hypotenusa

En rätt triangel och dess hypotenusa

I geometri är en hypotenusa den längsta sidan av en rätt triangel , som alltid är sidan motsatt den rätta vinkeln . Den längd hypotenusan i en rätvinklig triangel kan hittas med hjälp av Pythagoras sats , som säger att kvadraten av längden på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna av längderna av de två andra sidorna. Till exempel, om en av kateterna är 3 cm (9 cm² kvadrat) och den andra är 4 cm (16 cm² kvadrat), blir deras kvadrater upp till 25 cm². Hypotenusens längd är kvadratroten på 25 cm², vilket är 5 cm.

etymologi

Ordet hypotenuse kommer från det grekiska .eta τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα hē Ten ORTHEN gōnían hypoteínousa (sc. Γραμμή program eller πλευρά pleura ), det betyder "sida motsatt till rätt vinkel" ( APOLLODORUS ). Den nominaliserade delen, ἡ ὑποτείνουσα hē hypoteínousa , användes fram till 400 -talet f.Kr. Används för triangelns hypotenusa (dokumenterat i Platon , Timaeus 54d). Den grekiska termen lånades till sent latin i formen hypotēnūsa . Stavningen med en -e som hypotenusa är av franskt ursprung ( Estienne de La Roche 1520 ).

beräkning

En rätt triangel

Hypotenusens längd kan beräknas med två angivna längder eller en längd och en spetsig vinkel .

Två kateter

För en rätvinklig triangel, om du namnge längd hypotenusan och längderna av kateter och enligt Pythagoras sats , gäller följande : ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Om du löser detta för får du formeln (under villkoret ) ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c \ geq 0}$

${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}},}$

med vilken man kan beräkna hypotenusens längd.

Katetus och höjd

Den höjd delar en rätvinklig triangel i två trianglar. Basen för höjden delar hypotenusen i hypotenuseavsnittet och . Enligt Pythagoras sats , så . Den högra triangeln liknar dess trianglar eftersom de tre inre vinklarna är desamma. Därför matchar motsvarande bildförhållanden och det gäller , så ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle h ^ {2} + p ^ {2} = a ^ {2}}$${\ displaystyle p = {\ sqrt {a ^ {2} -h ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {p}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {a ^ {2}} {p}} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -h ^ {2}}}}}$

och också

${\ displaystyle c = {\ frac {b ^ {2}} {q}} = {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {b ^ {2} -h ^ {2}}}}.}$

Katetus och spetsig vinkel

Enligt definitionen av sinus och cosinus gäller följande:

${\ displaystyle \ sin (\ alpha) = {\ frac {a} {c}}, \ quad \ cos (\ alpha) = {\ frac {b} {c}}, \ quad \ sin (\ beta) = {\ frac {b} {c}}, \ quad \ cos (\ beta) = {\ frac {a} {c}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {a} {\ sin (\ alpha)}}, \ quad c = {\ frac {b} {\ cos (\ alpha)}}, \ quad c = {\ frac {b } {\ sin (\ beta)}}, \ quad c = {\ frac {a} {\ cos (\ beta)}}}$

Höjd och spetsig vinkel

Enligt definitionen av tangent och cotangent gäller följande för de partiella trianglarnas sidor och vinklar:

${\ displaystyle \ tan (\ alpha) = {\ frac {p} {h}}, \ quad \ cot (\ alpha) = {\ frac {q} {h}}, \ quad \ tan (\ beta) = {\ frac {q} {h}}, \ quad \ cot (\ beta) = {\ frac {p} {h}}}$

${\ displaystyle p = h \ cdot \ tan (\ alpha), \ quad q = h \ cdot \ cot (\ alpha), \ quad q = h \ cdot \ tan (\ beta), \ quad p = h \ cdot \ cot (\ beta)}$

Detta resulterar i längden på hypotenusen

${\ displaystyle c = p + q = h \ cdot \ tan (\ alpha) + h \ cdot \ cot (\ alpha) = h \ cdot (\ tan (\ alpha) + \ cot (\ alpha))}$

${\ displaystyle c = p + q = h \ cdot \ cot (\ beta) + h \ cdot \ tan (\ beta) = h \ cdot (\ cot (\ beta) + \ tan (\ beta))}$

Många datorspråk stöder ISO-C-standardfunktionen hypot(x, y), som returnerar ovanstående värde. Funktionen är utformad på ett sådant sätt att den inte misslyckas även om den enkla beräkningen enligt formeln kan flyta över eller underflöda, och den är också ofta något mer exakt.

Vissa vetenskapliga räknare ger en funktion för att konvertera kartesiska koordinater till polära koordinater . Detta matar ut både längden på hypotenusen och vinkeln som hypotenusan bildar med baslinjen om och ges. Vinkeln som returneras ges vanligtvis av. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$arctan2(y, x)

egenskaper

Ortogonala projektioner :

• Hypotenusens längd är summan av längderna av de ortogonala utsprången på båda kateterna .

${\ displaystyle c = p + q}$

• Den höjd delar en rätvinklig triangel i två trianglar. Den högra triangeln liknar dess trianglar eftersom de tre inre vinklarna är desamma (se illustrationen). Därför gäller följande bildförhållanden:

${\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {p} {a}}}$

${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = {\ frac {q} {b}}}$

• Den kvadraten på längden av ett ben är den produkt av längden av dess ortogonala projektionen och längden på hypotenusan.

${\ displaystyle a ^ {2} = p \ cdot c}$

${\ displaystyle b ^ {2} = q \ cdot c}$

• Så benets längd är det geometriska medelvärdet mellan längden på dess ortogonala projektion och hypotenusens längd.

${\ displaystyle a = {\ sqrt {p \ cdot c}}}$

${\ displaystyle b = {\ sqrt {q \ cdot c}}}$

Trigonometriska funktioner

Med hjälp av trigonometriska funktioner kan man beräkna värdena för de två spetsiga vinklarna och den högra triangeln . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Hypotenusens och katetens längder anges , vars förhållande gäller: ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = \ sin (\ beta)}$

Den inversa trigonometriska funktionen är

${\ displaystyle \ beta = \ arcsin \ left ({\ frac {b} {c}} \ right),}$

i vilken vinkeln är motsatt kateten . Den intilliggande vinkeln på katet är. Du kan också använda formeln för att ändra storleken på vinkeln${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ} - \ beta.}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ vänster ({\ frac {a} {c}} \ höger) \,}$

beräkna i vilken den andra kateten representerar. ${\ displaystyle a}$

Se även

• triangel
• Manhattan -mätvärde
• trigonometri
• Pythagoras

webb-länkar

• Hypotenuse i Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein : Hypotenuse . I: MathWorld (engelska).