Tillväxthastighet

Den tillväxttakten är den relativa ökningen av en variabel under en tid, eller om flera perioder beaktas, den genomsnittliga relativa ökningen i en variabel över en tidsperiod.

Exponentiell tillväxt antas ofta här. Istället för att använda tillväxttakten är det vanligtvis med den förväntade tillväxtfaktorn . Detta motsvarar en tillväxttakt på 23% . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q = p + 1}$${\ displaystyle p = 0 {,} 23 / {\ text {år}}}$${\ displaystyle q = 1 {,} 23 / {\ text {år}}}$

definition

Den diskreta tillväxthastigheten är förändringen i en tidsberoende variabel mellan två tidpunkter och relativt dess startvärde : ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle A (t)}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle A (t_ {0})}$

${\ displaystyle p = {\ frac {A (t) -A (t_ {0})} {A (t_ {0})}}}$.

Om du förkortar perioden mer och mer mot dess startpunkt, dvs. om du bildar gränsvärdet , får du den stadiga tillväxttakten vid denna tidpunkt. Det är den aktuella förändringen i storlek vid en viss tidpunkt i förhållande till dess värde vid den tidpunkten. ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle A (t)}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle A (t_ {0})}$

${\ displaystyle w = {\ frac {1} {A (t_ {0})}} \ cdot {\ frac {dA} {dt}} (t_ {0})}$

Den genomsnittliga diskreta tillväxthastigheten över flera tidsperioder ges av den allmänna ekvationen

${\ displaystyle \ operatorname {Tillväxthastighet} (t_ {0}, t) = \ vänster ({\ frac {A (t)} {A (t_ {0})}} \ höger) ^ {\ frac {1} {n}} - 1}$

uttryckt, där antalet gånger sträcker sig mellan och och representerar den storlek som beaktas vid respektive tidpunkt . Detta är tillväxttakten från det geometriska medelvärdet av de enskilda periodernas tillväxtfaktorer. ${\ displaystyle n = t-t_ {0}}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle A (t)}$${\ displaystyle t}$

Årlig tillväxttakt ( sammansatt årlig tillväxttakt )

En speciell tillväxttakt är den sammansatta årliga tillväxttakten (förkortad CAGR ), en nyckeltal för att beakta investeringar, marknadsutveckling , försäljning etc. inom näringsliv och ekonomi. CAGR representerar den genomsnittliga årliga tillväxten för en kvantitet som ska beaktas.

För beräkningen divideras det aktuella värdet med det ursprungliga värdet. Den -th roten är hämtad från resultatet , var är antalet år som övervägs. Den sammansatta årliga tillväxttakten representerar därför den genomsnittliga procentsats med vilken startvärdet för en tidsserie ökar till hypotetiska efterföljande värden för rapporteringsåren tills det faktiska slutvärdet uppnås i slutet av rapporteringsperioden. De faktiska fluktuationerna under de följande åren har ingen effekt, tillväxttakten är konstant. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Formeln för CAGR är densamma som för tillväxthastigheten, med CAGR som uttrycker storlek som antalet år. ${\ displaystyle n}$

Exempel: 2004 omsatte ett företag 1 miljon euro. År 2006 uppgick försäljningen till 1,21 miljoner euro. Antalet tidsenheter är 2006–2004 = 2. ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ operatorname {CAGR} (2004,2006) = \ left ({\ frac {1,210,000} {1,000,000}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} - 1 = 0 {,} 1 = 10 \ \%}$

Den årliga tillväxttakten är 10%. Om du multiplicerar startvärdet två gånger med motsvarande tillväxtfaktor 1.1 får du därför det slutliga värdet:

${\ displaystyle 1 000 000 \ gånger 1 {,} 1 \ gånger 1 {,} 1 = 1 210 000}$

Specifik tillväxttakt inom bioteknik

Med exponentiell tillväxt är hastigheten med vilken cellmassan ändras ( ) vid vilken tidpunkt som helst proportionell mot cellmassan . Proportionalitetskonstanten kallas den specifika tillväxthastigheten :${\ displaystyle {\ tfrac {dX} {dt}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ frac {dX} {dt}} = \ mu X}$

Andra parametrar som används för att beskriva fermenteringsprocesser är den specifika produktbildningshastigheten och den specifika substratförbrukningen .

Förhållande till tillväxtkonstanten λ

Är en funktion av formen för den matematiska beskrivningen av den exponentiella tillväxten av en tidsberoende kvantitet${\ displaystyle A (t)}$

${\ displaystyle A (t) = A (t_ {0}) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ lambda \ cdot t}}$

används, betecknar sedan tillväxtkonstanten däri . Detta beror direkt på tillväxttakten eller tillväxtfaktorn  : ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ lambda = \ ln (p + 1) = \ ln q}$.

webb-länkar

• Udo Kamps: tillväxttakt. I: Gabler Wirtschaftslexikon. Hämtad 26 september 2014 . 
• Tillväxttakt (Prof. Rolf Hüpen) (PDF; 56,3 kB)

Individuella bevis

1. ↑ Hans-Dieter Jakubke, Ruth Karcher (koordinatorer): Lexikon der Chemie i tre volymer, Spektrum Verlag, Volym 3, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0381-2 , s. 257.