Fast vinkel

Fast vinkel i en sfär med radie R.${\ displaystyle W}$

Den fasta vinkeln är den tredimensionella motsvarigheten till den tvådimensionella vinkel som definierats för planet . Den beskriver andelen av hela det tredimensionella utrymmet som z. B. ligger inuti en given kon eller pyramid jacka .

definition

Rymdvinkeln definieras som den yta på ett delområde av en sfärisk yta dividerad med kvadraten på radien hos den sfär : ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {A} {r ^ {2}}}}$.

När man överväger att enhetens sfär ( ) är densamma som motsvarande fast vinkel. Så hela den fasta vinkeln är lika med ytan på enhetens sfär, nämligen . ${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi}$

Delarean kan ha vilken form som helst. Vectorially skriven som en yta integral är

${\ displaystyle \ Omega = \ iint _ {F} {\ frac {{\ hat {\ vec {n}}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}} {r ^ {2}}} }$.

Det är den enhetsvektor från origo , differential ytelementet och dess avstånd från origo. ${\ displaystyle {\ hat {\ vec {n}}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle r}$

Till skillnad från vad bilden kan föreslå är områdets form inte viktig. Varje konturform på den sfäriska ytan med samma område definierar en solid vinkel av samma storlek. Om du sätter en stråle genom varje punkt av konturen med mitten av den sfär som utgångspunkt, får du en geometrisk figur som illustrerar rymdvinkel. Detta kan jämföras med representationen för en vinkel i planet : två halvlinjer med en gemensam startpunkt.

enheter

Även om den fasta vinkeln är en kvantitet av måttantalet ges den vanligtvis i enheten steradian (sr) för tydlighetens skull ; detta motsvarar radianmåttet med enheten radian (rad) för en plan vinkel. En fast vinkel på 1 sr omsluter ett område på 1 m ² på en sfär med en radie på 1 m . Eftersom en hel sfärisk yta har det område , är den motsvarande fullständiga rymdvinkel ${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ cdot \ pi \ \ mathrm {sr} \ ca 12 {,} 56637 \ \ mathrm {sr}}$.

Ibland ges även fasta vinklar i kvadratgrader , (°) ². 1 (°) ² är densamma . ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {360}} \ right) ^ {2} \ approx 0 {,} 00030462 \ \ mathrm {sr}}$

Användningen av en extra måttenhet för en kvantitet av måttantalet har fördelen, som i många områden, särskilt även när det gäller fasta vinklar, att den använda enheten visar vilken fysisk kvantitet som menas. Till skillnad från ljusflödet (lm) visar ljusintensiteten (cd = lm / sr) sitt beroende av den fasta vinkeln genom att steradian förekommer i enheten. Ljusintensiteten beskriver således ett ljusflöde som är beroende av den fasta vinkeln.

Representation med vektorer

Tre vektorer med början från en punkt P , och definiera en allmänt triangel . Följande gäller den spända fasta vinkeln med vertex P: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {3}}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ Omega} {2}} \ right) = {\ frac {({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2 }, {\ vec {r}} _ {3})} {| {\ vec {r}} _ {1} | \ cdot | {\ vec {r}} _ {2} | \ cdot | {\ vec {r}} _ {3} | + ({\ vec {r}} _ {1} \ cdot {\ vec {r}} _ {2}) \ cdot | {\ vec {r}} _ {3} | + ({\ vec {r}} _ {1} \ cdot {\ vec {r}} _ {3}) \ cdot | {\ vec {r}} _ {2} | + ({\ vec {r }} _ {2} \ cdot {\ vec {r}} _ {3}) \ cdot | {\ vec {r}} _ {1} |}}}$.

Det är den trippelprodukt av vektorer , och , är den skalära produkten och är längden hos vektorn. ${\ displaystyle ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}, {\ vec {r}} _ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {3}}$${\ displaystyle ({\ vec {r}} _ {1} \ cdot {\ vec {r}} _ {2})}$${\ displaystyle | {\ vec {r}} _ {1} |}$

Denna representation gavs och bevisades 1983 av Oosterom och Strackee.

Representation med sfäriska koordinater

En solid vinkel från ett kartesiskt polärt koordinatsegment

Den fasta vinkeln för en sfärisk triangel är steradian beroende på dess inre vinklar (se sfärisk triangel - egenskaper ). ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$

I ett sfäriskt koordinatsystem kan den fasta vinkeln definieras tydligt, eftersom det inte finns någon radiell variabel. Två meridianen vinkel , och två vidvinkel , bestämma ett ytelement på en sfärisk yta . Motsvarande fast vinkel är: ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle \ Omega = \ int \ limits _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} \ int \ limits _ {\ gamma _ {1}} ^ {\ gamma _ {2}} \ sin (\ gamma) \ \ mathrm {d} \ gamma \ \ mathrm {d} \ varphi}$

En kons fasta vinkel

Kanonisk fast vinkel

Om du väljer en cirkel som konturform på den sfäriska ytan får du den kanoniska fasta vinkeln. Rymdvinkeln bildar då manteln av en rak cirkulär kon , vid spetsen av vilken centrum av den sfär är belägen.

Om öppningsvinkeln ligger vid konens topp , så kommer den fasta vinkeln från den dubbla integralen${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin (\ theta ') \ \ mathrm {d} \ theta '\ \ mathrm {d} \ phi = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin (\ theta') \ \ mathrm {d} \ theta '= 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin (\ theta') \ \ mathrm {d} \ theta '= 2 \ cdot \ pi \ cdot (- \ cos (\ theta) - (- \ cos (0))) \\ & = 2 \ cdot \ pi \ cdot (1- \ cos (\ theta)) = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ left ( 1- \ vänster (1-2 \ cdot \ sin ^ {2} \ vänster ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ höger) \ höger) \ höger) \\ & = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ sin ^ {2} \ vänster ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ höger) \ slut {justerad}}}$

Öppningsvinkel i grader ${\ displaystyle 2 \ theta}$	0	1	2	5	10	15: e	30: e	45	57,2958
Öppningsvinkel i radianer ${\ displaystyle 2 \ theta}$	0,0000	0,0175	0,0349	0,0873	0,1745	0,2618	0,5236	0,7854	1,0000
Fast vinkel i kvadratgrader ${\ displaystyle \ Omega}$	0,00	0,79	3.14	19.63	78,49	176,46	702,83	1570.10	2525.04
Fast vinkel i steradianer ${\ displaystyle \ Omega}$	0,0000	0,0002	0,0010	0,0060	0,0239	0,0538	0,2141	0,4783	0,7692
Öppningsvinkel i grader ${\ displaystyle 2 \ theta}$	60	65,5411	75	90	120	150	180	270	360
Öppningsvinkel i radianer ${\ displaystyle 2 \ theta}$	1.0472	1.1439	1.3090	1,5708	2,0944	2,6180	3.1416	4.7124	6.2832
Fast vinkel i kvadratgrader ${\ displaystyle \ Omega}$	2763,42	3282,81	4262,39	6041,36	10313,24	15287,95	20626,48	35211,60	41,252.96
Fast vinkel i steradianer ${\ displaystyle \ Omega}$	0,8418	1,0000	1.2984	1,8403	3.1416	4,6570	6.2832	10,7261	12,5664

Fast pyramidvinkel

Till en pyramids fasta vinkel

Det speciella fallet med den fasta vinkeln med en rektangulär och plan kontur motsvarar en pyramids geometriska form , varvid ursprunget är exakt vinkelrätt mot mitten av den plana rektangeln (se bild). Denna fasta vinkel inträffar z. B. vid beräkning av middagen för optiska system med rektangulära öppningar.

Det kan beräknas mycket enkelt med Oosterom and Strackee-formeln. Med pyramidbaserna och såväl som höjden h får vi: ${\ displaystyle w_ {x}}$${\ displaystyle w_ {y}}$

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {w_ {x} \ cdot w_ {y}} {2 \ cdot h \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + w_ {x} ^ {2} + w_ {y} ^ {2}}}}} höger)}$

Om de två öppningsvinklarna och , var och är, används för beräkningen , följer det efter några trigonometriska omvandlingar: ${\ displaystyle 2 \ cdot \ varphi _ {x}}$${\ displaystyle 2 \ cdot \ varphi _ {y}}$${\ displaystyle \ tan (\ varphi _ {x}) = {\ frac {w_ {x}} {2 \ cdot h}}}$${\ displaystyle \ tan (\ varphi _ {y}) = {\ frac {w_ {y}} {2 \ cdot h}}}$

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ cdot \ arcsin \ left (\ sin (\ varphi _ {x}) \ cdot \ sin (\ varphi _ {y}) \ right)}$

Exempel

En rektangulär bländare framför en punktljuskälla begränsar ljusstrålen till vinklarna 45 ° ( ) och 20 ° ( ). Den fasta vinkeln är 0,27 sr. ${\ displaystyle \ varphi _ {x} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ varphi _ {y} = 10 ^ {\ circ}}$

Om det är en fyrkantig bländare och båda vinklarna är 20 °, är den fasta vinkeln 0,12 sr. Den kanoniska fasta vinkeln för en 20 ° cirkulär bländare är 0,10 sr.

Fast vinkel hos en polyeder

Den fasta vinkeln i hörnet av en polyeder kan beräknas med L'Huiliers sats.

För den fasta vinkel i hörnet med de inre vinklar , , är, applicerar ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s}} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {a}} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {b}} {2}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {c}} {2}} \ höger)}} \ höger) \ \ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta + \ gamma} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {- \ alpha + \ beta + \ gamma} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {\ alpha - \ beta + \ gamma} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {\ alpha + \ beta - \ gamma} {4}} \ höger)}} \ höger) \ slut {justerad}}}$

varvid , , och är. ${\ displaystyle \ theta _ {s} = {\ frac {\ alpha + \ beta + \ gamma} {2}}}$${\ displaystyle \ theta _ {a} = \ alpha}$${\ displaystyle \ theta _ {b} = \ beta}$${\ displaystyle \ theta _ {c} = \ gamma}$

Exempel

Följande fasta vinklar är resultatet av halvvinkelformlerna , additionssatserna för tangenten och ekvationerna , och . ${\ displaystyle 2 \ cdot \ arctan (x) = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ cdot x} {1-x ^ {2}}} \ right)}$${\ displaystyle \ arctan (x) = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} \ right)}$${\ displaystyle \ arctan (x) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} \ right)}$

Regelbunden tetraeder

En vanlig tetraeder har 4 hörn , vardera med 3 lika inre vinklar på 60 °, eftersom alla 4 sidoytor är liksidiga trianglar . Så är det och ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 60 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} + 60 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {-60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ}} {4}} \ höger)}} höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {\ tan (45 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {3} (15 ^ {\ circ})}} höger) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {1 \ cdot \ left ({\ frac {\ tan (30 ^ {\ circ})} {1 + {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (30 ^ {\ circ})}}}} höger) ^ {3} }} \ höger) = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {\ left ({\ frac {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} {1 + {\ sqrt {1+ \ left ( {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ höger) ^ {2}}}}} höger) ^ {3}}} \ höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({ \ sqrt {(2 - {\ sqrt {3}}) ^ {3}}} höger) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {26-15 \ cdot {\ sqrt {3}}}} \ höger) = 2 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ frac {\ sqrt {2}} {5}} \ höger) = \ arctan \ vänster ({\ frac {10 \ cdot {\ sqrt {2}}} {23}} \ höger) \\ & = \ arcsin \ vänster ({\ frac {10 \ cdot {\ sqrt {2}}} {27}} \ r ight) = \ arccos \ left ({\ frac {23} {27}} \ right) \\ & \ approx 0 {,} 551285598 \ \ mathrm {sr} \ end {align}}}$

Fyrkantig pyramid

En rak fyrkantig pyramid med en fyrkantig och fyra liksidiga trianglar som sidoytor , har har vid kvadratisk bas 4 hörn med de inre vinklarna , , . Följande gäller den fasta vinkeln i dessa 4 hörn ${\ displaystyle \ alpha = 60 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ beta = 60 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} + 90 ^ {\ circ}} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {-60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} -90 ^ {\ circ}} {4}} \ höger)}} höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {\ tan (52 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (7 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ höger) = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {\ tan (30 ^ {\ circ} +22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (30 ^ {\ circ } -22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ( {\ sqrt {{\ frac {\ tan ^ {2} (30 ^ {\ circ}) - \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})} {1- \ tan ^ {2 } (30 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ höger) = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {{\ frac {\ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ höger) ^ {2} - ({ \ sqrt {2}} - 1) ^ {2}} {1- \ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) ^ {2} \ cdot ({\ sqrt {2} } -1) ^ {2}}} \ cdot ({\ sqrt { 2}} - 1) ^ {2}}} \ höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {({\ sqrt {2}} - 1) ^ {4}}} \ höger ) = 4 \ cdot \ arctan \ left (3-2 \ cdot {\ sqrt {2}} \ right) = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ right ) = \ arctan \ left ({\ frac {4 \ cdot {\ sqrt {2}}} {7}} \ right) \\ & = \ arcsin \ left ({\ frac {4 \ cdot {\ sqrt {2 }}} {9}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {7} {9}} \ right) \\ & \ approx 0 {,} 6796738189 \ \ mathrm {sr} \ end {align} }}$

oktaeder

En oktaeder består av två kongruenta raka fyrkantiga pyramider , var och en med en fyrkant och fyra liksidiga trianglar som ansikten . Den fasta vinkeln i oktahedronens 6 hörn - och i toppen av den fyrkantiga pyramiden - är därför dubbelt så stor som den fasta vinkeln i de andra fyra hörnen av den fyrkantiga pyramiden och är

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 2 \ gånger 4 \ gånger \ arctan \ vänster (3-2 \ gånger {\ sqrt {2}} \ höger) = 4 \ gånger \ arctan \ vänster ({\ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ right) = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {4 \ cdot {\ sqrt {2}}} {7}} \ right) = \ arctan \ vänster ({\ frac {56 \ cdot {\ sqrt {2}}} {17}} \ höger) \\ & = \ arcsin \ left ({\ frac {56 \ cdot {\ sqrt {2}}} {81 }} \ höger) = \ arccos \ vänster ({\ frac {17} {81}} \ höger) \\ & \ ca 1 {,} 3593476378 \ \ mathrm {sr} \ slut {justerad}}}$

prisma

Ett rakt prisma har hörn med vilken inre vinkel som helst och två raka vinklar på 90 °, eftersom den yttre ytan på ett rakt prisma består av rektanglar . Följande gäller den fasta vinkeln i hörnen ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ alpha +90 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}) } {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {- \ alpha +90 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {\ alpha -90 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ alpha +90 ^ {\ circ} - 90 ^ {\ circ}} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left (45 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left (45 ^ {\ circ} - {\ frac {\ alpha} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ alpha} {4}} \ right)}} \ right) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left (45 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha } {4}} \ höger) \ cdot \ cot \ left (45 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {4) }} \ höger)}} \ höger) = 4 \ cdot \ arctan \ vänster (\ tan \ vänster ({\ frac {\ alpha} {4}} \ höger) \ höger) = \ alpha \ slut {justerad}} }$

Denna fasta vinkel har uppenbarligen samma andel i hela den fasta vinkeln som den inre vinkeln i den tvådimensionella fullvinkeln . ${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi \ \ mathrm {sr}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 2 \ cdot \ pi}$

Trunkerad oktaeder

Rumsfyllning med kongruent trunkerad oktaeder . I varje hörn möts fyra trunkerade oktaedrar och bildar en full solid vinkel.

En trunkerad oktaeder har 24 hörn , där en fyrkant och två vanliga hexagoner möts. Varje hörn har så de inre vinklarna , , och den rymdvinkel ${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ beta = 120 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ gamma = 120 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ} + 120 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ vänster ({\ frac {-90 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ} -120 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ}} {4}} \ höger) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ} -120 ^ {\ circ}} {4}} \ höger)}} höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {\ tan (82 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (37 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ höger) = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {\ tan (60 ^ {\ circ} +22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (60 ^ {\ circ } -22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ( {\ sqrt {{\ frac {\ tan ^ {2} (60 ^ {\ circ}) - \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})} {1- \ tan ^ {2 } (60 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ höger) = 4 \ cdot \ arctan \ vänster ({\ sqrt {{\ frac {({\ sqrt {3}}) ^ {2} - ({\ sqrt {2}} - 1) ^ { 2}} {1 - ({\ sqrt {3}}) ^ {2} \ cdot ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {2}}} \ cdot ({\ sqrt {2}} - 1 ) ^ {2}}} \ höger) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left (1 \ right) = \ pi \ \ mathrm {sr} \ end {align}}}$

De fasta vinklarna i hörnen på den trunkerade oktaedronen är därför lika med hela den fasta vinkeln. Detta resultat bekräftas av det faktum att det tredimensionella euklidiska utrymmet kan fyllas helt med kongruent trunkerad oktaedra, varvid fyra trunkerade oktaedrar möts i varje hörn (se rumsfyllning ). ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$

webb-länkar

Individuella bevis

1. ^ A. Van Oosterom, J. Strackee: En plan triangelns fasta vinkel . I: Biomedicinsk teknik, IEEE-transaktioner på . BME-30, nr. 2 , 1983, s. 125-126 , doi : 10.1109 / TBME.1983.325207 . 
2. ↑ Oleg Mazonka: fast vinkel av koniska ytor, polyhedrala kottar och skärande sfäriska kepsar
3. ^ Wolfram MathWorld: sfäriskt överskott