Portföljsteori

Den portföljteori är en gren av kapitalmarknaden teori och undersöker investeringsbeteende kapitalmarknaderna (t.ex.. B. börsen ). Modern portföljteori går tillbaka till ett arbete av den amerikanska ekonomen Harry M. Markowitz från 1952. Han gjorde vissa antaganden om investerarnas beteende och fick därmed uttalanden om investeringsbeteendet. Hans arbete var revolutionerande när det publicerades och 1990 fick han Nobelpriset för ekonomi för det . Senare utveckling som den enskilda indexmodellen , kapitalprissättningsmodellen och arbitragepristeorin som är utbredd idag är ytterligare utveckling av Markowitzs portföljvalsteori.

Den utökade frågan om portföljval, samtidigt som man tar hänsyn till konsumenternas beslut, ger konsumentinvesteringsproblemet .

Översikt

Markowitz motiverades av följande frågor:

1. Han ville vetenskapligt motivera och kvantifiera beslutet att diversifiera risken för investerare.
2. Han ville bestämma vilka och hur många värdepapper som ska ingå i en optimal portfölj .

För första gången gav Markowitz teoretiska bevis för diversifieringens positiva effekt på risken och avkastningen för den totala portföljen. Eftersom riskerna med de enskilda investeringarna är olika är de lägre i hela portföljen (se korrelation ).

För att göra bästa möjliga användning av avkastning och risker vid val av investeringar i en portfölj utvecklade Markowitz en matematisk metod för att bestämma effektiva portföljer.

Målsättning

Syftet med portföljteorin är att ge instruktioner för "bästa möjliga" kombination av investeringsalternativ för att skapa en optimal portfölj . I denna optimala portfölj beaktas investerarens preferenser med avseende på risk och avkastning samt likviditet . Detta är avsett att minimera risken för en värdepappersportfölj utan att minska den förväntade avkastningen. En nödvändig förutsättning för detta är att värdepappren inte är helt korrelerade .

Portföljteorin är den teoretiska ramen för utövandet av portföljförvaltning .

Antaganden

Portföljteorin förutsätter en investerare vars beteende enbart baseras på kända finansiella data (t.ex. aktiemarknadskurs , utdelning , kassaflöde ) och som vill öka sina tillgångar. Han agerar rationellt och maximerar fördelar ( Homo Oeconomicus ): Detta innebär att han informerar sig om kapitalmarknadens realiteter och fattar ett beslut genom att väga möjligheter och risker mot varandra. Han undviker sig från risken (man talar också om riskaversion ). Riskavvikande beteende innebär att en högre risk endast accepteras om den förväntade avkastningen ökar oproportionerligt. Det har skett en intensiv debatt bland experter (baserat på Eugene Famas arbete med informationseffektivitet ) om frågan vilken information som kan erhållas från de observerbara uppgifterna på marknaden .

För att förenkla analysen antar man vidare att kapitalmarknaden är perfekt .

Kärnan i portföljteorin är skillnaden mellan systematisk och osystematisk risk. Alla värdepapper på marknaden är föremål för systematisk risk, så den kan inte diversifieras och är risken för själva investeringen. Den osystematiska risken å andra sidan är risken som kan minskas genom diversifiering , dvs. med ett ökande antal olika värdepapper.

Effektiva portföljer

En portfölj dominerar en annan portfölj om den förväntade avkastningen är större än eller lika med den andra portföljens och standardavvikelsen för dess värde är mindre än för den andra portföljen, eller om den förväntade avkastningen är större och standardavvikelsen är densamma . Det är omöjligt att en portfölj med samma sammansättning är inblandad. Standardavvikelsen är resultatet av prisfluktuationerna (spread) och är därför ett mått på portföljrisken. ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$

En portfölj kallas effektiv om den inte domineras av någon annan portfölj, dvs. H. om det inte finns någon annan portfölj som har lägre risk eller högre avkastning med samma förväntade avkastning.

Den effektivitet linjen är det geometriska var alla effektiva kombinationer risk och avkastning.

Effektiva portföljer med riskfria och riskabla värdepapper

Ett optimalt risk-avkastningsförhållande kan illustreras med två värdepapper. I denna situation bestäms den optimala strategin beroende på investerarens riskpreferens.

Vi betraktar en riskfri (avkastning :) och en riskabel säkerhet (avkastning ). Dessutom vill vi acceptera möjligheten till kort försäljning (LV). I de fall som behandlas beaktas en riskfylld säkerhet, som är föremål för pris- och fallrisk (även: valutarisk). Den riskfria investeringen kan simuleras av en statlig säkerhet. Varaktigheten måste matcha planeringsperioden . På detta sätt kan ränte- och fallissemangsrisker uteslutas för det riskfria instrumentet. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$

Fyra fall kan urskiljas:

1: a fallet: μ ₂ > r utan short selling

Avkastningen på den riskabla säkerheten är större än den riskfria räntan och det finns ingen kort försäljning. Det enda valet investeraren har är andelen av sina medel som de investerar i det riskabla papperet. Sedan flyter aktien in i den riskfria obligationen. ${\ displaystyle x \ in [0,1]}$${\ displaystyle 1-x}$

Den effektiva gränsen är en rak linje från avkastning-riskkombinationer, eftersom den totala avkastningen är sann ${\ displaystyle \ mu _ {x}}$

${\ displaystyle \ mu _ {x} = (1-x) r + x \ mu _ {2} = r + {\ frac {\ mu _ {2} -r} {\ sigma _ {2}}} \ cdot \ sigma _ {x}}$där med .${\ displaystyle \ sigma _ {x} = \ sigma _ {2} \ cdot x}$${\ displaystyle x \ in [0,1]}$

Detta betyder därför:

• Risk-avkastningsförhållandet är linjärt.
• Faktorn för portföljrisken motsvarar en standardiserad riskpremie. Detta är överavkastningen på det riskabla värdepapperet dividerat med dess risk.

I det här fallet 1 utan kort försäljning, är alla portföljer på den väg som anges av ekvationen; H. alla par , och effektiv. ${\ displaystyle \ mu _ {2}> r ~}$${\ displaystyle (\ mu _ {x}, \ sigma _ {x})}$${\ displaystyle x \ in [0,1]}$

Härledning

Sökt efter beror på blandningsförhållandet med . I allmänhet ${\ displaystyle (\ mu _ {x}, \ sigma _ {x})}$${\ displaystyle (1-x, x)}$${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 1}$

${\ displaystyle \ mu _ {x} = r (1-x) + \ mu _ {2} x = r + (\ mu _ {2} -r) x}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {(1-x) ^ {2} \ sigma _ {1} ^ {2} + x ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} + 2 \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} (1-x) x \ rho _ {1,2}}}}$, Där är den korrelationskoefficienten mellan avkastningen på tidningarna under övervägande.${\ displaystyle \ rho _ {12}}$

Det speciella fall som här behandlas härrör från det faktum att det första papperet, obligationen, är riskfritt, vilket matematiskt uttrycks av och följer av detta . ${\ displaystyle \ sigma _ {1} = 0}$${\ displaystyle \ sigma _ {x} = x \ sigma _ {2}}$

2: a fallet: μ ₂ > r med kort försäljning

Avkastningen på den riskabla säkerheten är större än den riskfria räntan och kort försäljning är tillåten. Matematiskt innebär tillåtelsen av kortförsäljning att andelen av de medel som investeras i riskpapper inte längre begränsas av intervallet [0.1]. När det gäller tillåten kortförsäljning kan man skilja mellan de två fall där den riskfria säkerheten eller den riskfyllda säkerheten säljs. ${\ displaystyle x}$

Kort försäljning av den riskfria tillgången

Den Hävstångseffekten består i det faktum att när den riskfria instrument är kortsluten, det förväntade värdet av portfölj ökar, men det gör risken i form av större diversifiering. Att kort sälja den riskfria obligationen innebär att man investerar fler medel i det riskfyllda papperet. För totalavkastningsresultat med . ${\ displaystyle x> 1}$${\ displaystyle \ mu _ {x}}$${\ displaystyle \ mu _ {x} = r (1-x) + \ mu _ {2} x = \ mu _ {2} + (\ mu _ {2} -r) \ cdot (x-1)}$${\ displaystyle x> 1}$

Kort försäljning av den riskabla tillgången

Den korta försäljningen av riskabelt papper innebär . Den totala avkastningen är därför mindre än den lägsta avkastningen . ${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle \ mu _ {x} = r + (\ mu _ {2} -r) \ cdot x}$${\ displaystyle r}$

Den formella processen består i att låna en aktie , sedan sälja den och investera de medel som erhållits på detta sätt i det riskfria papperet. Utlåning innebär att den som gör aktien tillgänglig för lån kommer att ersättas för alla betalningar (utdelningar) som härrör från ägandet av aktien, och att aktien kommer att återköpas på marknaden i slutet av perioden och återlämnas till den parten.

Kortsäljaren bär samma risk som en aktieägare och genererar i detta fall en lägre avkastning än vad man skulle kunna få utan risk. Därför är portföljer som skapas genom kortförsäljning av den riskfyllda tillgången inte effektiva i detta fall. ${\ displaystyle \ mu _ {2}> r}$

3: a fallet μ ₂ < r utan kort försäljning

Avkastningen på den riskabla säkerheten är lägre än den riskfria räntan och det finns ingen kort försäljning. För totalavkastningen gäller . ${\ displaystyle \ mu _ {x} = r- (r- \ mu _ {2}) \ cdot x, \, x \ i [0,1]}$

I det här fallet är en portfölj som bara investerar i det riskfria instrumentet effektiv eftersom genom att ta en ökad risk, det vill säga genom att göra ett val , minskar avkastningen. ${\ displaystyle x> 0}$

Fjärde fallet μ ₂ < r med kort försäljning

Kort försäljning är tillåten: Genom att kort sälja det riskfyllda instrumentet, dvs genom att göra ett val , kan portföljavkastningen ökas efter behag, naturligtvis bara med en samtidig ökning av den totala risken som orsakas av kortförsäljningen. ${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle \ mu _ {x} = r + (r- \ mu _ {2}) \ cdot (-x)}$

Effektiva portföljer med två riskabla aktier

Följande fall kan urskiljas:

• Avkastningen för den andra säkerheten är större än den första och variansen för den andra säkerheten är större än den för den första.

Upphävandet av kortförsäljningsbegränsningen leder inte till förändringar i minsta variansportföljen om korrelationen förutsätter vissa värden, som är resultatet av förhållandet mellan standardavvikelserna för de två aktierna. Detta innebär att båda värdepapperen representeras i den ursprungliga portföljen med positiva proportioner. ${\ displaystyle \ rho}$

Iso-avkastningslinjer

En optimal portfölj baserad på detta kriterium ingår ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) = (0,1)}$

Budget rakt

Iso avkastningslinje ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$

Iso avkastningslinje ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$

Iso-risk linjer

En optimal portfölj enligt detta kriterium beror inte på extrema punkter.

Budget rakt utan möjlighet till short selling

Iso avkastningslinje ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$

Iso avkastningslinje ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$

• Avkastningen för den andra säkerheten är större än den första och variansen för den andra säkerheten är mindre än eller lika med den första.

Analytisk bestämning av den globala portföljen med minimal avvikelse

Okorrelerade värdepapper

Med okorrelerade värdepapper finns det alltid en diversifieringseffekt. Det optimala blandningsförhållandet är: ${\ displaystyle \ rho = 0}$${\ displaystyle (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*} = 1-x_ {1} ^ {*})}$

${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = {\ frac {\ sigma _ {2} ^ {2}} {\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2}} }}$

${\ displaystyle x_ {2} ^ {*} = {\ frac {\ sigma _ {1} ^ {2}} {\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2}} }}$.

Korrelerade värdepapper

Riskdiversifiering beroende på korrelationskoefficienten : ${\ displaystyle \ rho}$

Valet av portföljen resulterar i minsta variansportfölj (kort: MVP ):

${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = {\ frac {\ sigma _ {2} ^ {2} - \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {2} \ cdot \ rho} {\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2} -2 \ cdot \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {2} \ cdot \ rho}}}$

${\ displaystyle x_ {2} ^ {*} = {\ frac {\ sigma _ {1} ^ {2} - \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {2} \ cdot \ rho} {\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ {2} ^ {2} -2 \ cdot \ sigma _ {1} \ cdot \ sigma _ {2} \ cdot \ rho}}}$

Om kovariansen är känd ser formeln i det första fallet ut så här:

${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = {\ frac {\ sigma _ {2} ^ {2} - \ sigma _ {12}} {\ sigma _ {1} ^ {2} + \ sigma _ { 2} ^ {2} -2 \ sigma _ {12}}}}$

Effektiva portföljer med tre riskfyllda aktier

2 fall

• Global minimal variansportfölj med negativa proportioner:

Detta kan visas i ett - diagram, som visar fördelningen mellan värdepapper 1 och 2 (och sålunda underförstått på värdepapper 3) och i en - diagram, som visar effektiviteten linjen.${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle x_ {1}}$- -Diagram: resultat från resten mellan och . Den samordna är då var alla blandningar av värdepapper 1 och 3 och abskissan är blandningen av värdepapper 2 och 3.${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {3}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

• Global minimiavviklingsportfölj med positiva proportioner:

Detta kan visas i ett - diagram, som visar fördelningen mellan värdepapper 1 och 2 (och således implicit på säkerhet 3) och i en - diagram, som visar effektiviteten linjen ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$

Härledning

Det finns två beroende variabler. ${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = 1}$

${\ displaystyle \ mu _ {x} = \ mu _ {1} x_ {1} + \ mu _ {2} x_ {2} + (1-x_ {1} -x_ {2}) \ mu _ {3 }}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2}}$= ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} + (1-x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} \ sigma _ {3} ^ {2}}$${\ displaystyle +2 \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} x_ {1} x_ {2} \ rho _ {1,2} ~}$

${\ displaystyle +2 \ sigma _ {1} \ sigma _ {3} x_ {1} x_ {3} \ rho _ {1,3} ~}$ ${\ displaystyle +2 \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} x_ {2} x_ {3} \ rho _ {2,3} ~}$

Effektiva portföljer för n värdepapper

Detta kan endast bestämmas matematiskt med

${\ displaystyle \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ Sigma \ left [\ rho _ {ij} \ cdot \ sigma _ {i} \ cdot \ sigma _ {j} x_ {i } x_ {j} \ höger]}$

Begränsningarna måste vara:

• Minsta avkastning
• Budgetförhållande
• eventuellt även kortförsäljningsrestriktioner beaktas.

Blandning av effektiva portföljer

När det gäller fonder, till exempel, uppstår frågan om en blandning av effektiva portföljer resulterar i en effektiv portfölj. Detta behöver inte vara sant för

• i händelse av att kortförsäljning inte är tillåten, bryts effektivitetsgränsen. Om du nu skapar en portfölj från två värdepapper på en annan del av linjen ligger denna portfölj inte längre på effektivitetsgraden.
• i händelse av att kortförsäljning är tillåten kan en kort försäljning av en effektiv portfölj skapa ineffektiva portföljer.

Optimal portfölj

Du försöker hitta en optimal portfölj. Detta beror på investerarens riskpreferens. I fallet med optimala portföljer är lutningen för investerarens likgiltighetskurva densamma som effektivitetslinjens lutning .

Den jämförande statistiken visar att andelen riskfylld säkerhet:

• är alltid större än noll
• växer med överavkastningen
• faller när risken för den riskabla säkerheten ökar
• faller med ökande riskaversion hos investeraren.

Investerare som styrs av förväntad avkastning och risk har aldrig en helt riskfri portfölj. Detta beror på att investerare i - diagrammet har en horisontell tangent till indifferenskurvan vid punkten . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma = 0}$

Portföljteori resultat

Det viktigaste resultatet av portföljteorin är riskdiversifiering : för varje investerare finns en så kallad optimal portfölj som består av alla investeringsalternativ, som bäst visar deras riskmöjlighetsprofil. Denna optimala portfölj beror inte på investerarens ursprungliga tillgångar eller hans omedelbara riskinställning. Snarare är det bara risk-avkastningskombinationerna för de aktier som handlas. Beviset för uttalandet går tillbaka till James Tobin , efter honom kallas denna sats också Tobinseparation .

kritik

• Både antagandena och uttalandena bedöms kritiskt av ekonomisk vetenskap, men portföljteorin anses fortfarande vara säker.
• De flesta prognoser fungerar bara med historisk data.
• Investeraren preferenser kan inte tydligt operation .
• Stora mängder data bearbetas. Med 100 värdepapper måste 100 matematiska ekvationer lösas; när man tittar på dagliga marknadspriser över ett år måste cirka 25 000 dataposter tas med i beräkningen. Sådana beräkningar kan bara utföras av datorprogram på rimlig tid , och resultaten kan inte kontrolleras enkelt.
• Mer realistiska, dynamiska modeller som tar hänsyn till andra faktorer är svåra att förstå.
• Effekter som en investering kan ha på kursen beaktas inte.
• Ett grundläggande antagande av portföljteorin är att man inte kan dra tillförlitliga slutsatser om framtiden från det förflutna och i allmänhet inte kan förutse dem. En viktig faktor i portföljteorin är ändå uppskattningar av framtida avkastning. Uppskattningsfel vid utvärdering av framtida avkastning har en enorm inverkan på medelvariansoptimering och tillgångsallokering .
• Den underliggande teorin om effektiva marknader betraktar en idealiserad finansiell värld. Exempelvis vittnar Warren Buffetts investeringsframgångar om detta; I sin uppsats, The Superinvestors of Graham-and-Doddsville, baserar han sin framgång på undervärderade företag som per definition inte finns på en effektiv marknad. Enligt William F. Sharpe , som kallar Buffetts framgång en 6-sigma-händelse , är långsiktiga investeringsframgångar som Buffetts statistiskt möjliga utan att motbevisa teorin om effektiva marknader.

Se även

• Hemförskjutning
• Portföljförsäkring
• Låneportfölj

litteratur

• Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, William N. Goetzman: Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 6: e upplagan. John Wiley & Sons, New York NY 2003, ISBN 0-471-23854-6 .
• Thorsten Hagenloch: värdebaserad hantering och rabatterade kassaflöden. En process och uppgiftsorienterad introduktion. Books on Demand, Norderstedt 2007, ISBN 978-3-8334-8376-9 ( publikationsserie från Competence Center for Corporate Development and Consulting (KUBE eV) ).
• Kurt M. Maier: Riskhantering inom fastigheter och finans. En guide för teori och praktik. 2: a reviderade och utökade upplagan. Knapp, Frankfurt am Main 2004, ISBN 3-8314-0756-8 .
• Harry M. Markowitz : Val av portfölj. I: Journal of Finance. 7, 1952, ISSN  0022-1082 , s. 77-91.
• Harry M. Markowitz: Portfolio Selection - Grunderna i det optimala portföljvalet . FinanzBook Verlag, München 2007, ISBN 978-3-89879-118-2 . 
• Detlef Mertens: Optimering av portföljen enligt Markowitz. 2: a upplagan. Bankakademie-Verlag, Frankfurt am Main 2006, ISBN 3-937519-09-2 ( Bank & Finans för närvarande 16), ( Även : Vallendar, WHU Hochsch., Diss., 2004).
• Stephen A. Ross, Randolph W. Westerfield, Jeffrey Jaffe: Corporate Finance . 7: e upplagan. McGraw-Hill Irwin, Boston MA 2005, ISBN 0-07-282920-6 ( McGraw-Hill / Irwin-serien inom ekonomi, försäkring och fastigheter ).
• Thomas Petermann: Portföljseparation. Separationsresultat av den moderna portföljteorin (MPT). Vikt och implementering inom privatbank. Avhandling University of St. Gallen . Difo-Druck OHG, Bamberg 1999.
• Klaus Spremann : Portföljförvaltning. 3: e reviderade och utökade upplagan. Oldenbourg, München et al. 2006, ISBN 3-486-57939-8 ( International Management and Finance ).

webb-länkar

• Grundläggande för portföljteori på DeiFin.de

Referenser och kommentarer

1. ↑ Obs: Om det finns två värdepapper att välja mellan betyder det inte att en av dem måste vara effektiv. Motexempel: för två värdepapper med och gäller .${\ displaystyle \ rho <1}$${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {MVP} <\ sigma _ {i}}$
2. ↑ Se Chopra / Ziemba (1993)
3. ^ Scott Patterson: Buffett och Munger: Håll dig borta från komplex matematik, teorier. I: blogs.wsj.com. 2 januari 2014, åtkom 13 december 2016 . 
4. Ena Elena Chirkova: Varför är det så att jag inte är Warren Buffett? I: American Journal of Economics. 2, 2012, s. 115, doi : 10.5923 / j.economics.20120206.04 .