Dodekaeder
Vanlig pentagon dodekaeder | |
---|---|
Typ av sidoytor | vanliga femkantar |
Antal ansikten | 12: e |
Antal hörn | 20: e |
Antal kanter | 30: e |
Schläfli -ikon | {5.3} |
dubbel till | Icosahedron |
Kroppsnät | |
Antal olika nätverk | 43380 |
Antal kanter i ett hörn | 3 |
Antal hörn på en yta | 5 |
Den dodekaeder [ ˌdodekaʔeːdɐ ] (från grekiska. Dodecahedron ; . Dt Och (den) Tolv platt ) är en kropp med tolv ansikten. Vanligtvis betyder detta ett platoniskt fast ämne, nämligen den vanliga pentagon -dodekaedronen , ett fast ämne med
- 12 kongruenta regelbundna femkantar
- 30 kanter med lika längd, var och en på sidan av två femkanter
- 20 hörn, i var och en av vilka tre av dessa femkanter möts
Men det finns också andra dodekaeder med hög symmetri .
Den vanliga pentagon -dodekaedronen
På grund av sin höga symmetri - alla hörn , kanter och ytor liknar varandra - är dodekaedronen en vanlig polyeder . Det har:
- 6 femfaldiga rotationsaxlar (genom mitten av två motstående ytor )
- 10 trefaldiga rotationsaxlar (genom motsatta hörn)
- 15 tvåfaldiga rotationsaxlar (genom centrum av motsatta kanter)
- 15 symmetriplan (på grund av motsatta och parallella kanter)
och är
- punktsymmetrisk (punktreflektion med avseende på dodekaederns centrum)
Totalt sett har dodekaederns symmetrogrupp - dodekaedrongruppen eller ikosaahergruppen - 120 element. De 60 orienteringshållande symmetrier motsvarar den växlande gruppen . Ibland kallas denna undergrupp också för icosahedral -gruppen . Hela symmeturgruppen är isomorf för den direkta produkten . Det faktum att produkten är direkt kan ses från det faktum att punktreflektionen vid mittpunkten pendlar med rotationerna .
Den symmetri i dodekaedern är inte kompatibel med en periodisk rumslig struktur på grund av den femfaldiga symmetriaxlar som uppstår här (se plattsättning ). Det kan därför inte finnas något kristallgitter med icosahedral symmetri (se kvasikristaller ).
strukturera
Den ikosaeder är den dubbla polyeder till dodekaeder och vice versa.
Med hjälp av dodecahedron och icosahedron kan många kroppar konstrueras som också har dodecahedron -gruppen som en symmeturgrupp . Så du får till exempel
- den stympade dodekaedronen med 12 decagoner och 20 trianglar genom att stympa hörnen av en dodekaeder
- den icosidodecahedron med 12 pentagoner och 20 trianglar
- den stympade icosahedron (fotboll) med 12 femkanter och 20 hexagoner som skärningspunkten mellan en dodecahedron med en icosahedron (se Archimedean fastämnen , fullerener )
- och den rombiska triacontahedronen med 12 + 20 = 32 hörn och 30 pastiller som ansikten . Den skapas genom att placera raka pyramider på dodekaedronen, varav två sidoytor kompletterar varandra, d.v.s. H. ligga i ett plan och ha en gemensam kant.
Från kanterna på dodekaedronen kan 3 par motsatta kanter väljas så att dessa par sträcker sig över 3 kongruenta rektanglar som är ortogonala med varandra i par . De återstående 8 hörnen bildar sedan hörnen på en kub inskriven i dodekaedronen. Det finns totalt fem sådana positioner, varje kant av dodekaedronen tillhör exakt en sådan position, och varje hörn är hörnpunkten för två inskrivna kuber . Den symmetri grupp på dodekaedern orsakar alla 5! = 120 permutationer av dessa fem positioner eller kuber.
Eftersom kanterna av den inskrivna kuben är diagonaler femhörningarna, den förhållandet av de längder av kanterna av dodekaeder och den hos en inskriven kub motsvarar den gyllene förhållandet .
Formler
Storlekar på en dodekaeder med kantlängd a | ||
---|---|---|
volym |
|
|
Ytarea | ||
Umkugelradius | ||
Kantkulans radie | ||
Inc sfärradie | ||
Förhållandet mellan volym och volym för sfären |
||
Inre vinkel på den vanliga femkanten |
||
Vinkel mellan angränsande ytor |
||
Vinkel mellan kant och ansikte |
||
Solida vinklar i hörnen | ||
Sfäriskhet |
Beräkning av den vanliga dodekaedronen
volym
Dodekaedronen består av tolv sammansatta femsidiga pyramider.
För en pyramid och därmed för en tolfte av dodekaedern gäller
däri ligger basen ( vanlig femkant )
och pyramidens höjd är lika med sfärens radie
det följer med infogade variabler för dodekaederns volym
Ytarea
Följande gäller för dodekaederns yta (tolv vanliga femkantar)
Vinkel mellan angränsande ytor
Denna vinkel, markerad med (se bild i formler ), har sin spets vid ena kanten av dodekaedronen. Det kan bestämmas med hjälp av följande högra triangel .
De sido längder av denna triangel är: samma som kant kulradie som hypotenusan, den samma som incircle radie som den stora sidan och samma som incircle radie den regelbunden femhörning som små sida.
Följande gäller för vinkeln
Vinkel mellan kant och ansikte
Denna vinkel, betecknad med , har sin topp i ett hörn av dodekaedern.
Är, som i illustrationen (se bild i formler ), vinkeln z. B. sökte i hörnet , sedan kan det bestämmas med hjälp av de rätta trianglarna och . Deras gemensamma hypotenusa , lika med sfärens radie , delar upp vinkeln i de vinklar som inte visas, eller så gäller det
Benen i triangeln med en vinkel är :, lika med sfärens radie , som ett stort ben och , lika med omkretsradien för den vanliga femkanten , som ett litet ben.
Benen i triangeln med en vinkel är :, lika med kantkulans radie , som ett stort ben och , lika med halva sidan , som ett litet ben.
Följande gäller för triangelns vinklar
för triangelns vinklar gäller
den tillsatsen theorem för bågen funktionen ger vinkeln
efter att relevanta värden ( ) har infogats gäller
Solida vinklar i hörnen
Följande formel, som beskrivs i Platonic Solids, visar en lösning för den fasta vinkeln
Med antalet kanter / ytor i ett hörn och den inre vinkeln på den vanliga femkanten, gäller följande
På grund av det
används i och formas
förenkling
Ansökningar
- Vissa geodesiska kupoler är polyeder härledda från dodekaedronen genom att ytterligare dela upp femkanterna i likbent trianglar .
- Det finns dodekedriska tärningar .
- Dodecahedra används också som ursprungliga papperskorgar , till exempel i Paris.
- Inom byggnadsakustik används dodekedriska högtalare för att få bästa möjliga rundstrålande egenskap.
- I stället för en glaskula används tolvsidiga kristallpaneler för att belysa rummet.
- Syftet med den romerska pentagon dodekaeder är fortfarande oklart idag.
- En dodekaeder kan också användas som en årlig kalender : varje månad har sin egen femkant .
- Både Megaminx och Alexander's Star är varianter av Rubiks kub i form av en dodekaeder som ett tredimensionellt pussel .
- I Waldorf -skolor är hörnstenen som traditionellt placeras vid ingångsportalen till varje skola en koppar -pentagon -dodekaeder.
diverse
- I science fiction -filmen Contact (1997) är transportsfären inbäddad i ett rutnät som har formen av en dodekaeder.
- I dataspelet The Dig (1995) är det främmande rymdskeppet format som en dodekaeder.
En dodekaeder som tärning
Megaminx en Rubiks kub variant
En dodekaeder som julstjärna från utställningen "Stjärnor - inte bara vid jul" i Museum of European Cultures i Berlin
Romersk dodekaeder i Württemberg State Museum , Stuttgart
Den kubiska femkantiga dodekaedronen
Den kubiska femkantiga dodekaedronen har också 12 ytor , 20 hörn och 30 kanter. Men ytorna är inte vanliga. Var och en av de 12 ytorna är en femkant med fyra kortare och en längre kanter. Polyhedronen har totalt 24 kortare och 6 längre kanter. De 8 gula hörnen på bilden bildar en kub. I naturen förekommer ibland pyrit (FeS 2 ) i denna form. Det är därför som den kubiska femkantiga dodecahedron också kallas för pyrite -dodecahedron eller pyrite -dodecahedron. I kristaller är femfaldiga axlar, liksom den vanliga femkantiga dodekaedronen, omöjliga eftersom det inte finns någon gaplös periodisk ytfyllning med femfaldig symmetri . En vanlig pentagon-dodekaedron är endast tänkbar för icke-strikt periodiska "kristaller", det vill säga kvasikristaller .
Dodekaederns nät
Dodekaedern har 43 380 nät . Det betyder att det finns 43380 sätt att fälla ut en ihålig dodekaeder genom att skära upp 19 kanter och sprida ut den i planet . De andra 11 kanterna ansluter vardera de 12 vanliga femkantarna i nätet. För att färga en dodekaeder så att inga angränsande ansikten har samma färg behöver du minst 4 färger.
Grafer, dubbla grafer, cykler, färger
Dodekaedronen har en oriktad plan graf med 20 noder , 30 kanter och 12 regioner tilldelade den, vilket är 3- regelbundet , det vill säga 3 kanter börjar från varje nod, så att graden är lika med 3 för alla noder. När det gäller plana grafer är det exakta geometriska arrangemanget av noderna obetydligt. Det är dock viktigt att kanterna inte behöver korsas. Noderna i denna dodekaedrongraf motsvarar hörnen av dodekaedronen.
De noder i dodecahedron grafen kan färgas med 3 färger så att angränsande noder alltid färgade på olika sätt. Det betyder att det kromatiska antalet i denna graf är lika med 3 (se nodfärgning ). Dessutom kan kanterna färgas med 3 färger så att angränsande kanter alltid färgas annorlunda. Detta är inte möjligt med 2 färger, så det kromatiska indexet för kantfärgningen är 3 (bilden till höger illustrerar dessa färgningar).
Den dubbla grafen (icosahedral -grafen ) med 12 noder , 30 kanter och 20 områden är till hjälp för att bestämma önskat antal färger för ytorna eller områdena . Noderna i denna graf tilldelas en-till-en (bijektiv) till områdena i dodecahedral-grafen och vice versa (se bijektiv funktion och figur). Noderna i den icosahedriska grafen kan färgas med 4 färger så att angränsande noder alltid färgas annorlunda, men inte med 3 färger, så att det kromatiska talet för den icosahedral grafen är 4. Av detta kan man indirekt dra slutsatsen: Eftersom det kromatiska talet är lika med 4, är 4 färger nödvändiga för en sådan ytfärgning av dodekaedronen eller en färgning av områdena i dodekaedrogrammet.
De 19 skurna kanterna på varje nätverk (se ovan) tillsammans med hörnen ( noder ) bildar ett spänner över trädet i dodekaedrogrammet. Varje nätverk motsvarar exakt ett spanträd och vice versa, så att det finns en en-till-en ( bijektiv ) uppgift mellan nätverk och spanträd. Om du betraktar ett dodecahedron -nätverk utan det yttre området som en graf, får du en dubbelgraf med ett träd med 12 noder och 11 kanter och den maximala nodgraden 3. Varje område av dodecahedron tilldelas en nod i trädet . Inte varje grafteoretisk konstellation (se isomorfism av grafer ) av sådana träd förekommer, men vissa förekommer mer än en gång .
Dodecahedron -grafen har 60 Hamilton -cirklar , men inga Euler -cirklar .
Andra dodecahedra
Andra dodekaeder är till exempel:
- Den rombiska dodekaedronen har 12 kongruenta diamanter som ytor , 14 hörn och 24 kanter. Det är en katalansk fast substans och dubbel till kuboctahedronen . Den bildar den typiska kristallformen av den granaten .
- Den trigonododecahedron har 12 kongruent liksidig trianglar som ansikten, 8 hörn och 18 kanter. Det är en deltahedron och Johnson kropp .
- Uthålad dodekaeder
- Stor dodekaeder
- Rhombicosidodecahedron
- Förlängd rombisk dodekaeder
Några av dessa polyeder har mer än 12 ansikten, så de är inte sanna dodecahedra.
webb-länkar
- Euklid: Stoicheia. Bok XIII.17. Dodekaeder i en sfär ...
- Avledning av formlerna
- Hantverksark för kalendrar i dodekaederform
- Dodekaeder . Matematik
- Dodecahedron -kalkylator för kantlängd, yta, volym, omkretsradie, kant sfärisk radie och cirkelradie
Individuella bevis
- ↑ Eric Weisstein: Dodekaeder. Umkugelradius, formel (17) ytterligare förenklad. I: MathWorld Wolfram. En Wolfram -webbresurs, åtkomst 1 juli 2020 .
- ↑ Eric Weisstein: Dodekaeder. Kantkulans radie, formel (19). I: MathWorld Wolfram. En Wolfram -webbresurs, åtkomst 1 juli 2020 .
- ↑ Eric Weisstein: Dodekaeder. In-sfärradie, formel (15). I: MathWorld Wolfram. En Wolfram -webbresurs, åtkomst 1 juli 2020 .
- ↑ Harish Chandra Rajpoot: Solida vinklar som böjs av de platoniska fastämnena (vanliga polyeder) vid deras hörn. SlideShare, mars 2015, öppnade 1 juli 2020 .
- ↑ Alternativt uttryck för . Wolfram Alpha, åtkomst 1 juli 2020 .
-
↑ Med det arctan för två argument , kan man skriva:
- ↑ waldorfschule-muenster.de ( Memento från 11 juni 2015 i Internetarkivet )
- ^ Dodecahedron / Pentagon dodecahedron / Pentagonal dodecahedron. Mineralatlas, åtkomst 25 december 2020 .
- ↑ Eric Weisstein: Dodekaeder. Nätverk. I: MathWorld Wolfram. En Wolfram -webbresurs, åtkomst 1 juli 2020 .
- ↑ Mike Zabrocki: HEMWORK # 3 LÖSNINGAR - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, s. 4 , öppnades 31 maj 2020 .
- ↑ Eric Weisstein: Dodecahedral Graph. Graf. I: MathWorld Wolfram. En Wolfram -webbresurs, åtkomst 1 juli 2020 .