Babylonisk matematik

Babylonisk kilskyltplatta YBC 7289 med anteckningar. Den horisontella diagonalen visar fyra siffror i sexagesimalsystemet, vilket motsvarar ungefär sex decimaler. 1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1.41421296 .... Under detta är den beräknade längden 0; 42,25,35 av diagonalen på torget, som har sidolängden 0; 30 = 30/60 = 0,5. (Bild av Bill Casselman)${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Den babyloniska matematiken utvecklades av de olika invånarna i Mesopotamien ( Mesopotamien i dagens Irak utvecklades). Det började troligen under de tidiga sumeriernas dagar (omkring 4000 f.Kr.) och fortsatte att utvecklas tills perserna erövrade Babylon 539 f.Kr. Chr. Fortsättning. Till skillnad från egyptiernas matematik , av vilka endast ett fåtal källor finns på grund av de känsliga papyrierna, finns det en samling av cirka 400 lertavlor av babylonisk matematik som har grävts sedan omkring 1850. Vår kunskap bygger på detta. Anteckningarna huggen in i den mjuka lera med kilform och brändes eller torkades i solen. Majoriteten av de hittade tabletterna är från 1800 till 1600 f.Kr. Och täcka ämnen som fraktioner, algebra , kvadratiska och kubiska ekvationer, Pythagoras teorem och Pythagoras trippel ( Plimpton 322 ). På bordet YBC 7289 finns en approximation för med en noggrannhet på sex decimaler. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Babyloniskt nummersystem

Aritmetiken gjordes i sexagesimal-systemet , vilket inte representerar ett platsvärdesystem, eftersom platsvärdet inte kan läsas: Tecknet "1" kan betyda 1/60, 60 eller 3600, värdet kan bara härledas från sammanhanget . Rester av detta nummersystem finns fortfarande idag i vår representation av vinklar (1 ° = 60 ', 1' = 60 '') och tider. Eftersom 60 = 2 · 2 · 3 · 5 har siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 och 30 som en delare, kan betydligt fler siffror skrivas i ändlig representation än i decimalsystem, vilket gjorde numeriska beräkningar, särskilt delning, mycket enklare. Siffrorna skrevs siffran för siffran från vänster till höger som idag, med siffrorna med större betydelse till vänster. Det som har sagts gäller inte för sumeriernas och akkadernas tidigare lertavlor; dessa använde helt olika representationer av siffror.

Siffra från 1 till 59:

Babylonierna visste inte ett tal för noll . Det betraktades inte som ett nummer utan representerades som frånvaron av ett nummer och med ett mellanslag.

Formler för beräkning av areal och volym fanns tillgängliga. För siffran π användes ofta 3 som en uppskattning; en tabell ger bättre uppskattning 3 + 1/8.

Den Pythagoras sats var känd, men bara när det gäller dess tillämpning, inte i betydelsen av ett matematiskt bevis.

Sumerisk matematik (3000-2300 f.Kr.)

Det äldsta beviset på skriftlig matematik kommer från sumerierna, som utvecklade en av de tidigast kända kulturerna i Mesopotamien. Ett kraftfullt mätsystem härstammar från denna tid. Sedan 2600 f.Kr. Multiplikationstabeller, geometriska och aritmetiska uppgifter är bevisade.

Äldre babylonisk matematik (2000–1600 f.Kr.)

De flesta lertavlor för matematik som hittades kommer från denna tid. Innehållet i tabellerna består av listor och tabeller, i andra fall hanterar de problem och utarbetade lösningar.

aritmetisk

Fördefinierade tabeller användes för att stödja aritmetiken. Två tabletter som hittades i Senkerah på Eufrat i 1854 och datum tillbaka till 2000 f.Kr. Listor med alla kvadrattal för siffrorna 1 till 59 och kubnumren för siffrorna 1 till 32. Kvadraturnumren, särskilt kvartkvadratabellen, gjorde det möjligt att beräkna produkter med ett tillägg och två subtraktioner, och för att hitta två rutor i en tabell över rutor med formlerna.

${\ displaystyle ab = {\ frac {(a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2}} {4}}}$

${\ displaystyle ab = {\ frac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}$

(Kvartal kvadratmetoden). Istället för z. Till exempel, för att beräkna 3 · 6 direkt, beräknar man 3 + 6 = 9 och 6 - 3 = 3 (större minus mindre!) Och letar upp kvartfyrkantarna 9 och 3 i tabellen ( ). Resultat: 20.25 och 2.25. Dessa två siffror subtraheras för att ge produkten 20,25 - 2,25 = 18. ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2}} {4}}}$

Uppdelningen genomfördes inte med en direkt algoritm utan med formeln

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = a \ cdot {\ frac {1} {b}}}$

spåras tillbaka till multiplikation. Omfattande tabeller med ömsesidiga värden fanns tillgängliga för detta ändamål.

De ömsesidiga värdena 7, 11, 13 och liknande har inte längre en ändlig representation i sexagesimala systemet. Därför z. B. används för 1/13 ungefärliga:

${\ displaystyle {\ frac {1} {13}} = {\ frac {7} {91}} = 7 \ cdot {\ frac {1} {91}} \ ca 7 \ cdot {\ frac {1} { 90}} = 7 \ gånger {\ frac {40} {3600}}}$

algebra

Kvadratiska ekvationer löstes med formeln, som alla studenter fortfarande kan lära sig idag. Eftersom inga negativa siffror fanns tillgängliga, ca

${\ displaystyle \ x ^ {2} + bx = c}$

med b och c , som inte nödvändigtvis är heltal, men positiva som

${\ displaystyle x = {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} + c}} - {\ frac {b} {2}}}$

specificerad. Den (tydligt positiva) roten togs från det fyrkantiga bordet.

Lösningen av kubiska ekvationer var också känd. För detta ändamål, n ³ + n ^{2 har} i tabellform. Att lösa

${\ displaystyle \ ax ^ {3} + bx ^ {2} = c.}$

ekvationen multiplicerades med a ² och delades med b ³ med resultatet

${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax} {b}} \ right) ^ {3} + \ left ({\ frac {ax} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {approx. ^ {2}} {b ^ {3}}}.}$

Ersättningen y = ax / b ger

${\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = {\ frac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}}$

Detta kan lösas för y genom att slå upp n ³ + n ² i tabellen för att hitta det bästa värdet för höger sida. (Exempel: ; . Tabellen returnerar och ) ${\ displaystyle 3 \ cdot x ^ {3} +4 \ cdot x ^ {2} = 475}$${\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = 475 \ cdot 9/64 \ ca 67}$${\ displaystyle 3 \ cdot x / 4 = 3 {,} 75}$${\ displaystyle x = 5 {,} 0}$

Beräkningen gjordes utan algebraisk notation, vilket indikerar en anmärkningsvärt djup förståelse för den underliggande matematiken. Det finns inga indikationer för att känna till den allmänna kubiska ekvationen.

Som den relativt välkända lertabletten YBC 7289 visar kan kvadratrötter beräknas med hög noggrannhet med hjälp av Heron- metoden .

Sammanfattning: Omfattande beräkningar genomfördes med rationella siffror med hjälp av tabeller. Att förstå ett kort utdrag från en sådan tabell (i decimalsystemet!) Ges:

 n n^2 n^2/4   1/n   n^2+n^3

 1   1   0 1,000000     2
 2   4   1 0,500000    12
 3   9   2 0,333333    36
 …
 3,75                  66,8
 …
 4  16   4 0,250000    80
 5  25   6 0,200000   150
 6  36   9 0,166667   252
 7  49  12 0,142857   392
 8  64  16 0,125000   576
 9  81  20 0,111111   810
10 100  25 0,100000  1100
 …

geometri

De allmänna reglerna för area- och volymberäkning var kända. Omkretsen U för en cirkel med diametern d antogs vara U = 3 · d och arean A vara A = U · U / 12. Den dåliga approximationen använder båda . Pythagoras sats användes men bevisades inte; tanken på att bevisa utvecklades först av grekerna. Det finns tabeller med de pythagoriska tripletterna som (3, 4, 5). ${\ displaystyle \ pi = 3}$

Kaldeisk matematik (626-539 f.Kr.)

Den kaldeiska perioden är det nya babyloniska riket (626-539 f.Kr.), den andra glansperioden i staden Babylon. Staden var imperiets huvudstad och ett centrum för vetenskap. Källorna för denna period är dock mindre gynnsamma.

Sedan den babyloniska kulturen återupptäcktes har det blivit uppenbart att de grekiska astronomerna, särskilt Hipparkos , hade information från kaldeiska källor.

Franz Xaver Kugler visade i sin bok Die Babylonische Mondrechnung att månfaser redan förekommer i babyloniska efemertabeller, som enligt Ptolemaios (Almagest IV.2) förbättrades av Hipparchus och själv med hänsyn till äldre observationer av "kaldeerna". Enligt Kugler visas dessa värden i en samling tabletter som nu kallas "System B", som ibland tillskrivs astronomen Kiddinu . Uppenbarligen kontrollerade Ptolemaios och Hipparkos endast de äldre värdena genom aktuella observationer.

Vi vet att Hipparchus och senare Ptolemaios hade i huvudsak kompletta listor över förmörkelser som sträckte sig över flera århundraden. Dessa listor kommer sannolikt från lertabletter som innehåller alla relevanta observationer rutinmässigt registrerade av kaldeerna. Konserverade tabletter är från 652 f.Kr. Chr. Till 130 n. Chr. Daterad, men uppgifterna var troligt fram till kung Nabonassars regeringstid tillbaka från Babylon. Ptolemaios rekord börjar den första dagen i den egyptiska kalendern under de första åren av Nabonassars regeringstid, dvs. den 26 februari 747 f.Kr. Chr.

Rådata var förmodligen svåra att använda, så utdrag gjordes. Så man har z. B. Hittade brädor med alla förmörkelser. Specifikt finns det en tabell med alla förmörkelser i en Saros-cykel . Detta gjorde det möjligt att identifiera periodiska repetitioner av astronomiska händelser. Följande perioder hittades i system B ( Almagest IV.2):

• 223 synodiska månader = 239 avvikande månader = 242 drakoniska månader . Denna period kallas nu Saros-cykeln och används för att förutsäga förmörkelser.
• 251 synodiska månader = 269 avvikande månader
• 5458 synodiska månader = 5923 drakoniska månader
• 1 synodisk månad = 29; 31: 50: 08: 20 dagar (sexagesimal; decimalvärde: 29.53059413 ... dagar = 29 dagar 12 timmar 44 min 3⅓ s)

Babylonierna uttryckte alla perioder i synodiska månader, eftersom en lunisolär kalender antagligen användes. Olika fenomenförhållanden under året ledde till flera värden för årslängden .

Flera uppmätta värden för deras banor runt solen var också kända för andra planeter. De värden som Ptolemaios tillskriver astronomen Hipparchus i Almagest IX.3 fanns redan som förutsägelser på äldre babyloniska tabletter.

Det är oklart när, i vilken utsträckning och hur delar av denna kunskap blev tillgängliga för grekerna. Detta var bara möjligt eftersom babyloniska forskare skrev verk på grekiska, för att grekerna inte lärde sig något främmande språk och inte kunde läsa kileskrifttexter.

Se även

• Babylonisk kalender

Äldre litteratur

• Kurt Vogel : Pre-Greek Mathematics, Part II. Hannover / Paderborn 1959.

Individuella bevis

1. ↑ Norbert Froese: Pythagoras & Co. - Grekisk matematik före Euclid, s. 10 (PDF; 728 kB)
2. ↑ YBC 7289 . math.ubc.ca. Hämtad 11 maj 2011.
3. ↑ YBC 7289 . it.stlawu.edu. Hämtad 11 maj 2011.