Tröghet

I den klassiska mekaniken , tröghetsmedel  ...

• ... kraften på en kropp som antas utöver märkbara yttre krafter för att tolka dess dynamik när dess rörelse beskrivs i sammanhanget med ett accelererat referenssystem (t.ex. i förhållande till bromsbilen, den roterande skivspelaren på lekplatsen eller jordens yta ). Den på detta sätt definierade tröghetskraften förekommer i varje accelererad referensram, även i frånvaro av externa krafter. Deras styrka och riktning på en viss plats är inte fasta mängder utan beror på valet av det påskyndade referenssystemet. I ett tröghetssystem förekommer inte denna tröghetskraft alls. Det är därför det ofta kallas pseudokraft .
• ... det motstånd som varje kropp motsätter sig en faktisk acceleration av sin rörelse . Den accelererade kroppen utvecklar detta tröghetsmotstånd ”inifrån”, helt enkelt för att den har massa . Det kan uttryckas av en kraft, nämligen d'Alemberts tröghetskraft . D'Alemberts tröghetskraft har alltid en väldefinierad storlek, eftersom den är motsatt och lika med summan av alla externa krafter.

När det gäller storlek och riktning är d'Alemberts tröghetskraft lika med den skenbara kraften (enligt definitionen i första punkten) om det accelererade referenssystemet valdes för beskrivningen av rörelsen, som rör sig med den accelererade kroppen.

Trots att tröghetskraften definieras som en rent formell mängd, är den ofta användbar för att förstå vardagliga upplevelser. Enkla exempel är när du känner dig framskjuten i säkerhetsbältena i bilen när du bromsar hårt eller mot sidoväggen när du svänger hårt. I alla sådana fall går effekten som uppenbarligen orsakas av tröghetskraften tillbaka till verkan av äkta externa krafter. I de två exemplen utövar till exempel remmen en kraft på kroppen framifrån som saktar ner den så att den inte glider framåt från sätet, vilket också saktar ner och sidoväggen verkar också i sidled på kroppen så att dess rörelseriktning är motsatt jorden är ständigt anpassad till kurvtagning.

Både tröghetskraften i den accelererade referensramen och d'Alemberts tröghetskraft är proportionell mot kroppens massa. Det är därför tröghetsstyrkorna också kallas masskrafter .

Tröghetskraften uppfyller inte principen om actio och reaktion , eftersom det inte finns någon andra kropp från vilken den går ut. Välkända manifestationer inkluderar tröghetskraften vid start och bromsning, centrifugalkraften och Coriolis-kraften . I klassisk mekanik, gravitation är en av de märkbara yttre krafter. Eftersom gravitation också är en masskraft enligt ekvivalensprincipen och en konstant rak acceleration inte kan särskiljas från verkan av ett homogent gravitationsfält, är det möjligt att förstå gravitation som en tröghetskraft beroende av referenssystemet. Detta är utgångspunkten för allmän relativitet .

Tröghetskrafter är användbara kvantiteter i teoretisk och teknisk mekanik för att sätta upp och lösa rörelseekvationer för mekaniska system.

Översikt

En grund för förklaringen av tröghetskrafterna är tröghetsprincipen , som gäller rörelser som beskrivs i förhållande till ett tröghetssystem . Enligt detta sker en kropps rörelse i en rak linje och enhetlig när ingen yttre kraft verkar på den. Detta inkluderar att en vilande kropp förblir i vila utan en yttre kraft, eftersom vila ska ses som rörelse med noll hastighet . Men när en yttre kraft verkar rör sig kroppen inte längre i en rak linje, en sådan förändring i rörelsetillståndet kallas acceleration. En accelererad rörelse är inte bara retardation eller acceleration av en linjär rörelse utan också vilken rörelse som helst på en krökt väg, t.ex. B. även när objektet rör sig med konstant hastighet, d.v.s. H. konstant hastighet, rörd på en cirkulär väg.

Om en kropp accelereras av en extern kraft, motsätter den sig denna kraft med tröghetsmotstånd. Den negativa produkten av massa och acceleration av kroppen kallas d'Alemberts tröghetskraft (efter Jean-Baptiste le Rond d'Alembert ), i teknisk mekanik, också helt enkelt kallad tröghetskraft , utan tillägg . Enligt Newtons andra lag (eller mekanikens grundekvation ) är det exakt det negativa av den yttre kraften, så att summan av båda är noll. Tillsammans med de krafter som verkar utifrån bildar denna d'Alembert-tröghetskraft därför en dynamisk jämvikt . D'Alembert tröghetskraft är också känd som tröghetsmotstånd eller - för att den orsakas av kroppens massa och är lokalt proportionell mot densiteten - som tröghetskraft .

Ett annat tillvägagångssätt för tröghetskraft uppstår om en kraftfri kropps rörelse inte beskrivs i förhållande till ett tröghetssystem utan från ett accelererat referenssystem . Just för att denna kraftfria kropp vilar i ett tröghetssystem eller rör sig på ett rakt, enhetligt sätt, syns den i det accelererade referenssystemet i en accelererad rörelse. Om man av detta drog slutsatsen - utan att beakta accelerationssystemet i referenssystemet - att en kraft verkar, är resultatet tröghetskraften i det accelererade referenssystemet. Med deras deltagande kan man förklara den acceleration som observerats i det accelererade referenssystemet enligt Newtons andra lag utan att beakta den accelererade rörelsen hos själva referenssystemet. Tröghetskraften i det accelererade referenssystemet existerar, så att säga, "verkligt" som de yttre krafterna, som är oberoende av referenssystemets rörelse när det gäller styrka och riktning (utom i relativitetsteorin , där "verkliga" krafter i olika referenssystem är olika), men endast i syfte att beskriva rörelsen med hjälp av Newtons andra lag inom ramen för den accelererade referensramen. Det kallas därför också " pseudokraft" , "pseudokraft" eller "fiktiv kraft". I beräkningar av rörelser i förhållande till ett accelererat referenssystem behandlas det som en annan extern kraft, och dess effekter i detta referenssystem är lika verkliga som de "riktiga" externa krafterna.

Man märker ofta tröghetskraften när man accelererar mot den fasta marken. Den fasta jordytan bildar ett tröghetssystem - inte exakt, men åtminstone ungefär. Ofta väljer man emellertid intuitivt sin egen kropp och eventuellt dess omedelbara omgivning som ett referenssystem för sin observation av vila, rörelse och acceleration och tolkar därmed rörelsen från ett accelererat referenssystem. Exempel är den upplevda trögheten i din egen kropp när du startar eller bromsar spårvagnen eller hissen, centrifugalkraften när du kör i kurva z. B. i bilen, pariserhjulet eller kedjekarusellen. Corioliskraften är mindre intuitivt förståelig. B. bildar storskaliga luftströmmar till hög- och lågtryckvirvlar på grund av jordytans rotation. Om emellertid kroppens relevanta rörelse ses från ett tröghetssystem, visar sig effekterna som tillskrivs tröghetskraften utan undantag vara en konsekvens av tröghetsprincipen i samband med yttre krafter som härrör från andra kroppar.

D'Alembert tröghetskraft

definition

Begreppet d'Alemberts tröghetskraft bygger på ett tröghetssystem . I klassisk mekanik är den absoluta accelerationen som visas här kopplad till totaliteten av externa krafter genom Newtons andra lag : ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$

eller

${\ displaystyle {\ vec {F}} - m {\ vec {a}} = {\ vec {0}}.}$

Om det formellt förstås som en kraft , får man med ${\ displaystyle -m {\ vec {a}}}$${\ displaystyle F _ {\ text {T}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} + {\ vec {F}} _ {T} = {\ vec {0}}}$

en ekvation som beskriver kraftbalansen i statik och kallas dynamisk balans . Skillnaden är att det inte beror på en interaktion med en annan kropp, utan snarare en uppenbar kraft. kallas d'Alemberts tröghetskraft, i teknisk mekanik mestadels bara tröghetskraft. ${\ displaystyle F _ {\ text {T}}}$${\ displaystyle F _ {\ text {T}}}$

D'Alembert-tröghetsstyrkan är den matematiska specifikationen för "vis inertiae ", som introducerades av Newton och existerar så länge kroppens hastighet ändras i riktning och / eller mängd av en extern kraft. Med detta övervann Newton den äldre betydelsen av vis inertiae , som funnits sedan urminnes tider för att tillskriva tröghetsegenskapen till all materia (för att skilja den från anden). Detta bör uttryckas av det faktum att en kropp genom sin tröghet motsätter sig någon rörelse i allmänhet och varje förändring i en befintlig rörelse. Dessutom definierade Newton i sina axiomer den rörliga kraften (” vis motrix ”) som orsaken till varje förändring i rörelsestillståndet, och detta blev gradvis den exakta innebörden av ”kraft” i mekaniken efter Eulers formulering av newtonsk mekanik. D'Alembert gav Newtons vis inertiae den kvantitativa definitionen i form av tröghetsstyrkan som är uppkallad efter honom.

Förhållande till tröghetskraft i accelererade referensramar

D'Alembert tröghetskraft bestämd i tröghetssystemet är exakt lika stor som tröghetskraften i det accelererade referenssystemet, vilket bestäms för det fall där det accelererade referenssystemet är baserat på vilosystemet i kroppen i fråga. I allmänhet leder den konkreta behandlingen av en mekanisk fråga alltid till konsekventa resultat, oavsett om beräkningen utförs med eller utan d'Alemberts tröghetskraft.

Med inkluderingen av d'Alemberts tröghetskraft resulterar alltid kroppens krafter i noll, som i fallet med statisk jämvikt eller kraftfri rörelse. Det måste därför betonas att d'Alembert-tröghetskraften inte är en kraft i betydelsen av Newtons axiomer, där kraften allmänt definieras som orsaken till acceleration.

Tröghetskrafter i den accelererade referensramen

Konceptbildning

Den tröghetskraft i det påskyndade referenssystemet (i fysik ofta endast kort kallad tröghetskraften i förväg) för att beskriva dynamiken av organ på ett accelererat referenssystem. Det kan delas upp analytiskt i fyra delar. Grunden för definitionen enligt Leonhard Euler är tröghetsprincipen (eller Newtons första lag ). Följaktligen finns det bland de olika referenssystemen de där varje kropp som lämnas åt sina egna enheter fortsätter att röra sig på ett rakt och enhetligt sätt vid sin nuvarande hastighet (inklusive specialfallet med nollhastighet). Varje avvikelse från denna kraftfria, linjära, enhetliga rörelse kallas acceleration och anses vara bevis för att en extern kraft verkar på kroppen. Dessa referenssystem har kallats tröghetssystem sedan 1886 . Ett ”accelererat referenssystem” är ett referenssystem som är i påskyndad rörelse jämfört med ett tröghetssystem.

I förhållande till ett sådant accelererat referenssystem verkar inte den rätlinjiga enhetliga rörelsen hos kroppen i tröghetssystemet vara rätlinjigt enhetlig, dvs accelererad. Enligt Euler ses dessa, i viss mening "uppenbara" accelerationer, också som resultatet av en "uppenbarligen" verkande kraft. Denna kraft kallas "tröghetskraft" eftersom den inte härrör från andra kroppars verkan, som externa krafter , utan är enbart skyldig kroppens tröghet i samband med valet av ett påskyndat referenssystem. Storleken och riktningen på den så utvecklade tröghetskraften bestäms av produkten av kroppens massa och dess acceleration, förutsatt att den inte orsakas av den yttre kraften.

I enkla fall, om det accelererade referenssystemet väljs på ett lämpligt sätt, resulterar tröghetskraften i en av de fyra former som beskrivs nedan: tröghetskraft under acceleration eller retardation, centrifugalkraft, Corioliskraft, Eulerkraft. I de flesta fall är dock den totala tröghetskraften en summa av alla fyra typerna av tröghetskrafter. Tröghetskrafternas beroende av valet av referenssystemet visas också i det faktum att de inte ens förekommer i ett tröghetssystem och att en och samma process förklaras av olika kombinationer av de ovannämnda formerna av tröghetskrafter beroende på valet av referenssystem. Det finns inget sådant som en "riktig". H. oberoende av valet av en referensram för tröghetskraften, och inte heller för de fyra individuella manifestationerna som nämns ovan.

Om man väljer ett referenssystem där kroppen vilar för en viss process, överensstämmer tröghetskraften i det accelererade referenssystemet och d'Alembert tröghetskraft i fråga om storlek och riktning. Ändå får båda termerna inte likställas, eftersom deras användning är kopplad till motsatta villkor: d'Alemberts tröghetskraft förutsätter ett tröghetssystem, tröghetskraften i det accelererade referenssystemet ett icke-tröghetssystem.

Om, i det vanliga fallet, andra krafter ska beaktas (vilket framgår av det faktum att kroppens rörelse inte löper på ett rakt och enhetligt sätt från tröghetssystemet) läggs dessa till tröghetskraft för att erhålla den totala kraften. Med denna totala kraft gäller Newtons andra lag också för rörelser som observerats i förhållande till detta accelererade referenssystem.

Den formella bestämningen av de individuella tröghetskrafterna erhålls genom att beakta den givna rörelsen från tröghetssystemet och kombinera koordinaterna från rörelsen hos det accelererade referenssystemet i förhållande till tröghetssystemet och kroppens rörelse i förhållande till det accelererade referenssystemet ("kompositrörelse"). Ekvationen för den absoluta accelerationen i tröghetssystemet ändras för att erhålla den relativa accelerationen. Uttrycken för tröghetskrafterna erhålls genom att multiplicera med massan.

Tröghetskraft vid acceleration eller retardation

I tröghetskraften i det accelererade referenssystemet görs en åtskillnad mellan fyra bidrag, vilka illustreras individuellt i följande stycken med exemplet på en passagerare i ett fordon. Det rörliga referenssystemet är permanent anslutet till fordonet och passageraren, som också är observatör här, förblir (praktiskt taget) i vila i förhållande till detta referenssystem. (Från andra referenssystem skulle titta på samma rörelse resultera i en annan tröghetskraft, varigenom de enskilda typerna också kan blandas.) Tröghetssystemet är anslutet till jorden.

Ett fordon accelereras ( ) eller bromsas ( ) parallellt med sin hastighet med accelerationen . ${\ displaystyle v_ {B}}$${\ displaystyle a_ {B}}$${\ displaystyle a_ {B}> 0}$${\ displaystyle a_ {B} <0}$

Observation i det rörliga referenssystemet: på en masskropp , t.ex. B. en passagerare, tröghetsstyrkan agerar ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle F_ {T} = - m \, a_ {B}.}$

Tröghetskraften är motsatt referenssystemets acceleration. När den "accelererar" skjuter den passageraren tillbaka mot ryggstödet, och vid bromsning skjuter den passageraren framåt mot remmen. ${\ displaystyle F_ {T}}$

Observation i tröghetssystemet: så att passageraren accelereras synkront måste kraften verka på honom . När det accelererar utövar ryggstödet denna kraft (" dragkraft "). Vid bromsning saktas den ner av den kraft som bältet utövar på den ("negativ dragkraft").${\ displaystyle F = + m \, a_ {B}}$

Ytterligare exempel: stötar vid fall på marken eller vid en kollision bakifrån, blir lättare / tyngre vid start / bromsning av hissen, vältning av upprättstående föremål när ytan accelererar åt sidan (även under jordbävningar), skakningar och skakningar.

Centrifugalkraft

Ett fordon färdas med konstant hastighet genom en kurva med en radie . ${\ displaystyle v_ {B}}$${\ displaystyle R}$

Observation i det roterande referenssystemet: Tröghetskraften verkar på en masskropp som rör sig tillsammans med den${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle F_ {T} = {\ frac {m \, v_ {B} ^ {2}} {R}}.}$

Denna tröghetskraft riktas radiellt utåt från centrum av kurvan och kallas centrifugalkraft. Det trycker passageraren mot sidostödet på utsidan av kurvan.

Observation i tröghetssystemet: För att passageraren ska kunna vara lugn i förhållande till sitt säte måste han följa samma cirkelväg som fordonet. För att göra detta måste kraften i riktning mot kurvens mittpunkt verka på den (centripetal force). Annars fortsatte han att röra sig i en rak linje. Denna kraft utövas på honom av det yttre sidostödet.${\ displaystyle F = {\ frac {m \, v_ {B} ^ {2}} {R}}}$

Andra exempel: torktumlare, säten skjutna utåt i kedjekarusellen, bryta ur en kurva när man kör bil eller cykel, känslan av att minska vikten i pariserhjulet ovanför.

Coriolis kraft

Ett barn sitter i en karusell och vill kasta en boll i en korg som är mitt i karusellen. Den siktar precis i mitten, men när karusellen vänder, flyger bollen fortfarande förbi korgen. (Barn och korg är i samma höjd; tyngdkraften ignoreras när man tittar på den.)

Observation i det sammanhängande referenssystemet: Bollen kastas av radiellt inåt i hastighet och flyger med konstant hastighet, men rör sig inte i en rak linje. Istället beskriver den en kurva som är böjd åt sidan. Detta beror på att tröghetskraften verkar i horisontell riktning över deras hastighetsriktning ${\ displaystyle v '}$

${\ displaystyle F_ {T} = 2m \, v '\, \ omega.}$

Där finns karusellens vinkelhastighet. ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {\ mathrm {Varaktighet \ en \ revolution}}}}$

Observation i tröghetssystemet: Den flygande bollen är kraftfri och gör en rak, enhetlig rörelse med den hastighet som fick den i början. När det gäller mängd och riktning består detta av den hastighet som barnet ger bollen i den riktning som pekar radiellt inåt vid tidpunkten för att kasta den, och den hastighet med vilken barnet (eller observatören) själv till denna tid rörde sig i tangentiell riktning med karusellen. Dessa två hastigheter är i rät vinkel mot varandra. Riktningen för den kombinerade totala hastigheten pekar förbi korgen.${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle v_ {B}}$

Corioliskraften förekommer alltid i ett roterande referenssystem när en kropp inte vilar i den utan snarare rör sig relativt den, nämligen inte parallell med rotationsaxeln. Du kan känna det som vilken tröghetskraft som helst på din egen kropp när du måste "motverka" den för att kompensera, t.ex. B. om du vill gå i rak linje på skivspelaren på barnens lekplats utan att distraheras i sidled. De enklaste exemplen på Coriolis-styrkan gäller sådana radiella rörelser. I allmänhet har den relativa hastigheten inte bara en radiell utan också en tangentiell och en axelparallell komponent. Axelparallellkomponenten har alltid inga konsekvenser. Den radiella hastighetskomponenten (som i exemplen ovan) skapar en tangentiell Coriolis-kraft. Den tangentiella hastighetskomponenten, som uppstår när kroppen rör sig runt axeln annorlunda än den helt enkelt skulle motsvara rotation av referenssystemet, orsakar en radiellt riktad Coriolis-kraft. Detta är därför parallellt eller antiparallellt med centrifugalkraften, som fortsätter att existera enbart på grund av referenssystemets rotation. Dessa två radiella krafter resulterar tillsammans i en radiell kraft som motsvarar centrifugalkraften associerad med en ökad eller minskad rotationshastighet. Med tanke på det stationära referenssystemet rör sig kroppen faktiskt med denna ändrade rotationshastighet på grund av dess tangentiella relativa hastighet. (Om du till exempel står still på en skivspelare känner du bara centrifugalkraften och du måste kompensera för den med en lika stor centripetalkraft. Men om du kör mot rotationsrörelsen på ett konstant avstånd från axeln , då centrifugalkraft verkar minska, även om skivan roterar oförändrad. Anledningen är den ytterligare Coriolis-kraften som verkar radiellt inåt. Om du nu kör med skivans rotationshastighet mot dess rotationsriktning, förblir rotorn alltid på samma plats för den stationära observatören utanför skivspelaren på grund av körningen, dvs den vilar i tröghetssystemet och är fri från krafter där. I det roterande referenssystemet är Coriolis-kraften då exakt dubbelt så stor som centrifugalkraften. Totalt, detta skapar den inåt riktade uppenbara kraften, som kallas "centripetal force" för den cirkulära banan som observeras från det roterande referenssystemet Disc är nödvändig.) I det allmänna fallet är tangentiellt och radiellt K-resultat Som en del av Coriolis-kraften är Coriolis-kraften alltid vinkelrät mot hastighetsriktningen i det roterande referenssystemet (och på rotationsaxeln) och avböjer därför vägen för en annars kraftfri kropp till en cirkel. Detta är t.ex. B. på molnbilderna för att se områden med högt och lågt tryck. ${\ displaystyle {\ vec {v}} '}$

Ytterligare exempel: rotation av pendelns plan i Foucaults pendel , subtropiska handel vinden och stratosfäriska jetströmmen , öster avböjning av fritt fallande kroppar och organ på jorden rör sig horisontellt bort från ekvatorn.

Euler kraft

När vinkelhastigheten hos en roterande referensram varierar i storlek och / eller riktning, uppträder Eulerkraften (även om detta namn inte har fastställts). Ett enkelt exempel med att ändra mängden med en fast riktning för rotationsaxeln närmar sig en karusell. När man beskriver passagerarens rörelse i referensramen som börjar rotera med karusellen är det dess vinkelacceleration och, på avstånd från axeln, tröghetskraften . Den är riktad i motsatt riktning till den tangentiella accelerationen som observeras här i tröghetssystemet och skiljer sig inte på något sätt från tröghetskraften vid acceleration eller retardation. ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = {\ frac {d \ omega} {dt}}}$${\ displaystyle r '}$${\ displaystyle F_ {T} = - m \, {\ dot {\ omega}} \, r '}$${\ displaystyle a = {\ dot {\ omega}} \, r '}$

Om rotationsaxeln också kan ändra sin riktning ges Eulerkraften med den allmänna formeln

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T} = - m \, {\ dot {\ vec {\ omega}}} \ times {\ vec {r}} {\; '}.}$

Vektorn är vinkelacceleration, dvs förändringshastigheten för vektorvinkelhastigheten i termer av riktning och storlek . ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {\ omega}}} = {\ frac {d {\ vec {\ omega}}} {dt}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$

För att förklara detta, överväga denna tröghetskraft med exemplet på en masspunkt som är en del av en horisontell, snabbt roterande, rotationssymmetrisk topp medan den är (långsam) nedgång runt en vertikal axel (se).

Observation i tröghetssystemet: Om toppen inte föregår, är masspunktens väg cirkulär i ett fast, vertikalt plan. Denna cirkulära rörelse orsakas av en motsvarande centripetal kraft, som inte behöver övervägas längre här. Under pressionen roterar banans plan runt en vertikal axel. Masspunktens väg har en ytterligare krökning som är motsatt vid den övre och nedre punkten och är särskilt stor eftersom masspunkten sedan passerar rotationsaxeln för banans plan. Denna krökning kan endast orsakas av en ytterligare extern kraft som är parallell eller antiparallell med gyroaxeln. Denna ytterligare yttre kraft på masspunkten, som krävs för att gå ned, varierar således med varje varv på toppen. Eftersom gyroen är rotationssymmetrisk betyder summan av alla masspunkter att de extra krafterna tillsammans motsvarar ett vridmoment . I ett referenssystem där gyroaxeln är fixerad men som inte följer den snabba rotationen av gyroen är detta vridmoment konstant över tiden. För att toppens precessionrörelse ska gå som observerat måste detta yttre vridmoment ständigt verka på toppaxeln. Vektorn för vridmomentet är vinkelrät mot gyroskopets (horisontella) axel och mot (vertikal) precessionens axel. När toppen är stationär skulle axeln sedan bara luta upp eller ner.

I demonstrationsexperiment med en kraftfri topp (som i) uppnås det yttre vridmoment som krävs för precession genom en bifogad vikt, med den lutande leksakstoppen genom tyngdkraften som verkar på tyngdpunkten.

Observation i det rörliga referenssystemet: Om det rörliga referenssystemet är baserat på masspunktens vilarsystem, är det i vila i förhållande till detta, även om den externa extra kraft som just beskrivits verkar på den. Anledningen är att den kompenseras av en tröghetskraft av samma motsatta storlek, som exakt uppstår från den speciella typen av accelererad rörelse hos detta referenssystem. Denna kraft är Euler-kraften.

(Referenssystemet väljs här på ett sådant sätt att dess rotationsaxel ändras och därmed åstadkommer Eulerkraften. Referenssystemet utför både den snabba rotationen runt den horisontella axeln för gyro och den långsamma precessionen för gyroskopets axel runt den vertikala axeln genom upphängningspunkten För att förklara, väljs ofta ett lättare tänkbart referenssystem där gyroaxeln vilar, men gyroen roterar. Detta referenssystem visar bara precessionen med sin konstanta vinkelhastighet, så det gör inte framkalla en Euler-kraft upplever därför en Coriolis-kraft. Vid varje punkt av sin bana motsvarar den Euler-kraften som tidigare bestämts - i masspunkts resten system. Corioliskraften är till exempel störst när masspunktens relativa hastighet är vinkelrätt mot referenssystemets rotationsaxel, dvs precessionens axel. Detta händer vid övre och nedre punkten på den cirkulära banan, med motsatta tecken på Coriolis-kraften.)

Ytterligare exempel: pannkvarn . Där ökar kvarnstenens rotation trycket på ytan, vilket, som i fallet med precession, kan förklaras med en Eulerkraft eller en Coriolis-kraft, beroende på valet av det accelererade referenssystemet.

Formler

notation

För att skilja mellan storleken på ett objekt (plats, hastighet, acceleration) i två referenssystem används den normala notationen för observationer i tröghetssystemet och samma bokstav med en apostrof ( prim ) används för det accelererade referenssystemet . Det senare kallas då också det "borttagna referenssystemet", och alla kvantiteter relaterade till det ges tillägget "relativ-" för språklig differentiering. Underindex står för ursprunget till det raderade referenssystemet. ${\ displaystyle _ {B}}$

	betydelse
${\ displaystyle m}$	Massan av kroppen som övervägs.
${\ displaystyle {\ vec {r}}}$	Objektets position i S (tröghetssystem).
${\ displaystyle {\ vec {r}} {\; '}}$	Objektets relativa position i S '(icke-tröghetssystem).
${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {r}}}}$	Objektets hastighet i S
${\ displaystyle {\ vec {v}} {\; '}}$	Relativ hastighet för objektet i S '
${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}}}$	Acceleration av objektet i S
${\ displaystyle {\ vec {a}} {\; '}}$	Relativ acceleration av objektet i S '
${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B}}$	Position för ursprunget till S 'i S
${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B} = {\ dot {\ vec {r}}} _ {B}}$	Hastigheten på ursprunget till S 'i S
${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {B} = {\ dot {\ vec {v}}} _ {B}}$	Accelererar ursprunget till S 'i S
${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$	Vinkelhastigheten för systemet S 'i S.
${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ dot {\ vec {\ omega}}}}$	Vinkelacceleration av systemet S 'i S

Translationsrörligt referenssystem

Om S 'rör sig rent translationellt i tröghetssystemet S, dvs utan någon rotation, rör sig alla punkter som är i vila i S' parallellt med varandra med samma hastighet som ursprunget. En relativ rörelse i referenssystemet läggs till. Därmed: ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B}}$

	kinematiska mängder i S
placera	${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {B} + {\ vec {r}} {\; '}}$
hastighet	${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ vec {v}} _ {B} + {\ vec {v}} {\ ; '}}$
acceleration	${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ vec {a}} _ {B} + {\ vec {a}} {\ ; '}}$

Om den externa kraften antas vara känd, gäller Newtons rörelseekvation i tröghetssystemet S. ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle m {\ vec {a}} = {\ vec {F}}.}$

Om accelerationen används i Newtons rörelseekvation får vi: ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

${\ displaystyle m \ left ({\ vec {a}} _ {B} + {\ vec {a}} {\; '} \ right) = {\ vec {F}}}$

För accelerationen , som är okänd i det accelererade referenssystemet, får vi: ${\ displaystyle {\ vec {a}} {\; '}}$

${\ displaystyle m {\ vec {a}} {\; '} = {\ vec {F}} - m {\ vec {a}} _ {B} = {\ vec {F}} + {\ vec { MED}}$

Om tröghetskraften beaktas i denna form kan hela Newtonian-mekaniken också användas i det accelererade referenssystemet. ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T}}$

Generellt accelererad referensram

Vid härledning av en vektor som ges i ett roterande referenssystem måste vinkelhastigheten och referenssystemets vinkelacceleration beaktas. De kinematiska förhållandena är: ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ vec {\ omega}}}}$

	kinematiska mängder i S
placera	${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {B} + {\ vec {r}} {\; '}}$
hastighet	${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ vec {v}} _ {B} + {\ vec {\ omega}} \ gånger {\ vec {r}} {\; '} + {\ vec {v}} {\;'}}$
acceleration	${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ vec {a}} _ {B} + {\ vec {\ omega}} \ gånger ({\ vec {\ omega}} \ gånger {\ vec {r}} {\; '}) + {\ dot {\ vec {\ omega}}} \ gånger {\ vec {r}} {\; '} +2 \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {v}} {\;'} + {\ vec {a}} {\; '}}$

Att sätta in den absoluta accelerationen i Newtons rörelseekvation resulterar i: ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

${\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {B} + m {\ vec {\ omega}} \ times ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r}} {\; '} ) + m {\ dot {\ vec {\ omega}}} \ times {\ vec {r}} {\; '} + 2m \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {v}} {\; '} + m {\ vec {a}} {\;'} = {\ vec {F}}}$

Löst för termen med den relativa accelerationen följer det:

${\ displaystyle m {\ vec {a}} {\; '} = {\ vec {F}} \ quad -m {\ vec {a}} _ {B} \ quad \ underbrace {-m {\ vec { \ omega}} \ times ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r}} {\; '})} _ {{\ vec {F}} _ {\ mathrm {centrifugal}}} \ quad \ underbrace {-m {\ dot {\ vec {\ omega}}} \ times {\ vec {r}} {\; '}} _ {{\ vec {F}} _ {\ mathrm {Euler}} } \ quad \ underbrace {-2m \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {v}} {\; '}} _ {{\ vec {F}} _ {\ mathrm {Coriolis}} } = {\ vec {F}} + {\ vec {F}} _ {T}}$

Termen är den tröghetskraft som måste beaktas utöver kraften i det accelererade referenssystemet. ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {T}} = - m {\ vec {a}} _ {B} + {\ vec {F}} _ {\ mathrm {centrifugal}} + { \ vec {F}} _ {\ mathrm {Euler}} + {\ vec {F}} _ {\ mathrm {Coriolis}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

Termen kommer från accelerationen av referensramen och har inget speciellt namn. Nästa är det centrifugalkraften . Centrifugalkraften är noll på en axel som går genom referenssystemets ursprung och pekar i riktning mot vinkelhastigheten. Termen kallas här Eulerkraft (i som "linjär accelerationskraft"). Termen är Coriolis-styrkan . ${\ displaystyle -m {\ vec {a}} _ {B}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {centrifugal}} = - m {\ vec {\ omega}} \ times ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r}} { \; '})}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {Euler}} = - m {\ dot {\ vec {\ omega}}} \ times {\ vec {r}} {\; '}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {Coriolis}} = - 2m ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {v}} {\; '})}$

Tvångsfri rörelse

Om den externa kraften inte gäller beräknas den okända relativa rörelsen i det accelererade referenssystemet uteslutande genom tröghetskraften . För att beräkna tröghetskraften krävs kunskap om ett tröghetssystem här: ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T}}$

${\ displaystyle m {\ vec {a}} {\; '} = {\ vec {F}} _ {T}}$

Användningsfall: Hur rör sig gnistor när de lossnar från slipskivan.

Fördefinierad rörelse

Om den relativa rörelsen är känd, t.ex. B. genom att observera planetbanor i ett system som är fixerat på jorden kan man dra slutsatser om den totala kraften.

${\ displaystyle {\ vec {F}} + {\ vec {F}} _ {T} = m {\ vec {a}} {\; '}}$

Kan en extern kraft uteslutas eller försummas, t.ex. B. med gnistor som kommer från slipskivan kan tröghetskraften beräknas, vilket krävs för den givna rörelsen. Själva referenssystemets rörelse behöver inte beaktas.

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T} = m {\ vec {a}} {\; '}}$

Tröghet och Machs princip

I Newton-mekanikens sammanhang är det teoretiskt möjligt att tillskriva egenskaper som läge, hastighet, acceleration, tröghet och därmed också tröghetskraft till en enda kropp i det annars tomma universum. Den konceptuella grunden för detta är antagandena om ett absolut utrymme och en absolut tid, som har erkänts som ohållbara av den speciella relativitetsteorin och den allmänna relativitetsteorin . I en princip som var uppkallad efter honom hade Ernst Mach redan krävt att mekanikens lagar skulle formuleras på ett sådant sätt att endast de relativa rörelserna för massorna fördelade i rymden spelar en roll. Men då måste kroppens tröghet och tröghetskraft också baseras på en interaktion med andra kroppar.

Gravitationskraft som tröghetskraft

Konceptbildning

Den första av de tröghetskrafter som beskrivs ovan

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T} = - m \, {\ vec {a}} _ {B}}$

har alla egenskaper hos ett homogent gravitationsfält

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {S} = m \, {\ vec {g}}}$.

Den är proportionell mot kroppens massa och beror annars inte på någon annan av dess egenskaper. När det gäller dess effekter kan den därför inte styras av en effektiv tyngdkraft

${\ displaystyle {\ vec {g}} = {\ vec {g}} - {\ vec {a}} _ {B}}$

skilja på.

En tröghetskraft i formen kan endast identifieras tydligt om accelerationen på grund av tyngdkraften är en kvantitet som från början är fixerad i det referenssystem som övervägs, såsom bestäms av Newtons gravitationslag eller av den vanliga inställningen av till tyngdkraften i vardagen och i tekniken . Annars kan man säga om ett referenssystem som accelereras med ett tröghetssystem där det finns en acceleration på grund av tyngdkraften . I denna mening är ett referenssystem som accelereras i en rak linje också giltigt som ett tröghetssystem. ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T} = - m \, {\ vec {a}} _ {B}}$${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {B}}$${\ displaystyle {\ vec {g}} '}$

Ett accelererat referenssystem kan alltid definieras för ett givet gravitationsfält , där den effektiva gravitationsaccelereringen bara kompenserar för gravitationskrafterna, oavsett rörelse och typ av kropp. För detta ändamål behöver detta referenssystem bara accelereras, dvs. det vill säga det måste fritt falla i förhållande till systemet i vila. Inom den fallande referensramen skulle varken gravitations- eller tröghetskrafter observeras, eftersom de tar bort varandra exakt. På grund av inhomogeniteten för varje verkligt gravitationsfält gäller detta dock endast lokalt, dvs. H. ungefärligt i ett tillräckligt litet rumsligt område. ${\ displaystyle {\ vec {g}}}$${\ displaystyle {\ vec {g}} '}$${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {B} = {\ vec {g}}}$

Denna observation kan tolkas om genom att definiera den fritt fallande referensramen som den enda giltiga tröghetsramen här. Då är den tidigare referensramen, där tyngdkraften råder, inte längre ett tröghetssystem, eftersom det sett från det nya tröghetssystemet rör sig i motsatt riktning mot fritt fall, dvs. accelererat. Tröghetskrafter uppträder sedan i detta system, som exakt matchar de gravitationskrafter som tidigare bestämts där och därför kan "förklara" dem helt. Ett tröghetssystem förstås då bara som ett där det inte finns någon gravitation. Gravitationskraft som ett oberoende fenomen finns inte i denna beskrivning. Det blir en tröghetskraft som bara förekommer i referenssystem som inte är sådana tröghetssystem. Detta uttalande är synonymt med ekvivalensprincipen , grunden för allmän relativitet .

Inom ramen för den allmänna relativitetsteorin måste dock principen tappas att ett tröghetssystem med euklidisk geometri som är giltigt för hela universum kan definieras. Tröghetssystem kan dock fortfarande definieras för tillräckligt små utrymmen och tid. Hela rymdtiden beskrivs av ett fyrdimensionellt, böjt grenrör . Den allmänna relativitetsteorin går utöver Newtons gravitationslag och är den gravitationsteori som erkänns idag.

exempel

Låt oss som ett exempel förklara varför en passagerare i ett bromsande tåg på en horisontell rutt har samma upplevelse som när man reser stadigt i en sluttande rutt. I bromsbilen resulterar summan av den nedåtgående gravitationskraften och den främre tröghetskraften i en total kraft som riktas snett framåt. För att kunna stå stilla måste den totala kraften riktas längs kroppsaxeln från huvudet till fötterna, varför du antingen lutar dig tillbaka eller håller på för att få en tredje kraft i spel, med vilken den totala kraften är igen vinkelrätt mot bilens golv. Samma sak händer när bilen står stilla eller kör med konstant hastighet men spåret är sluttande. Då verkar ingen av tröghetskrafterna från Newtons mekanik, men gravitationskraften drar inte längre i rät vinkel mot marken utan snett framåt. Om gravitationskraften också förstås som tröghetskraften är förklaringen densamma i båda fallen.

Se även

• Tröghetsmoment

litteratur

• JW Warren: Förstå kraften . John Murray, 1979, ISBN 0-7195-3564-6 .  Tysk översättning: Problem med att förstå begreppet kraft. (PDF; 395 kB), s. 15 ff.
• Istvan Szabo: Introduktion till ingenjörsmekanik . 8: e upplagan. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-03679-2 . 
• Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics (Volym I del 1, eng) . Oldenbourg, München 1974, ISBN 3-486-33691-6 . 
• Jürgen Dankert, Helga Dankert: Teknisk mekanik . 6: e upplagan. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6 . 
• Martin Mayr: Teknisk mekanik: statik, kinematik - kinetik - vibrationer, styrketeori . 6: e reviderade upplagan. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 ( begränsad förhandsgranskning i Googles boksökning): "Enligt D'Alembert tar vi uttrycket i rörelselagen (8.1) som hjälparbetare och kallar det tröghet . "${\ displaystyle m {\ vec {a}}}$ 
• Dieter Meschede: Gerthsen Physics . Red.: Christian Gerthsen, Dieter Meschede. 24: e upplagan. Gabler Wissenschaftsverlage, 2010, ISBN 978-3-642-12893-6 , s. 41–42 ( begränsad förhandsgranskning i Googles boksökning): ”Krafter som härrör från att beskriva processen i ett visst referenssystem och som inte skulle finnas i ett annat referenssystem: Tröghetskrafter [...] Denna vanliga men något missvisande klassificering. kraften som en uppenbar kraft förändrar ingenting i termer av dess verkliga, ofta katastrofala konsekvenser. " 
• Istvan Szabo: History of Mechanical Principles . 3. Upplaga. Birkhäuser, Basel 1987, ISBN 3-7643-1735-3 . 
• Istvan Szabo: Högre teknisk mekanik . 6: e upplagan. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67653-8 . 
• S. Brandt, HD Dahmen: Mekanik . 4: e upplagan. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21666-9 . 
• Peter Reinecker, Michael Schulz, Beatrix M. Schulz: Theoretical Physics I . Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40635-2 . 
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Teoretisk fysik 1 - Klassisk mekanik . 7: e upplagan. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-21474-7 . 
• Friedhelm Kuypers: Klassisk mekanik . 8: e upplagan. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40721-7 . 
• Agostón Budó: Teoretisk mekanik . 2: a upplagan. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963, ISBN 3-540-67653-8 . 
• Lev D. Landau, EM Lifschitz, Paul Ziesche: Mekanik . Harri Deutsch, 1997, ISBN 3-8171-1326-9 ( online ). 
• Hans J. Paus: Fysik i experiment och exempel . 3: e, uppdaterad utgåva. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-41142-5 ( begränsad förhandsgranskning i Googles boksökning). 

Anmärkningar

1. ↑ Euler började med frågan om huruvida tyngdkraftslagen, som härrör från planetobservationerna, kunde förfalskas av det faktum att observatören själv accelererade med jorden.

Individuella bevis

1. ↑ ^{a b} Cornelius Lanczos: Mechanics variationella principer . Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7 , pp. 88–110 ( begränsad förhandsgranskning i Googles boksökning): ”Följaktligen måste tröghetskraften I definieras som den negativa hastigheten för förändring av momentum: I = −d / dt (mv) ... Definitionen av kraften av tröghet kräver "ett absolut referenssystem" där accelerationen mäts. Detta är en inneboende svårighet hos Newtons mekanik, som Newton och hans samtida uppmärksammar. Lösningen på denna svårighet kom på senare tid genom Einsteins stora prestation, Theory of General Relativity. " 
2. Mar Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik: Volym 3: Kinetik , 10: e upplagan, Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, s. 191. ( begränsad förhandsvisning i Googles boksökning) s. 191: "Vi skriv nu F - ma = 0 och ta den negativa produkten av massan m och accelerationen a formellt som en kraft som vi kallar [...] D'Alemberts tröghetskraft F _T : F _T = −ma. Denna kraft är inte en kraft i newtonsk mening, eftersom det inte finns någon motkraft mot den (den bryter mot axiom actio = reactio!); vi kallar det därför en pseudokraft. "
3. ↑ Max Jammer: begreppet massa i fysik . Scientific Book Society, Darmstadt 1964. 
4. ^ Giulio Maltese: On the Relativity of Motion in Leonhard Eulers Science . I: Archives for History of Exact Sciences Springer-Verlag . tejp 54 , 2000, sid. 319-348 . 
5. ↑ ^{a b} se video (University of Würzburg)
6. ↑ Termen "Einsteinkraft" används ibland, men används helt annorlunda i ett annat sammanhang: Användning av termen Einsteinkraft (s. 5). (PDF; 130 kB).
7. ↑ Eckhard Rebhan: Theoretical Physics I . Spectrum, Heidelberg / Berlin 1999, ISBN 3-8274-0246-8 .  , S. 66.

webb-länkar

• Tröghetsrätt i det accelererade systemet (studentnivå, vid LEIFI )
• Isaac Newton (översättning av V. Schüller): De matematiska principerna för fysik: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Gruyter, 1999, ISBN 3-11-016105-2 ( Definition III i Googles boksökning).