Sexagesimalt system

Det sexagesimala systemet (även hexagesimal systemet eller sextiotalet systemet ) är ett platsvärde system baserat på basen 60 ( latin sexagesimus 'de sextionde' ).

Det används fortfarande idag för att indikera vinklar och geografiska longitud och breddgrader . En examen har 60 bågminuter och en minut har 60 sekunder . Det har också överlevt inom tidtagning . En timme har 60 minuter och en minut har 60 sekunder . I slutet av medeltiden delade några matematiker vidare upp sekunderna i tertiae för sina beräkningar . Detta har dock inte tagit tag i.

ursprung

Det första beviset på ett skriftligt sexagesimalt beräkningssystem, som fortfarande var ett tilläggssystem , går tillbaka till den sumeriska perioden runt 3300 f.Kr. BC tillbaka. Under den vidare babyloniska matematiken från ca. Ett sexagesimalt värdevärdessystem används. De viktigaste källorna för matematik är från 1900 f.Kr. BC till 1600 BC F.Kr., men de äldsta tabelltexterna är från den nysumeriska perioden. Den post-Alexandriska perioden visar ökande grekiska influenser under seleukiderna , som inledde en synergi med den babyloniska kunskapen för att senare fullt ut kunna exportera sumerernas, akkadiernas, assyriernas och babyloniernas erfarenheter till Grekland. Arabiska astronomer använde stavningen av den berömda grekiska astronomen Ptolemaios i sina stjärnkartor och tabeller , som baserades på sexagesimala fraktioner. Tidiga europeiska matematiker som Fibonacci använde också sådana fraktioner när de inte kunde arbeta med heltal.

Många historiker ser ett motiv för införandet av ett sexagesimalt system i astronomin , eftersom de babyloniska åren omfattade tolv månader om 30 dagar, men det fanns också en ytterligare 13: e skottmånad ungefär vart tredje år . Ytterligare information kan hittas i den tidiga räkningen av månmånaderna, som går tillbaka till 35 000 f.Kr. Kan bevisas (kalenderpinne). I Tjeckien hittades eket ben av en ung varg från cirka 30 000 f.Kr. Grundades i BC, som har en serie på 55 hack totalt, är 9: e, 30: e och 31: e hacken ungefär dubbelt så lång från toppen som de andra hacken. Eftersom medeltiden för månens faser är 29,53 dagar, kan markörerna relateras till månens faser .

Andra forskare ser anledningen till att välja siffran 60 som grunden för datasystemet för att helt enkelt kunna uttrycka eller beräkna så många av de delar som förekommer i praktisk räkning och mätning (handel) som möjligt. En indikation på detta är att 60 med 12 delare tillhör de högt sammansatta siffrorna (nr 9 i serie A002182 i OEIS ).

En- och tvåhandsräkning med falanger och fingrar

I det vanliga decimalsystemet (tiosystem) räknar du med de tio fingrarna (två gånger fem) på båda händerna. I vissa delar av världen blev det dock en räkning med hjälp av falangen , vilket ledde till siffran tolv ( duodecimal ) med ena handen , men ledde till siffran 60 med två händer.

Enhandsräkning till 12

Räkningen görs med tummen som pekare och falangerna i samma hand som räkningsobjektet.

Enhandsräkning börjar med att vidröra spetsen på det första föremålet med tummen, dvs den övre falangen, på lillfingret på samma hand.
För det andra objektet vidrörs lillfingrets mittfalang med tummen; så du räknar med tummen med lem och finger.
Tre → lillfingrets nedre länk
Fyra → ringfingrets övre länk
Fem → ringens mittlänk
Sex → ringfingrets nedre länk
Sju → övre falangen i långfingret
Åtta → långfingret på långfingret
Nio → nedre länken på långfingret
Tio → pekfingrets övre falang
Elva → mittlänk på pekfingret
Tolv → nedre länken på pekfingret

Med andra ord: fyra fingrar med tre falanger motsvarar 12.

Tvåhänt räknar upp till 60

Efter att det första dussinet har räknats med hjälp av tummen som en pekare med de tre falangerna av de återstående fyra fingrarna på samma hand (4 × 3 = 12), räknar kapaciteten för ena handen inledningsvis.

Den andra handen knyts i en knytnäve. För att komma ihåg att ett dussin har räknats sträcker man nu ett finger, t.ex. B. tummen ut.
Nu fortsätter du att räkna genom att börja om på ett med din första hand . Vid tolv är det andra dussinet fullt.
För att komma ihåg att två dussin har räknats sträcker det ena nu nästa finger på den andra handen, t.ex. B. efter tummen ut pekfingret.
Med de fem fingrarna i första handen kan du räkna fem gånger ett dussin, så 5 × 12 = 60.
Nu kan du räkna nästa dussin igen med första handen, dvs räkna till 72 med två händer (12 på första plus 60 å andra sidan).

Detta fingerräkningssystem finns fortfarande i delar av Turkiet , Irak , Indien och Indokina .

Du kan också räkna upp till 12 × 12 = 144 (a large ) eller 156 (13 × 12) genom att räkna med fingrarnas falanger med den andra handen.

När man räknar en stor mängd kan man använda ett hjälpmedel, till exempel pinnar, stenar, linjer eller de tio fingrarna på en hjälpare. Fem dussin åt gången, dvs 60, noteras med ett av hjälpmedlen. Med de tio fingrarna på en mänsklig hjälpare kan du räkna upp till 10 × 60 = 600, med de andra hjälpmedlen ännu längre.

Sumerer

Bland sumerierna kallades 60 -talet gesch .

120: gesch-min (60 × 2)
180: gesch-esch (60 × 3)
240: gesch-limmu (60 × 4)
300: gesch-iá (60 × 5)
360: gesch-asch (60 × 6)
420: gesch-imin (60 × 7)
480: skott (60 × 8)
540: gesch-ilummu (60 × 9)
600: gesch-u (60 × 10)
Nu räknade sumerierna inte i steg om 60 ( gesch- steg), utan i 600-steg ( gesch-u- steg), nämligen sex gånger 600, dvs upp till 3600, som kallades schàr .
3600 ökades sedan igen tio gånger till schàr-u (3600 × 10) 36 000.
De 36 000 räknades sex gånger till 216 000 schàr-gal , bokstavligen den stora 3600 ( dvs. 60 × 60 × 60).
De 216 000 räknades tio gånger till 2 160 000 schàr-gal-u (= (60 × 60 × 60) × 10)
Schàr-gal-u multiplicerades initialt fem gånger. Den sjätte multipeln 12 960 000, dvs 60 × 60 × 60 × 60, fick sitt eget namn igen, nämligen schàr-gal-shu-nu-tag (den stora schàr överordnade enheten).

Siffrorna 10 till 60 har en decimal (30 = uschu = esch-u = 3 × 10), och ibland till och med en vigesimal struktur (40 = nischmin = nisch-min = 2 × 20).

Sexagesimalsystemet i babylonisk användning

Sumererna används innan kilskrift tecken för de nummer 1 till 60 var och en av olika storlek halva ellipser och siffrorna 10 och 3600 = 60² vardera olika stora cirklar , med cylindriska pennor pressades till lera tabletter. Från dessa symboler kombinerades symbolerna för 600 = 10 · 60 och 36000 = 10 · 60² i enlighet därmed. Det fanns också ett annat system med decimaler på 1, 10 och 100, samt ett tredje system på akkadisk tid. Fram till den sen sumeriska perioden ändrade de enskilda karaktärerna form, men behöll sin individuella karaktär och bildade ett tilläggssystem som liknade de romerska siffrorna . Endast med det senare babyloniska sexagesimala systemet fanns det ett verkligt system av platsvärden med bara två individuella tecken: för 1 och för 10. Med dessa kunde siffrorna 1 till 59 bildas additivt, vilket i sin tur fick sitt verkliga värde som siffror i decimalsystemet genom deras position.

Siffrorna

Anledningar till att använda det sexagesimala systemet ligger i den effektiva beräkningsmetoden och det mycket begränsade antalet enskilda talstecken från vilka siffrorna bildades. Några exempel på det babyloniska kilskriften:

Sexagesimalt system i form av kilskrift
	1	2	3	4: e	5	6: e	7: e	8: e	9

10	11	12: e	13: e	14: e	15: e	16	17: e	18: e	19: e

20: e	30: e	40	50

Ytterligare numeriska exempel:

= 62, = 122 och = 129.

Siffrorna består av endast två individuella siffror. I detta avseende var antalet faktiska siffror inte begränsat, även om det endast hänvisades till två individuella siffror, vars storlekar ändrades efter behov. Det finns dock alltid problem med läsningen, eftersom siffrorna i ett tal, som mestadels berodde på sammanhanget, inte var entydiga: z. B. kan betyda 30, 30x60 eller 30/60 och så vidare. Det fanns heller ingen nolla, så att ibland saknades en siffra - vilket dock var mycket sällsynt - och olika siffror skrevs på samma sätt. Senare lämnades ibland en lucka vid en saknad punkt, från 600 -talet f.Kr. Ett mellanslag med värdet noll uppträdde som ett extra siffertecken. Detta utrymme användes dock inte direkt i beräkningen och det syntes inte som en separat nummersymbol, så det hade inte innebörden av siffran noll . Meningen som en symbol för siffran noll, å andra sidan, gavs först av indianerna till deras utrymme.

Sexagesimaltal representeras av arabiska siffror genom att skriva ett komma mellan två individuella sexagesimala platser. Hela sexagesimala platser, å andra sidan, separeras från de brutna med ett semikolon och om det saknas platser eller mellanslag, skrivs ett "0" (detta är då en tolkning): B. 30,0 = 30 * 60 och 0; 30 = 30/60.

Datatekniken

Lägg till och subtrahera

Som med vårt decimalsystem möjliggjorde platsvärdesystemet att föregående siffra kan expanderas eller reduceras med 1. Kilarnas form underlättade det sexagesimala systemet eftersom endast kilarna måste sättas ihop. De tekniska termer som används för addition och subtraktion var "multiplicera" och "flytta bort" (de matematiska symbolerna + och - introducerades först av Johannes Widmann på 1400 -talet e.Kr.). En negativ skillnad mellan två tal uttrycks med "Subtrahend goes beyond". Att lägga till och subtrahera fungerar precis som det gör idag i decimalsystemet.

Exempel på ett tillägg:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}}

i notationen av det sexagesimala systemet. 1: an framför decimalpunkten anger värdet 1 · 60, till vilket talet 30 efter decimalpunkten läggs till.

Exempel på en subtraktion:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}}

i notationen av det sexagesimala systemet. 4 och 1 framför decimalen anger värdena 4 · 60 och 1 · 60, till vilka siffrorna 40, 50 respektive 10 läggs till efter decimalpunkten.

Multiplicera

Samma procedur som i decimalsystemet användes för multiplikation. Men medan i decimalsystemet måste man ha multiplikation tabell 1 · 1-9 · 9 i åtanke bör babylonierna kunnat memorera multiplikationstabellen från 1 · 1 till 59 · 59. För att göra det enklare användes multiplikationstabeller från vilka de nödvändiga produkterna kunde läsas: Varje rad i en multiplikationstabell började med samma huvudnummer, t.ex. B. 2, följt av uttrycket ”tider” och multiplikatorn, t.ex. B. 1, och slutligen resultatet, t.ex. B. 2. Multiplikatorerna varierade från 1 till 20 och kom sedan 30, 40 och 50.

Eftersom i sexagesimalsystemet 60 betygsattes i steg om 10 (se ovan under siffror) och i allmänhet användes dagliga decimalnummer mycket. B. 1.40 = 100 och 16.40 = 1000 multiplikationstabeller skapade. En annan anledning är interaktionen med värdena från ömsesidiga tabeller (se nedan under division). Om andra värden krävdes sattes siffrorna ihop.

Huvudnumren:

1.15	1,20	1.30	1,40	2	2.13.20	2.15	2,24	2.30	3	3,20	3.45	4: e	4,30	5	6: e	6,40	7: e	7.12	7.30	8: e
8.20	9	10	12: e	12.30	15: e	16	16.40	18: e	20: e	22.30	24	25: e	30: e	36	40	44,26,40	45	48	50

Exempel på en multiplikation:

{\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 4 {,} 00 +1 {,} 48 = 34 {,} 48}

.

Att dela

Babylonierna delat ett antal av ett nummer där de med reciproka av multipliceras: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}

.

Det ömsesidiga av ett tal kan hittas i en multiplikationstabell med huvudnumret , om en effekt på 60 delas. Eftersom det fanns där som ett resultat , d. H. en kraft på 60, då var motsvarande multiplikator det ömsesidiga värdet du letade efter ( och har samma representation i det babyloniska sexagesimala systemet): ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$

{\ displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}

, alltså .

{\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}

De ömsesidiga värdena för naturliga tal sattes ihop igen i ömsesidiga tabeller för att underlätta . Man skrev i sådana tabeller för värden som inte hade något ömsesidigt i en multiplikationstabell, "är inte" istället för det ömsesidiga. För dessa oregelbundna tal, som har primfaktorer ≥ 7, användes ungefärliga värden som för irrationella tal .

Den ömsesidiga tabellen som huvudsakligen används innehåller följande par nummer:

n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n
2	30: e	3	20: e	4: e	15: e	5	12: e	6: e	10	8: e	7.30	9	6,40	10	6: e	12: e	5	15: e	4: e
16	3.45	18: e	3,20	20: e	3	24	2.30	25: e	2,24	27	2.13.20	30: e	2	32	1.52.30	36	1,40	40	1.30
45	1,20	48	1.15	50	1.12	54	1640	60	1	1.4	56.15	1.12	50	1.15	48	1,20	45	1.21	44,26,40

Mycket kan läsas från en ömsesidig tabell, inklusive eller eller , men också tvärtom osv. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$ ${\ displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$

Exempel på indelningar:

{\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}

.

{\ displaystyle 0; 12:25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2.24 = 0; 0.28.48}

.

Rotberäkning

Den antika grekiska matematikern och ingenjören Heron of Alexandria använde den metod som redan var känd i det forntida babyloniska riket i hans Metrica för att beräkna rötterna

{\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ approx a \ pm {\ frac {b} {2a}}}

.

${\ displaystyle a}$ togs från en tabell med rutor. För den (irrationella) kvadratroten av 2 får vi:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13.20}} \ approx 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}

,

d. H.

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ vänster ({\ frac {4} {3}} \ höger) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ approx {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ approx 1 {,} 41666667}

.

På en babylonisk lertavla (Yale Babylonian Collection 7289) finns det också en bättre approximation på diagonalen på en kvadrat:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1; 24,51,10 \ left (= {\ frac {305470} {216000}} \ approx 1 {,} 41421296 \ höger)}

.

Eftersom

{\ displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ approx 1; 24.42, 21 ( \ ca 1 {,} 41176389)}

,

ligger mellan 1; 25 och 1; 24,42,21 deras aritmetiska medelvärde

{\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ approx 1; 24,51,10}

närmare

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 {,} 41421356}

.

Nu anges kvadratens sidlängd på lertavlan som 30 och längden på diagonalerna till 42,25,35, vilket kan tolkas som följande beräkning:

{\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}

.

Exemplet visar att babylonierna hade algebraisk och geometrisk kunskap (här hade " Pythagoras sats " kunnat användas).

ytterligare information

En direkt släkting till det sexagesimala systemet är duodecimalsystemet med bas 12.

litteratur

Robert Kaplan: The Zero History. Inbunden: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Pocketversion: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
Richard Mankiewicz: Matematikens tidsresor - från siffrors ursprung till kaosteori. VGS Verlagsgesellschaft, Köln 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
Kurt Vogel : Pre-Greek Mathematics. Del II: Babyloniernas matematik. Schroedel, Hannover och Schöningh, Paderborn 1959.

webb-länkar

Wiktionary: Sexagesimal system - förklaringar av betydelser, ordets ursprung, synonymer, översättningar

Christoph Grandt: The Babylonian Sexagesimal System . (PDF; 215 kB)

Individuella bevis

↑ JP McEvoy: Solar Eclipse. Berlin-Verlag, 2001, s. 43. K. Vogel: Del II , s. 22 f.
↑ K. Vogel: Pre-Greek Mathematics. Del I: Förhistoria och Egypten. Schroedel, Hannover och Schöningh, Paderborn 1958. s. 16, fig. 11.
↑ K. Vogel: Del II , s. 23.
↑ Georges Ifrah: Numbers Universal History . Licensierad upplaga Två tusen och en upplaga. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, sid. 69–75 och 90–92 (franska: Histoire universelle des chiffres . Översatt av Alexander von Platen).
↑ Ifrah: Universal Numbers History . 2: a upplagan. Campus, Frankfurt am Main och New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, s. 69 ff . (Första upplagan: 1991).
↑ Thureau-Thangin kallade det en "vigesimal ö inom det sumeriska nummersystemet" 1932. Ifrah: Universal History of Numbers . 2: a upplagan. S. 71 .
↑ K. Vogel: Del II , s. 18 f.
↑ K. Vogel, del II , s. 34 f.

[1] JP McEvoy: Solar Eclipse. Berlin-Verlag, 2001, s. 43. K. Vogel: Del II , s. 22 f.

[2] K. Vogel: Pre-Greek Mathematics. Del I: Förhistoria och Egypten. Schroedel, Hannover och Schöningh, Paderborn 1958. s. 16, fig. 11.

[3] K. Vogel: Del II , s. 23.

[Ifrah_2-4] Georges Ifrah: Numbers Universal History . Licensierad upplaga Två tusen och en upplaga. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, sid. 69–75 och 90–92 (franska: Histoire universelle des chiffres . Översatt av Alexander von Platen).

[Ifrah_69-5] Ifrah: Universal Numbers History . 2: a upplagan. Campus, Frankfurt am Main och New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, s. 69 ff . (Första upplagan: 1991).

[Ifrah_71-6] Thureau-Thangin kallade det en "vigesimal ö inom det sumeriska nummersystemet" 1932. Ifrah: Universal History of Numbers . 2: a upplagan. S. 71 .

[7] K. Vogel: Del II , s. 18 f.

[8] K. Vogel, del II , s. 34 f.

Languages