displaystyle q = 2 - {\ frac {f} {d_ {h}}} \ approx {2}}$${\ displaystyle f \ ll d_ {h}}$

${\ displaystyle d_ {f} = {\ frac {d_ {h}} {q_ {j-1}}} = {\ frac {f ^ {2}} {k \ cdot Z}} \ cdot {\ frac { 1} {q_ {j} -1}} = (d_ {h} -f) \ cdot {\ frac {1} {q_ {j} -1}}}$och från detta igen . Eller: ${\ displaystyle q_ {j} = q_ {j-1} +1-{\ frac {f} {d_ {h}}} \ cdot q_ {j-1} \ approx q_ {j-1} +1}$

${\ displaystyle q_ {j} = \ sum _ {i = 0} ^ {j -1} 1 - {\ frac {f} {d_ {h}}} \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {j -1} q_ {i} \ approx j}$.

Avståndet till närmaste punkt erhålls sedan från avståndet till den längsta punkten till: där den extra termen kräver en ytterligare approximation i nämnaren , är detta uppenbarligen inte längre närvarande i intervallet makrofotografering, eftersom förstoringen resulterar i förhållandet : . ${\ displaystyle {\ frac {d_ {n}} {d_ {f}}} = {\ frac {q-1} {q + 1-2 \ cdot {\ frac {f} {g}}}} \ approx {\ frac {q-1} {q + 1}}}$${\ displaystyle g \ gg f}$${\ displaystyle \ beta = {\ texttt {1: 1}}}$${\ displaystyle {\ frac {d_ {n}} {d_ {f}}} = {\ frac {q-1} {q}}}$

Detta resulterar i en sekvens av fältdjupsområden för heltal, vars avståndspunkter är ungefär vid och närpunkterna är ungefär på när fokus ligger på ett avstånd från . ${\ displaystyle j \ geq 2}$${\ displaystyle d_ {h} / (j-1)}$${\ displaystyle d_ {h} / (j + 1)}$${\ displaystyle d_ {h} / n}$

Giltighetstiden för approximation reduceras snabbt med ökande j, eftersom felet ständigt ackumuleras: . För en fullformatskamera med ett standardobjektiv ( ) som är vanligt där är faktorn framför summan med en inställd bländare på ca 0,005, dvs summan måste förbli betydligt mindre än 200, men den växer stadigt . Summan kan enkelt beräknas från de ungefärliga värdena för , eftersom positiva heltalsvärden resulterar: ${\ displaystyle \ Delta {q_ {j}} = {\ frac {f} {d_ {h}}} \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {j-1} q_ {i}}$${\ displaystyle f = 50 {\ textbf {mm}}}$${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle q_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {j-1} q_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {j} i = {\ frac {j ^ {2} + j} {2 }}}$. Om det acceptabla felet är begränsat till 10%får summan inte överstiga 20. Resultatet för ligger då redan utanför det acceptabla intervallet. ${\ displaystyle j = 6}$

Den approximation som redan härleddes ovan resulterar igen med. Med den felanalys som anges här visades det att approximationen endast kan användas i begränsad omfattning. ${\ displaystyle \ Delta d = d_ {f} -d_ {n} \ approx {\ frac {d_ {h}} {j -1}} -{\ frac {d_ {h}} {j + 1}} = d_ {h} \ cdot {\ frac {j + 1- (j-1)} {(j-1) \ cdot (j + 1)}} = {\ frac {2 \ cdot d_ {h}} {j ^ {2} -1}}}$

Exempel på närsynthet

Om ögat hos en person med normal eller långsynthet är fokuserat på hyperfokalavståndet, avbildas området från halva hyperfokala avståndet till oändligheten tillräckligt skarpt. Det är annorlunda med närsynta människor som på grund av sin närsynthet bara kan fokusera upp till ett maximalt avstånd och hyperfokalavståndet därför ofta inte kan nås.

En normal brytningskraft för ögat på 59 dioptrar antogs för beräkningen . Detta resulterar i en normal brännvidd på 16,9 millimeter och en bildcirkeldiameter på 14,6 millimeter. Om vi ​​antar att antalet prickar på skärmens diagonal är 1500, är ​​diametern på den acceptabla förvirringskretsen 9,74 mikrometer. Med okorrigerad närsynthet kan ögat bara fokusera på ett maximalt objektavstånd , vilket beror på den faktiska brytningskraften med hjälp av bildekvationen , som vanligtvis anges som den negativa dioptri -skillnaden : ${\ displaystyle \ Phi _ {\ text {normal}}}$ ${\ displaystyle f _ {\ text {normal}} = {\ frac {1} {\ Phi _ {\ text {normal}}}}}}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Delta \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {\ text {normal}} - \ Delta \ Phi}$

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {\ Phi}}}$

${\ displaystyle g = {\ frac {1} {{\ frac {1} {f}} - {\ frac {1} {f _ {\ text {normal}}}}}} = {\ frac {1} {\ Phi - \ Phi _ {\ text {normal}}}} = - {\ frac {1} {\ Delta \ Phi}}}$

Följande tabell visar skärpedjupet för tre olika ljussituationer och f-stop-nummer för ögat som exempel:

• F-nummer : bred pupil (diameter = 4,2 millimeter i mörka omgivningar)${\ displaystyle k = 4}$
• F-nummer : mellersta pupillen (diameter = 2,1 millimeter i mittområdet)${\ displaystyle k = 8}$
• F-nummer : liten elev (diameter = 1,1 millimeter i ljus miljö)${\ displaystyle k = 16}$

När fjärrpunkten når oändligheten är ögat fokuserat på hyperfokalt avstånd och det är inte längre nödvändigt att fokusera ännu större avstånd för skarp syn.

Ametropia i dpt${\ displaystyle \ Delta \ Phi}$		0	−0,25	−0,5	−0,75	−1	−1,5	−2	−3	−5	−10
Brännvidd i m${\ displaystyle f}$		0,0169	0,0169	0,0168	0,0167	0,0167	0,0165	0,0164	0,0161	0,0156	0,0145
	F-nummer ${\ displaystyle k}$
Hyperfokalt avstånd i m${\ displaystyle d_ {h}}$	4: e	7,39	7.33	7.27	7.21	7.15	7.03	6,91	6,69	6.28	5,41
Maximalt objektavstånd i m${\ displaystyle g}$	4: e	7,39	4,00	2,00	1.33	1,00	0,67	0,50	0,33	0,20	0,100
Nära punkt i m${\ displaystyle d_ {n}}$	4: e	3,70	2.59	1.57	1.13	0,88	0,61	0,47	0,32	0,19	0,098
Lång punkt i m${\ displaystyle d_ {f}}$	4: e	∞	8,76	2,75	1,63	1.16	0,73	0,54	0,35	0,21	0,102
Fältdjup i m${\ displaystyle \ Delta _ {d}}$	4: e	∞	6.17	1.18	0,50	0,28	0,12	0,07	0,03	0,01	0,003
Hyperfokalt avstånd i m${\ displaystyle d_ {h}}$	8: e	3,70	3,67	3,64	3,61	3.58	3.52	3,47	3,35	3.15	2,71
Maximalt objektavstånd i m${\ displaystyle g}$	8: e	3,70	3,67	2,00	1.33	1,00	0,67	0,50	0,33	0,20	0,100
Nära punkt i m${\ displaystyle d_ {n}}$	8: e	1,86	1,84	1.29	0,98	0,78	0,56	0,44	0,30	0,19	0,097
Lång punkt i m${\ displaystyle d_ {f}}$	8: e	∞	∞	4,39	2.10	1,38	0,82	0,58	0,37	0,21	0,103
Fältdjup i m${\ displaystyle \ Delta _ {d}}$	8: e	∞	∞	3.10	1.12	0,59	0,25	0,14	0,06	0,02	0,006
Hyperfokalt avstånd i m${\ displaystyle d_ {h}}$	16	1,86	1,84	1.83	1.81	1,80	1,77	1,74	1,69	1,58	1,36
Maximalt objektavstånd i m${\ displaystyle g}$	16	1,86	1,84	1.83	1.33	1,00	0,67	0,50	0,33	0,20	0,100
Nära punkt i m${\ displaystyle d_ {n}}$	16	0,93	0,93	0,92	0,77	0,65	0,49	0,39	0,28	0,18	0,094
Lång punkt i m${\ displaystyle d_ {f}}$	16	∞	∞	∞	4,86	2.21	1,05	0,69	0,41	0,23	0,107
Fältdjup i m${\ displaystyle \ Delta _ {d}}$	16	∞	∞	∞	4.09	1.56	0,57	0,30	0,13	0,05	0,013

Wave optiskt skärpedjup

Alla optiska bilder begränsas av diffraktion , så att en enda punkt aldrig kan mappas på en punkt, utan endast på en diffraktionsskiva (eller Airy disk ). Skärpa mellan separationen mellan två angränsande diffraktionsskivor definierar en maximalt tillåten cirkel av förvirring, analog med fotografisk film. Enligt Rayleigh -kriteriet måste intensiteten mellan två närliggande pixlar sjunka med 20 procent för att anses vara skarp. Storleken på diffraktionsskivan beror på ljusets våglängd. Rayleighs skärpedjup definieras som det område inom vilket bildstorleken inte ändras, dvs ständigt motsvarar det minsta möjliga (dvs. diffraktionsbegränsade) värdet:

${\ displaystyle d_ {R} = {\ frac {\ lambda} {2 \, n \ sin ^ {2} u}}}$

Här är den våglängd , n den brytningsindex och u den öppningsvinkeln för det avbildande systemet. ${\ displaystyle \ lambda}$

Rayleigh-skärpedjupet är relevant i diffraktionsbegränsade optiska system, till exempel i mikroskopi eller i fotolitografi . Inom fotografering märks en vågoptisk suddighet bortom den fördelaktiga bländaren i bilden. ${\ displaystyle {k_ {f}}}$

${\ displaystyle k_ {f} = {\ frac {Z} {1 {,} 22 \, \ lambda \, (\ beta +1)}}}}$

Här är den högsta tillåtna oskärpecirkel, den bildskalan och den våglängd . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ lambda}$