rektangel

Rektangel med längd a , bredd b och diagonal d

I geometri är en rektangel (en ortogon ) en platt fyrkant vars inre vinklar har alla rätt vinklar . Det är ett speciellt fall av parallellogrammet och därmed också av trapetsformen . Ett speciellt fall av rektangeln är kvadraten , där alla sidor har samma längd.

I topologi är en rektangel ett grenrör med en gräns, mer exakt ett grenrör med hörn.

egenskaper

Motsatta sidor är lika långa och parallella .
De fyra inre vinklarna är desamma, vilket innebär att det är en ekvivalent polygon . De inre vinklarna är raka vinklar .
De två diagonalerna är lika långa och halverar varandra.
Den har en omkrets och är därför en fyrsidig sena . I mitten av omkretsen är skärningspunkten mellan de diagonaler .
Det är axiellt symmetriskt med avseende på sidans medianvinkelrätt . De två symmetriaxlarna är därför vinkelräta mot varandra.
Det är punktsymmetriskt (dubbelt symmetriskt) med avseende på skärningspunkten mellan diagonalerna.
Den symmetri gruppen är Klein grupp av fyra .

Rektangeln kan karakteriseras som

Parallelogram med rätt vinkel
Parallelogram med diagonaler av lika längd
Fyrkant med diagonaler av lika längd som halveras

Formler

Det område i en rektangel är lika med produkten av sidornas längder.

Matematiska formler för rektangeln
Område	${\ displaystyle A = a \ cdot b}$
omfattning	${\ displaystyle U = 2 \ gånger a + 2 \ gånger b = 2 \ gånger (a + b)}$
Längden på diagonalerna	${\ displaystyle d = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$
Perimeterradie	${\ displaystyle r_ {u} = {\ tfrac {d} {2}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$
Inre vinkel	${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = \ delta = 90 ^ {\ circ}}$

Formeln för längden på den diagonal är baserad på den Pythagoras sats . De omkrets radie resultat från halvera längden av diagonalen.

För att kunna konstruera en rektangel måste två storlekar anges. Ofta anges antingen en av de två sidlängderna och längden på den diagonala eller båda sidlängderna.

Optimeringsproblem och torget

Det finns flera optimeringsproblem för rektanglar. Om du letar efter en rektangel som är vid

given längd av diagonala eller givet område av den omkrets den största omkretsen
angiven längd på den diagonala eller angivna arean av omkretsen den maximala ytan
angiven omkrets minsta längd av diagonalen eller minsta area av omkretsen
givet omkrets maximalt areal
givet område minsta längd för diagonalen eller minsta area för omkretsen
givet område den minsta omkretsen

då lösningen är fyrkantig .

Två av de sex optimeringsproblemen är i princip samma fråga med olika givna kvantiteter, så att det faktiskt bara finns tre olika optimeringsproblem. För de nämnda optimeringsproblemen är kvadraten den rektangel som vi letar efter. Naturligtvis gäller detta inte alla optimeringsproblem.

Det är uppenbart att optimeringsproblem för längden på diagonalen och området i omkrets har samma lösning , eftersom området av omkretsen är en kontinuerlig och strikt monotont ökande funktion med funktionsvariabel. ${\ displaystyle \ pi \ cdot r_ {u} ^ {2} = {\ frac {1} {4}} \ cdot \ pi \ cdot d ^ {2}}$ ${\ displaystyle d}$

Rektangel med sidolängder och diagonal d

Till exempel, om du letar efter rektangeln ABCD med den största området för en given längd av den diagonalen , då det bidrar till att betrakta den omkrets . Enligt Thales sats är den diagonala växelströmens diameter omkretsen. ${\ displaystyle d}$

Rektangeln består av de högra trianglarna ABC och CDA. Det område av triangeln ABC är störst när höjden av punkten B på sidan AC är som störst. Detta är exakt fallet när sidorna AB och BC är lika långa, dvs. triangeln är likbenig . På samma sätt är arean av triangeln CDA störst exakt när sidorna CD och DA är lika långa. Arean på rektangeln ABCD är störst exakt när alla fyra sidorna är av samma längd, dvs när den är en kvadrat .

En annan möjlighet är att uppskatta området med ojämlikheter .

En rektangel med sidolängder och har diagonal längd och area . Den kvadrat med sidolängden har samma diagonala längd och area . På grund av olikheten i aritmetiska och geometriska medelvärdet , för alla positiva sidolängder och och jämlikhet gäller om och endast om är. Därav följer att torget är den rektangel som har det största området. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle a \ cdot b}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sqrt {2 \ cdot a ^ {2} +2 \ cdot b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a \ cdot b}} \ leq {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ displaystyle a \ cdot b \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a = b}$

Rektangulärt rutnät

Det rektangulära gallret är ett arrangemang av oändligt många punkter i det tvådimensionella euklidiska planet . Denna punktuppsättning kan formellt kallas uppsättningen

{\ displaystyle \ left \ {(a \ cdot x_ {1}, b \ cdot x_ {2}) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid a, b> 0 \ \ land \ x_ {1} \ in \ mathbb {Z} \ \ land \ x_ {2} \ in \ mathbb {Z} \ höger \}}

skrivs, varvid nämnda positiva reella tal , de avstånden mellan intilliggande punkter är. Det rektangulära rutnätet skapas av två parallella sträckor (se affin figur ) från det kvadratiska rutnätet . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

Detta rektangulära rutnät är axiellt symmetriskt , rotationssymmetriskt och punktsymmetriskt . Dessutom är det translationell symmetri för alla vektorer med vissa längder , som sträcker sig parallellt med två koordinataxlar, nämligen, ett oändligt antal vektorer , varvid , heltalen är och , de 2 enhetsvektorer i tvådimensionella eudklidischen vektorrum . ${\ displaystyle a \ cdot a_ {1} \ cdot {\ vec {e}} _ {1}}$ ${\ displaystyle b \ cdot a_ {2} \ cdot {\ vec {e}} _ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$

Om en geometrisk figur placeras på planet i ett kvadratiskt rutnät och sedan modifieras genom parallell sträckning så att ett rektangulärt rutnät skapas, skapas andra geometriska figurer beroende på typen och orienteringen av dessa geometriska figurer:

Parallell sträckning av geometriska figurer
Figur i kubgallret	Figur i det kvadratiska rutnätet
Figur i kubgallret	med ortogonal inriktning	i alla riktningar
fyrkant	rektangel	parallellogram
rektangel	rektangel	parallellogram
Romb	Romb	parallellogram
parallellogram		parallellogram
rätt triangel	rätt triangel	triangel
likbent triangel	likbent triangel	triangel
cirkel	ellips	ellips
ellips	ellips	ellips

Gyllene rektangel

Båda rektanglarna - var och en med bildförhållandena a: b och (a + b): a - är vardera gyllene rektanglar ( animerad representation ).

Rektanglar med egenskapen för sidolängderna a och b kallas gyllene rektanglar . Den sidförhållande är den gyllene förhållandet , är att . ${\ displaystyle {\ frac {a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ ca 1 {,} 6180339887}$

Perfekt rektangel

En rektangel kallas perfekt om du kan täcka den med rutor utan mellanrum och utan överlappning, varigenom alla rutor har olika storlekar. Det är inte lätt att hitta en sådan kakel . En sådan uppdelning av en rektangel med sidorna 32 och 33 i 9 rutor hittades 1925 av Zbigniew Moroń . Den består av rutor med sidorna 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 och 18.

Ett annat exempel på en perfekt rektangel - även av Zbigniew Moroń - har sidorna 47 och 65. Den täcks av tio rutor med sidorna 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 och 25.