Elo -betyg
Den Elo numret är en rating som beskriver kunskapsnivån för schack och Goos spelare . Konceptet har sedan dess anpassats för olika andra sporter.
Baserat på Bradley -Terry -modellen -uppkallad efter RA Bradley och ME Terry, som presenterade den 1952 -som i sin tur är baserad på ett verk av Ernst Zermelo från 1920 -talet, utvecklade Arpad Elo ett objektivt poängsystem för US Schack Federation i 1960 USCF . Den introducerades 1970 på kongressen i Siegen av världsschackförbundet FIDEaccepterad. Världsschackförbundet kallar sitt system för "FIDE rating system". Ett betygsnummer kallas officiellt "FIDE -betyg", men kallas vanligtvis helt enkelt som ett "Elo -betyg" i dagligt språk. Förutom det internationella ratingsystemet för FIDE finns det också nationella ratingsystem med olika namn. I Tyskland nationell rankning systemet kallas DWZ i Österrike (nationell) Elo siffror beräknas och i Schweiz finns det en ledare lista med ledarnummer . Dessa system utvärderar betydligt fler lokala turneringar, men beräknar också betyg enligt Arpad Elo -metoder med mestadels endast mindre modifieringar och avvikande faktorer.
beräkning
Logisk grund
Varje spelare tilldelas ett Elo -nummer R (från engelskt betyg ). Ju starkare spelaren, desto högre siffra. Om flera spelare tävlar mot varandra kan det förväntade antalet poäng för respektive spelare bestämmas utifrån spelarnas Elo -nummer. Efter matchen kommer Elo -betyget för spelarna att anpassas till deras resultat. Beroende på skillnaden mellan det förväntade värdet och resultatet, får eller förlorar en spelare Elo -poäng. Systemet är utformat på ett sådant sätt att Elo -betygspunkter fördelas om bland de inblandade spelarna.
Om en spelare ännu inte har ett Elo -betyg, till exempel som nykomling, uppskattas hans Elo -betyg.
Förväntat värde
I ett möte mellan två spelare finns det en poäng för en vinst, en halv poäng för oavgjort och ingen poäng för ett nederlag. Det förväntade antalet poäng är därför sannolikheten för att spelaren vinner plus halva sannolikheten för oavgjort . Detta förväntade värde beräknas utifrån betyget enligt följande:
R A − R B | E A | E B |
---|---|---|
0 | 0,50 | 0,50 |
100 | 0,64 | 0,36 |
200 | 0,76 | 0,24 |
300 | 0,85 | 0,15 |
400 | 0,91 | 0,09 |
-
- : förväntad poäng för spelare A
- : tidigare Elo -betyg för spelare A
- : tidigare Elo -betyg för spelare B
Detsamma gäller för den förväntade poängen för spelare B.
Följande gäller alltid här
Siffran 400 som finns i formeln valdes av Arpad Elo på ett sådant sätt att Elo -numren är så kompatibla som möjligt med betygen för betygssystemet som tidigare använts av Kenneth Harkness . Faktum är att Harkness -modellen kan ses som en styckvis linjär approximation till Elo -modellen. Om skillnaden i betyg är mer än 400 poäng används värdet 400 eller −400 istället för den faktiska skillnaden.
En spelares förväntan på vinst som funktion av poängskillnaden följer en logistisk funktion i Elos modell . För att undvika missförstånd: Det betyder inte innebär dock att spelet styrkor modelleras som logistiskt fördelade slumpvariabler , eftersom detta inte är fallet - egendom multiplicativity av de förväntade värdena (se nedan ) som är kännetecknande för Elos modellen kan inte härledas från antagandet om ett logistiskt Deriv fördelningen (eller en normal fördelning ) av skicklighetsnivåerna. (Man kan naturligtvis konstruera en fördelning så att exakt denna egenskap uppfylls, men det finns ingen rimlig förklaring till varför styrkorna bör följa denna slumpmässiga mekanism. Det är därför mer förnuftigt att använda multiplikativitet som utgångspunkt för modelleringen och att avstå från ett fördelningsantagande.)
Multiplikativitet av förväntade värden
De förväntade värdena är multiplikativa. Om till exempel spelare A är en 3: 1 -favorit med spelare B (dvs A får 75% av poängen i spel mot B) och B är en 2: 1 -favorit med C, så kräver eller följer Elo's modell från Elo's modell att A mot C är en 6-1 favorit.
I allmänhet: Om A är en x: 1 -favorit jämfört med B och B a y: 1 -favorit jämfört med C, är A enligt Elos -modell en xy: 1 -favorit jämfört med C.
Detta kan enkelt beräknas. Men multiplicativity inte en följd av en normalfördelning - även om man ofta läser att Elo modellen förutsätter en normalfördelning, är detta antagande bara en mycket grov uppskattning av kravet på multiplicativity, så att kravet på multiplicativity är bättre startpunkt för utveckling av modellen - särskilt för att beräkna spelarnas skicklighetsnivåer från tidigare epoker.
Justering av Elo -betyget
Det nya Elo -betyget för spelare A härrör från föregående och nuvarande prestanda, det senare vägs med en faktor . Ju större , desto större blir effekten av nyuppnådda resultat.
- : är vanligtvis 20, för toppspelare (Elo> 2400) 10, för färre än 30 klassade spel 40, för ungdomsspelare (under 18, Elo <2300) 40
- : spelarens faktiska poäng (1 för varje vinst, 0,5 för varje oavgjort, 0 för varje nederlag)
Ett exempel
Schackspelaren Alfred (Elo: 2806) spelar mot schackspelaren Berta (Elo: 2577). Enligt den första formeln förväntar man sig att Alfred (spelare A) mot Berta (spelare B) får i genomsnitt = 0,789 poäng per spel:
Efter ett spel finns det tre alternativ:
a) Berta vinner - så = 0. De nya Elo -poängen för Alfred och Berta är
Alfred tappar åtta Elo -poäng, medan Berta får åtta Elo -poäng.
b) Alfred vinner - så = 1.
Alfred får ytterligare två Elo -poäng, Berta tappar två.
c) Slips - så = 0,5.
Alfred tappar tre Elo -poäng, Berta vinner tre.
Elo -prestanda
Som Elo -prestanda (inklusive turneringsprestanda kallas) kallas figuren uttryckt i Elo -poäng för en spelares prestation i en enda turnering. Till skillnad från den normala Elo -beräkningen ingår det tidigare Elo -numret inte i detta betyg. Förutom sitt rent sportiga informativa värde väljs Elo -prestationen som ett kriterium för att tilldela specialpriser om inte en annan direkt prestationsjämförelse av spelarna är möjlig - t.ex. B. för att bestämma den bästa individuella spelaren i en lagturnering.
schack
Innan Elo -betyget infördes klassificerades schackspelare i nio klasser eller kategorier. En klassskillnad innebar att den bättre spelaren kunde förvänta sig 0,75 poäng till följd av ett spel . I Elo -systemet motsvarar denna skillnad i skicklighetsnivå en skillnad på cirka 200 betygspoäng. Glicko -systemet är en förlängning .
Elo -betyg | Kategori män | Kategori kvinnor |
---|---|---|
≥ 2500 | Stormästare | |
2400-2499 | Internationell mästare | |
2300-2399 | FIDE master | Stormästare för kvinnor (WGM) |
2200-2299 | Kandidatmästare eller nationell mästare | Internationell dammästare (WIM) |
2100-2199 | Master kandidat | FIDE Dammästare (WFM) |
2000-2099 | expert- | Kandidatmästare för kvinnor (WCM) |
1800-1999 | Amatör, klass A, mycket bra klubbspelare | |
1600-1799 | Amatör, klass B, stark fritidsspelare | |
1400-1599 | Amatör, klass C, spelare över genomsnittet | |
1200-1399 | Amatör, klass D, genomsnittlig hobbyspelare | |
1000-1199 | Casual spelare | |
<1000 | Nybörjare |
Det bör noteras att de olika titlarna Grand Master (GM) och International Master (IM) inte bara erhålls på grundval av ett visst Elo -nummer, utan också genom uppfyllandet av andra etablerade normer. För att få titeln efter att ha uppfyllt alla standarder måste en potentiell GM ha uppnått ett Elo -betyg på minst 2500, en IM ett antal på minst 2400. Kraven på titlar för kvinnor är var och en 200 Elo -poäng lägre än för motsvarande titlar för män.
Klassens omfattning är 200 Elo -poäng. Systemet är kalibrerat så att en skillnad på 200 poäng motsvarar en vinstförväntning hos den starkare spelaren på 76%, 400 poäng motsvarar en 92% vinstförväntning, formeln P = 1 / (1 + 10 −D / 400 ), där D är skillnaden mellan spelaren med lägre betyg och spelaren med högre klass gäller bara ungefär. Jämförelsen bygger på statistiska metoder. Med en skillnad på 600 poäng vinner den starkare spelaren nästan alltid statistiskt (98%). Med datorer är distributionen inte bara densamma enligt 200-punktsdefinitionen, utan också mycket lika när det gäller kurvbeteende.
Turneringskategori
Runda turneringar är också indelade i kategorier baserat på deltagarnas genomsnittliga betyg . En skillnad på en kategori motsvarar 25 Elo -poäng. En turnering i kategori 1 klassificeras som en turnering vars deltagare i genomsnitt har 2251 till 2275 Elo -poäng. De för närvarande starkaste turneringarna når kategori 22, vilket motsvarar i genomsnitt 2776 till 2800 Elo -poäng. Vid Zurich Chess Challenge 2014 uppnåddes kategori 23 (med ett genomsnittligt betyg på 2801) för första gången i januari 2014.
statistik
Elo -systemet delar upp schackspelarna i nio klasser med hjälp av ett betygsnummer, med den nedre gränsen för överklassen är 2600 och den övre gränsen för den lägre klassen är 1200. Klassificeringarna för en enskild spelare är intervallskalade och ungefärligen normalfördelade och fluktuerar kring ett medelvärde med en standardavvikelse på 200. Det finns många spelare med färdighetsnivåer under 1200, men Elo -systemet gäller endast i begränsad omfattning när det gäller förutsägbar tillförlitlighet på denna spelnivå. Det är särskilt viktigt på amatörnivå att en spelare kan försvara sitt nummer mot starkare motståndare utan att behöva koncentrera sig på speciella egenskaper som omedvetna psykologiska svagheter eller dålig tidshantering av nykomlingar. Utopiska höga värden korrigeras snabbt, exakt och pålitligt genom nederlag. Det ganska stabila Elo -talet bestäms med olika metoder. Vissa antar att det bara finns ett fåtal spel eller att turneringsdeltagarna har samma styrka, och efter många matcher når de alla mycket lika jämvikt.
Grunden för beräkningen är hypotesen att fördelningen av spelstyrkan i spelarnas totalitet matematiskt motsvarar normalfördelningen (Gaussian bell curve). Baserat på denna hypotes kan det statistiskt förutsägas för två motståndare med vilken sannolikhet en spelare kommer att vinna. I specialfallet med ett identiskt värderingsnummer är sannolikheterna lika höga. I en turnering kan en spelares betyg och deras motståndares genomsnittliga betyg förutsäga vilken poäng de sannolikt kommer att få. I slutet av turneringen jämförs det faktiska resultatet med det statistiskt förutsagda resultatet och spelarens nya betyg beräknas från avvikelsen.
Problem med betygssystem
Intransitivitet av sannolikhetsrelationer
Om spelare A är favoriten mot spelare B och B mot C, då har A ett högre betyg än B och B ett högre än C. Detta betyder att A har ett högre betyg än C och borde vara favorit mot C.
Denna slutsats är emellertid inte obligatorisk, eftersom sannolikhets- eller preferensrelationer inte nödvändigtvis är transitiva . Detta problem är inte ett särdrag hos Elo -systemet, utan ett grundläggande problem för alla klassificeringssystem. (jfr Condorcet paradox , "kinesiska tärningar" eller " Intransitive tärningar ")
Transitivitet är dock en nödvändig förutsättning för ett meningsfullt betygssystem. För att säkerställa denna egenskap antog Arpad Elo vid utvecklingen av sitt betygssystem att spelets styrkor kan beskrivas med hjälp av formeln :. Förutom transitivitet resulterar detta antagande också i multiplikativiteten av de förväntade värdena som visas ovan.
Deflation och inflation
Om du vill jämföra styrkorna för spelare från olika epoker med hjälp av Elo -siffrorna - eller andra betyg, gäller detta inte bara Elo -systemet, betyget z. B. 1600 från 1970 motsvarar ett betyg på 1600 från 2000. I synnerhet eftersom den genomsnittliga färdighetsnivån åtminstone inte försämras över tiden till följd av den vidare utvecklingen av teorin, bör det genomsnittliga betygsantalet inte minska.
Med Elo -systemet vinner vinnaren i ett spel lika många betygspunkter som förloraren förlorar: den genomsnittliga spelstyrkan för båda förblir densamma. Om betygspoolen bara innehåller toppspelare kan följande fenomen observeras: När en spelare läggs till i betygen går han in med ett visst (lågt) antal poäng. Under sin karriär förbättrar han sin styrka, får poäng och går sedan i pension med ett (högt) antal poäng - som ett resultat dras poäng ur gemenskapen och det genomsnittliga betygsiffran sjunker; det vill säga systemet är deflationärt.
Om betygspoolen förstoras inträffar den motsatta effekten: många spelare lämnar betygspoolen med ett lägre betyg än vad de tilldelades när de gick in - systemet är nu inflationärt.
Detta var särskilt fallet tidigare, när World Chess Federation FIDE inkluderade schackspelare i rankingslistan endast från ett betyg på 2200. Eftersom Elo -utvärderingen av turneringar är avgiftsbelagd och därmed utgör en inkomstkälla för FIDE har denna tröskel sänkts ytterligare och ytterligare, senast till 1200 i juli 2009. Trots det kan det inte undvikas att många spelare går in i poängen med lägre betyg lämnar som de fick vid inresan. En måttlig inflation är dock absolut önskvärd, detta bör ta hänsyn till den fortsatta utvecklingen av spelstyrkorna med tiden, men här uppstår vanligtvis problemet med för hög inflation.
Så Elo -siffrorna kan alltid nå nya rekord utan att faktiskt vara ett mått på spelstyrkan i absoluta termer. För cirka 20 år sedan fanns det bara två spelare med ett Elo -betyg större än 2700, och endast cirka 10 till 20 spelare uppnådde ett betyg över 2600. I juli 2010 hade över 200 aktiva spelare ett Elo -betyg större än 2600, 37 av dem vid minst 2700; tre spelare hade till och med ett Elo -betyg på 2800 eller högre, vilket för 20 år sedan verkade otänkbart.
Medelbetyget för de första 100 spelarna på världsrankingen steg mellan juli 2000 och juli 2012 från 2644 till 2703 poäng, en ökning med 59 betygspoäng. Sedan 2012 har medelvärdet legat mellan 2700 och 2706 och är därför ganska konstant.
Problemet med tusen spel
Ett annat fenomen är det så kallade tusen-spelsproblemet . Ofta träffas spelare på samma skicklighetsnivå om och om igen. Antag att två spelare med Elo 2000 -betyg spelar tio matcher där en får 80% av poängen. Efter beräkning av det nya Elo -betyget är värdena 2080 för vinnaren och 1920 för förloraren. Men om de två spelarna spelar 1000 spel med samma poängförhållande utan att betyget uppdateras, kommer vinnaren att få ett nytt betyg som är högre än för den nuvarande världsmästaren . Detta scenario är dock bara teoretiskt. Enligt den stora statistiklagen kan man förvänta sig att de två lika starka spelarna (båda hade ett Elo 2000 -betyg) kommer att närma sig de förväntade 50% efter många matcher. Dessutom kommer det i praktiken aldrig att finnas 1000 spel utan en ratinguppdatering.
Utvecklingen av värdesiffrorna påverkas också av utvärderingsperioden. Efter en testfas med oregelbundna publikationer publicerades en ny lista en gång om året i januari från 1975 till 1980. Från och med juli 1981 ändrades publikationen till halvårspublikationer och detta behölls fram till juli 2000. I oktober 2000 gick systemet över till publicering var tredje månad. Från juli 2009 till juli 2012 genomfördes utvärderingar varannan månad. Sedan augusti 2012 har den utvärderats varje månad. Sedan dess har minsta betyg varit 1000 poäng, tidigare var det 1200. I princip skulle en utvärdering efter varje turnering vara vettig, eftersom detta gör det möjligt för spelare att kompensera för fluktuationer i spelarnas form. Detta är dock för närvarande inte planerat.
Färdigheter hos utvalda schackspelare
Efter att Elo -numret introducerades som ett klassificeringssystem 1970 stod Bobby Fischers rekord på 2785 poäng från juli 1972 initialt i många år. 1999 uppnådde dåvarande klassiska schackvärldsmästaren Garri Kasparow betyget 2851 poäng, vilket först överskreds i januari 2013 av Magnus Carlsen med 2861 poäng. Under tiden kunde Carlsen öka rekordet till 2882 (lista från maj 2014).
Elo -nummer kan också beräknas för enskilda turneringar. Här uppnådde Fabiano Caruana en Elo -prestation på 3103 vid Sinquefield Cup -turneringen i St. Louis 2014. Den tidigare högsta turneringen Elo -prestanda var 3002, uppnådd av Magnus Carlsen i Nanjing 2010.
Stormästare brukar ha ett Elo -betyg på minst 2500, från 2600 poäng kan man tala om den utökade världseliten. Status för FIDE -utvärderingen från april 2021 visas i följande tabell med de tjugo högst rankade aktiva spelarna, kompletterat med den bästa kvinnan och de bästa manliga och kvinnliga spelarna från Tyskland, Österrike och Schweiz (inom parentes: plats i damrankingen ):
Historiskt schackbetyg
För att jämföra dagens toppspelare med stormästare före införandet av Elo-numret används det så kallade historiska Elo-numret .
Datorschack
Elo -siffrorna för schackdatorer eller datorprogram kan inte utan vidare jämföras med mänskliga schackspelares, eftersom de huvudsakligen bestämdes genom spel mellan datorer och inte genom deltagande i officiella turneringar.
Gå
I Go ges kompetensnivån traditionellt i Kyū -betyg ( japanska 級) för studenter och Dan -betyg ( japanska 段) för mästare. Fastställandet av denna skicklighetsnivå baseras inom European Go Federation och på många Go -servrar på Internet på ett system från Elo, som visar Kyū- och Dan -betyg enligt följande:
kyu / dan | Elo | Färdighetsnivå och erfarenhet |
---|---|---|
30k | Förstår reglerna, men har inte spelat ett spel än | |
29k - 28k | spelat några spel | |
27k - 25k | vann några matcher mot nybörjare | |
24k - 22k | vann några matcher mot icke-nybörjare | |
21k - 18k | 0-349 | Hobbyspelare |
17k - 14k | 350-749 | vanlig hobbyspelare |
13k - 10k | 750-1149 | Klubbspelare |
9k - 5k | 1150-1649 | vanlig klubbspelare |
4k - 1k | 1650-2049 | bra klubbspelare |
1d - 3d | 2050-2349 | mycket bra klubbspelare |
4d - 7d | från 2350 | en av de bästa spelarna i sitt land |
1p - 9p | från cirka 2600 | professionell go -spelare (från Japan, Korea eller Kina) som spelar starkare än en amatör 6dan |
världens bästa 9p -spelare | 3627 | Ke Jie, världens bästa go-player (från och med 4 januari 2017) |
världens bästa 9p AI | 5185 | AlphaGo Zero på en TPU -v2 -modul med 180 TFLOPS |
Fotboll
De FIFA kvinnors värld ranking har officiellt bestämt med hjälp av en anpassad Elo systemet sedan 2003. Sedan 2018 har FIFA: s världsranking för män också bytts till ett anpassat Elo -system.
En längre inofficiell anpassning av Elo -systemet för herrlandslag i fotboll är World Football Elo Ratings . Inofficiella Elo -betyg görs också för fotbollsklubbar.
Bordtennis
Sedan säsongen 2010/2011 har schweiziska bordtennis använt en något modifierad Elo -formel för att beräkna poäng
- E A : Förväntad poäng för spelare A.
- R A : Spelare A: s tidigare antal poäng
- R B : Spelare B: s tidigare antal poäng
Det förväntade värdet för A är nu E A · 100%. Spelare A: s nya poäng är
- S A : faktiskt antal poäng som spelas (1 för varje vinst, 0 för varje nederlag, oavgjort är inte möjligt i bordtennis)
I Tyskland används ett analogt system för att beräkna ett TTR -värde för varje aktiv person .
Scrabble
För global Scrabble upprätthålls en Elo-ranking av World English-language Scrabble Players 'Association (WESPA). Nya Zeelandern Nigel Richards ligger på första plats i denna Elo -ranking (2156 Elo -poäng, från och med den 17 oktober 2020).
En Elo -rankningslista har också hållits för tysktalande Scrabble sedan 2009 - baserat på turneringar från 2005 och framåt. Bland 206 spelare från 5 länder ligger tysken Ben Berger på första plats med 1754 Elo -poäng (från och med 26 februari 2017) .
League of Legends
I MOBA League of Legends , en liga i ett datastrategispel, användes Elo -systemet också i klassade spel. Under tiden har det ersatts av ligasystemet, som fortfarande är baserat på Elo -systemet.
Om du vinner får du League Points (LP), om du förlorar dras LP av. I slutet av 2020 var du tvungen att vinna bäst av tre eller fem på 100 LP för att gå upp i en liga.
webb-länkar
- FIDE Rating Regulations (handbok på ratings.fide.com)
- Chessgraphs.com - Jämför schackspelares betygshistorik med FIDE -data tillbaka till 1970 (engelska)
- Topp 100 aktiva schackspelare
- Elo live lista över schackspelare över 2700 (kvinnor: 2500) poäng
- Elo -undersökning med historiska siffror fram till 1970
- Elo -betyg i fotboll - landslag
- Elo -betyg i fotboll - europeiska klubbar
- EGF -rankning av European Go -spelare
- Analys av ratinginflation av Jeff Sonas på chessbase.com (engelska)
- Elo -kalkylatorns webbapplikation (Garri Kasparow vs.Zsuzsa Polgár som en exempelberäkning ) (tyska)
- Uppskattning av Arpad Elo med foto och förklaring av hans formel. (Engelsk)
Individuella bevis
- ^ EEM van Berkum: Bradley-Terry-modellen , Encyclopedia of Mathematics Online, öppnade 18 november 2014 .
- ^ Ralph Allan Bradley, Milton E. Terry: Ranganalys av ofullständiga blockdesigner: I. Metoden för parade jämförelser. Biometrika, vol. 39, nr 3/4, s. 324, 1952 JSTOR (öppnades den 22 augusti 2018) .
- ^ David R. Hunter: MM -algoritmer för generaliserade Bradley - Terry -modeller. The Annals of Statistics, Vol. 32, No. 1, 2004, s. 384-406 Online JSTOR (öppnades 22 augusti 2018) .
- ↑ Ernst Zermelo: Beräkningen av turneringsresultaten som ett maximalt problem med sannolikhetsberäkningen. Mathematische Zeitschrift , vol. 29, nr 1, 1929, s. 436-460 DOI (öppnades den 22 augusti 2018) .
- ^ Heinz-Dieter Ebbinghaus: Ernst Zermelo: En strategi för hans liv och arbete . Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-5404-9553-6 , s. 268-269.
- ↑ a b c Ändringar i värderingsföreskrifterna från 1 juli 2009 På: fide.com, 15 juli 2009
- ↑ 8.0. FIDE Rating System , World Chess Federation
- ↑ 12,0. Några kommentarer om betygssystemet , World Chess Federation
- ↑ http://ratings.fide.com/toplist.phtml?list=men
- ↑ FIDE -betyg i juli - Carlsen på rekord 2837 , chessbase.com (engelska)
- ↑ Johannes Fischer: Sinquefield Cup: Tre oavgjorda i slutet. I: Schacknyheter. schackbas, 7 september 2014, öppnade 8 september 2014 .
- ↑ Stefan Löffler: Som en maskin. Den 22-årige Fabiano Caruana lär världsmästaren i schack Carlsen att frukta . I: Frankfurter Allgemeine Zeitung av den 8 september 2014, s.32.
- ^ Rémi Coulom: Hela historiens betyg: Ett Bayesianskt betygssystem för spelare med tidsvarierande styrka. I: remi-coulom.fr. Hämtad 4 januari 2017 .
- ↑ Ke Jie. I: goratings.org. Hämtad 4 januari 2017 .
- ↑ David Silver, Julian Stepwieser, Karen Simonyan: Behärska spelet Go utan mänsklig kunskap . I: Naturen . tejp 550 , 19 oktober 2017, s. 354-359 (engelska, abstrakt ).
- ↑ https://resources.fifa.com/image/upload/revision-of-the-fifa-coca-cola-world-ranking.pdf?cloudid=akxuma7jhfjwlwfmfexz
- ↑ http://clubelo.com/
- ↑ [1] (öppnades 20 juli 2017).
- ↑ tischtennis magazine , 2020/11, sidan 32 f.
- ↑ WESPA -betyg ( engelska ) 17 oktober 2020. Åtkomst 4 april 2021.
- ↑ Elo ranking ( Memento från 24 april 2012 i Internetarkivet )
- ↑ http://forums.euw.leagueoflegends.com/board/showthread.php?t=1232907&page=1#post11986204
Anmärkningar
-
↑ Bevis: Vi använder förkortningen