Foucaults pendel

Foucault-pendeln i Paris Panthéon

Foucaults pendel vid den roterande jordens nordpol

En Foucault-pendel är en lång, sfärisk pendel med en stor pendelmassa, med hjälp av vilken jordens rotation kan detekteras utan hänvisning till observationer på himlen .

Försök och beskrivning

Den 3 januari 1851 genomförde den franska fysikern Léon Foucault ett experiment i källaren i sitt hus där han gjorde en två meter lång pendelsvängning nära marken och exakt markerade dess väg. Han konstaterade att planet av svängning pendeln vänt långsamt. Tyngdkraften, som bara verkar vertikalt, kunde inte orsaka denna rotation, och ingen annan extern kraft verkade på pendeln. Så det var inte pendeln, utan marken ( jorden ) som ändrade riktning. Strängt taget beskriver pendeln en smal rosettbana (se intilliggande figur), med vilken pendelns svängningsplan roterar långsamt relativt marken.

Den 3 februari 1851 genomförde Foucault experimentet i Paris observatorium med en 12 meter lång pendel. Den 26 mars 1851 presenterade han den för allmänheten i Panthéon med en 67 meter lång pendel och en pendelkropp som väger 28 kilo. I den nedre änden av pendelkroppen var en punkt som markerade ett spår i en sandbädd på golvet med varje svängning. Detta var ett sensationellt bevis på jordens rotation som passade lekmän. Den italienska fysikern Vincenzo Viviani gjorde liknande observationer redan 1661 , men han associerade dem ännu inte med jordens rotation.

Experimenten upprepades av Caspar Garthe i Kölnerdomen och Friedrich Magnus Schwerd i Speyerkatedralen , men med resultat som inte var kvantitativt tillfredsställande. Heike Kamerlingh Onnes utförde mer exakta mätningar som en del av sin avhandling från 1879 och påpekade de felkällor som störde Köln och Speyer. Foucault-pendlar hänger fortfarande i olika naturvetenskapliga museer idag . Den ursprungliga pendelns järnkula förvarades i Conservatoire National des Arts et Métiers fram till 1946 och återvände sedan till Panthéon.

Upphängningen av pendeln kan vara elastisk, kardan eller stel. Den får inte överföra något vridmoment till pendeln över ett genomsnitt av en svängning för att inte dölja effekten.

Förklaring

Den fysiska förklaringen är att den huvudsakliga effekten av rotationen av jorden är att jorden roterar nedanför planet av oscillering av pendeln, medan planet för oscillationen i sig förblir oförändrad. Det är lättast att se vid nord- eller sydpolen , eftersom pendelns upphängningspunkt förblir i vila där trots jordens rotation. Därför skulle jorden vända sig under pendeln exakt en gång under en dag . (Skillnaden på fyra minuter till den exakta 24-timmars soliga dagen beror på att solen rör sig vidare på stjärnhimlen.) Rotationen som observeras på pendeln är motsatt jordens rotationsriktning, dvs medurs vid nordpolen. och vänster vid sydpolen. Vid ekvatorn, å andra sidan, roterar inte pendelns svängningsplan alls i förhållande till marken. Ju närmare polerna kommer, desto starkare blir rotationen.

Ur en observatörs synvinkel som anser att jorden är i vila, roterar pendelplanet på det beskrivna sättet. I hans referenssystem beror detta på en tröghetskraft som verkar utöver tyngdkraften . Detta är Coriolis-kraften , som i förhållande till det jordfasta referenssystemet alltid verkar på den tvärs riktningen för pendelkroppen och avböjer den till höger på norra halvklotet och till vänster på södra halvklotet . Som ett resultat roterar vibrationsplanet runt vertikalen genom upphängningspunkten.

Den vinkelhastigheten hos denna rotation är konstant. Det uppgår till

${\ displaystyle \ omega _ {\ text {Coriolis}} = \ Omega \, \ sin (\ varphi)}$,

där är vinkelhastigheten av jorden och den latitud upphängningspunkten. I Tyskland tar en full rotation mellan 29,3 timmar (i Flensborg) och 32,2 timmar (i München). Vid ekvatorn ( ) roterar inte svängningsplanet alls. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi = 0}$

Derivation av pendelplanets rotationsrörelse

Koordinatsystem som används för beräkningen

Vägkurva för en Foucault-pendel med jordens rotation 1000 gånger snabbare

Tänk på en matematisk pendel på en plats på norra halvklotet med geografisk latitud . Ett koordinatsystem med fast jord är inriktat på ett sådant sätt att det vid pendelns bas pekar mot öster, norrut och zeniten. Längden på denna pendel bör vara mycket större än dess amplitud , så att den som en bra approximation gäller pendelns kropp . Pendelkroppen förblir således i xy-planet och upplever återställningskraften i en harmonisk approximation (på grund av tyngdacceleration ) ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x, \, y, \, z}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {y}}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {z}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {r} = - m \, {\ frac {g} {l}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 0 \ end {pmatrix}}}$.

Om xy-planet representerade ett tröghetssystem, skulle pendeln exekveras i det med en frekvens av plana harmoniska svängningar (se relevant avsnitt i sfärisk pendel ). Beroende på initialtillståndet skulle detta vara en linjär svängning genom baspunkten eller en ellips eller en cirkel runt baspunkten, varigenom banan inte ändras på xy-planet. ${\ displaystyle \ textstyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {g / l}}}$

Det jordfixade xyz-koordinatsystemet är inte ett tröghetssystem; jorden roterar med vinkelhastighet . (Effekterna på grund av månens och solens attraktion kan helt försummas.) Rotationsaxeln går genom polerna ( vid båda polerna), vilket är storleken på vinkelhastigheten . För att beräkna rörelsen i det samroterande xyz-referenssystemet måste centrifugalkraften därför läggas till den linjära återställningskraften${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle \ varphi = + 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ Omega = 360 ^ {\ circ} / {\ text {Sidereal day}} = 2 \ pi / {(86164 \, \ mathrm {s}) \ approx 7 {,} 3 \ cdot 10 ^ {- 5} \, \ mathrm {s} ^ {- 1}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {Zf}} = - m \, {\ vec {\ Omega}} \ times ({\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {R} })}$

och Coriolis-styrkan

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {Cor}} = - 2m \, {\ vec {\ Omega}} \ gånger {\ vec {v}}}$

Lägg till. ( är punktvektorn för punkten (x, y, z), om ursprunget är i mitten av jorden är dess hastighet i det jordfixade xyz-referenssystemet). ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

Den enda praktiskt observerbara förändringen är resultatet av att hela banan kurva roterar runt den vertikala z-axeln med vinkelhastigheten i svängningsplanet. I ett referenssystem som roterar med samma vinkelhastighet jämfört med det jordfasta systemet bibehåller pendeln orienteringen av sin bana, dvs. det vill säga, det beter sig som i en tröghetsram. Det är lättast att se för en pendel vars viloläge är nordpolen. Där roterar jorden helt enkelt (moturs) bort från under pendeln, vilket inte har någon inverkan på pendelrörelsen. (Detsamma gäller sydpolen, men här medurs rotation, eftersom du måste använda den geografiska breddgraden som en variabel för på södra halvklotet i alla formler .) ${\ displaystyle - \ Omega \ sin (\ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle - \ varphi}$

För att göra detta förståeligt, notera att vinkelhastigheten är en vektor och därför kan delas upp i komponenter (se figur):

${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ Omega _ {z} \, {\ hat {e}} _ {z} + \ Omega _ {y} \, {\ hat {e}} _ {y } = {\ begin {pmatrix} 0 \\\ Omega _ {y} \\\ Omega _ {z} \ end {pmatrix}}}$

med och . ${\ displaystyle \ Omega _ {z} = \ Omega \ sin (\ varphi)}$${\ displaystyle \ Omega _ {y} = \ Omega \ cos (\ varphi)}$

För Coriolis-kraften, som är linjär , kan effekterna av båda komponenterna betraktas separat. Corioliskraften på grund av verkningar vinkelrätt mot z-axeln, dvs. vinkelrätt mot svängningsplanet. Det orsakar bara den observerade rotationen av banans orientering. Corioliskraften på grund av har endast en försumbar effekt, eftersom den är vertikal mot det xy-plan som kroppen är bunden till, och dess storlek är minst en faktor mindre än den vertikala tyngdkraften. (Storleksordningen är resultatet av den maximala hastigheten för förhållandena i befintliga Foucault-pendlar.) ${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {z}}$${\ displaystyle \ Omega _ {y}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Omega / \ omega _ {0} \ cdot A / l \ ca 10 ^ {- 6}}$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {max}} = A \ omega _ {0}}$

Centrifugalkraften beror däremot på kvadraten av . Den statiska effekten av centrifugalkraften leder till en avvikelse från jorden från den sfäriska formen ( jordplattning 21 km) och till en förändring i riktning och styrka för accelerationen orsakad av gravitationen; dessa influenser har redan i stor utsträckning beaktats i form av de uppmätta värdena för parametrarna . Ett annat inflytande på oscillationsperioden och på pendelns bana är försumbar, för på grund av det kvadratiska beroendet är centrifugalkraften åtminstone en faktor svagare än återställningskraften . Efter att detta har bekräftats av exakta beräkningar på 1800-talet försummas centrifugalkraften och andra ord i storleksordningen i detta sammanhang.${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ textstyle \ Omega ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2} \ ca 10 ^ {- 8}}$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2}}$

Beräkning av banans ekvationer

Med ovan motiverad försummelse av centrifugalkraften och komponenten av Coriolis-kraften orsakad av den , lyder rörelseekvationen för pendelmassan i xy-planet: ${\ displaystyle \ Omega _ {y} = \ Omega \ cos (\ varphi)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 2 \ Omega _ {z} {\ begin {pmatrix} {\ dot {y }} \\ - {\ dot {x}} \ end {pmatrix}} - \ omega _ {0} ^ {2} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$

Dessa är två kopplade vanliga differentialekvationer av andra ordningen. De blir en enda differentialekvation av den komplexa variabeln för enkel lösning

${\ displaystyle u (t) = x (t) + \ mathrm {i} \, y (t)}$

sammanfattas:

${\ displaystyle {\ ddot {u}} = - 2 \ mathrm {i} \ Omega _ {z} {\ dot {u}} - \ omega _ {0} ^ {2} u}$

Detta har formen av en harmonisk svängningsekvation med en imaginär dämpare och kan lösas direkt med de metoder som är kända därifrån. Här är det dock lärorikt, baserat på ovanstående överväganden, att uttrycka rörelsen i ett koordinatsystem som roterar med vinkelhastigheten i förhållande till xy-systemet . Detta görs genom en variabel transformation ${\ displaystyle - \ Omega _ {z}}$

${\ displaystyle u (t) = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ Omega _ {z} t} U (t)}$,

eftersom de verkliga och imaginära delarna bildar ett XY-koordinatsystem, som roterar i förhållande till xy-koordinatsystemet med vinkelhastigheten i svängningsplanet. Att ersätta med ger faktiskt den enklare differentialekvationen ${\ displaystyle U (t) = X (t) + \ mathrm {i} \, Y (t)}$${\ displaystyle - \ Omega _ {z}}$${\ displaystyle U (t)}$

${\ displaystyle {\ ddot {U}} = - (\ omega _ {0} ^ {2} + \ Omega _ {z} ^ {2}) U}$.

Det är ekvationen för en stationär oavdämpad harmonisk svängning, men med frekvensen

${\ displaystyle \ omega '= \ omega _ {0} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {z} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}}}} \ ungefär \ omega _ {0}}$.

Följaktligen beskriver koordinaterna rörelsen som en sfärisk pendel skulle utföra i tröghetssystemet (se harmonisk oscillator # tvådimensionell oscillator ). Termen av storleksordning försummas konsekvent vid behandlingen av Coriolis-kraften liksom vid behandlingen av centrifugalkraften. I själva verket avbryter båda bidrag varandra, eftersom de kommer in med motsatt tecken. Den ostörda svängningen av pendeln med den ostörda frekvensen moduleras i komplex notation så en ytterligare funktion , vilket innebär en enhetlig rotation runt z-axeln. ${\ displaystyle X (t), \, Y (t)}$${\ displaystyle \ Omega _ {z} ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle e ^ {\ pm \ mathrm {i} \ Omega _ {z} t}}$

För ytterligare en kort lösning i polära koordinater, se t.ex. B. Ädla.

I praktiken ställs initialtillståndet i det fasta xy-systemet ofta in på ett sådant sätt att pendeln släpps vid ett startläge med en initialhastighet på noll . Sedan uttrycks lösningarna för rörelsen återigen i de jordfixade xy-koordinaterna: ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x (t) & = x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + x_ {0} {\ frac { \ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} \ cos (\ omega _ { 0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) -y_ {0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t ) \ cos (\ Omega _ {z} t) \\ y (t) & = - x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) + x_ { 0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) \ end {align}}}$

I stället för ovanstående rörelseekvationen uppfyller banan en liknande ekvation där avböjningskoefficienten ersätts med . Eftersom dessa koefficienter bara skiljer sig åt i storleksordningen är skillnaden irrelevant för storleksvärdena som ska mätas. ${\ displaystyle - \ omega _ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle - (\ omega _ {0} ^ {2} - \ Omega _ {z} ^ {2})}$${\ displaystyle 10 ^ {- 8}}$

Exakt samma bana erhålls om man använder ett koordinatsystem som roterar runt sin axel med vinkelhastigheten jämfört med det jordfixerade systemet (se bilden ovan), som ett tröghetssystem, för approximationsskull. Den enkla tröghetsfria differentialekvationen för en harmonisk oscillator gäller här. Dess lösningsbanor är ellipser med begränsande fall av en cirkel eller en rak linje. Jordens rotation märks inte i systemet. Rotationstransformerad till det jordfixerade systemet transformeras lösningskurvan till banan för Foucaults pendel ovan. Den roterande referensramen är inte en tröghetsram. Den är inte fast vid stjärnorna, men är tillräcklig för beräkningen av Foucaults pendel som en approximation för ett tröghetssystem. ${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle - \ Omega \ sin \ Phi}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle xyz}$

För att representera denna rörelse av pendelkroppen rekommenderas notering i plana polära koordinater . Det gäller då avståndet från viloläget ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho ^ {2} (t) = x ^ {2} (t) + y ^ {2} (t) = \ rho _ {0} ^ {2} \ left (\ cos ^ {2} (\ omega _ {0} t) + {\ frac {\ Omega _ {z} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}} \ sin ^ {2} (\ omega _ {0 } t) \ höger)}$.

Två egenskaper blir tydliga i detta: För resultat i den ursprungliga harmoniska svängningen i tröghetssystemet. Det är sant vid ekvatorn. För det andra visar det sig att Foucault-pendeln, släppt från en startpunkt på avstånd, följer en rosettbana. Vägen leder inte exakt genom ursprunget, men närmar sig den upp till en bråkdel . Det faktum att pendeln i det här fallet inte går exakt genom viloläget leder, på grund av den sfäriska pendelns anharmonic, till en korruption av svängningsplanets rotation med en bråkdel , varför överdrivna svängningsamplituder måste undvikas .${\ displaystyle \ Omega _ {z} = 0}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ rho _ {\ text {min}}} {\ rho _ {0}}} = {\ tfrac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta \ Omega} {\ Omega _ {z}}} = - {\ tfrac {3} {8}} {\ tfrac {\ rho _ {0} ^ {2}} {l ^ {2}}}}$

Sex identiska Foucault-pendlar i 6 timmar

Rotationen av apsidalinjen i banan per svängning kan gå igenom

${\ displaystyle \ Delta \ phi = \ arctan \ left ({\ frac {y \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}} \ right)} {x \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}} \ höger)}} höger) - \ arctan \ vänster ({\ frac {y_ {0}} {x_ {0}}} \ höger) = - 2 \ pi {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}}}$

beräknas. På norra halvklotet roterar Focault-pendeln (faktiskt dess ungefärliga svängningsplan; sett ovanifrån) sålunda medsols, på södra halvklotet moturs (se animering till höger). En fullständig rotation av Foucaults pendel tar tid

${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ Omega \, \ sin \ varphi}}}$.

I Tyskland roterar vibrationsnivån ungefär per timme . ${\ displaystyle 11 {,} 5 ^ {\ circ}}$

Galleri

• 

  Pendel i orangeriet i Kassel

• 

  Pendel vid universitetet i Koblenz

• 

  Pendel i Deutsches Museum, München

litteratur

• Foucaults pendelexperiment. I: Ágoston Budó: Teoretisk mekanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, s. 122–126.
• Reiner M. Dreizler, Cora S. Lüdde: Teoretisk fysik. Volym 1: Teoretisk mekanik. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-70558-1 , s. 311 ff.
• William Duncan MacMillan: På Foucaults pendel . I: American Journal of Mathematics . tejp 37 , nr. 1 , 1915, s. 95-106 , doi : 10.2307 / 2370259 , JSTOR : 2370259 . 
• Michael Hagner : Foucaults pendel och oss. I samband med en installation av Gerhard Richter. König, Köln 2021, ISBN 978-3-96098-349-1 .

webb-länkar

• Teknisk beskrivning av pendeln på webbplatsen för universitetet i München (med webbkamera)
• The Foucault Pendulum (1985) - film från samlingen från Federal Institute for Scientific Film (ÖWF) i online-arkivet för det österrikiska mediebiblioteket

tillägg

1. ↑ I animationen roterar jorden cirka 5000 gånger snabbare än i verkligheten. Ursprungligt tillstånd: Pendeln börjar vid maximal avböjning utan en initialhastighet i förhållande till jorden. Den annars ofta visade rosettbanan uppstår när pendeln i vila skjuts ut ur sin viloläge.
2. ↑ Pendelns längd: 50 m, plats: nordlig latitud, jordens rotation 1000 gånger snabbare än verkligt. Med det verkliga värdet skulle kurvan visas som ett fyllt cirkulärt område eftersom svängningslinjerna överlappade. Tidigt utslag :, initialhastighet . Detta värde tillåter pendeln att passera ursprunget. : Storleken på vinkelhastigheten för jordens rotation : normal koordinat för vinkelhastighetsvektorn för jordens rotation på Pendelort presentationstid: Kvartal Perioden för svängplanets rotation Kurvan är lösningen på differentialekvationer från. : kvadratisk naturlig vinkelfrekvens för pendeln : acceleration på grund av tyngdkraften${\ displaystyle \ varphi = 50 ^ {\ circ}}$
   ${\ displaystyle y_ {0} = 1 {\ text {m}}}$${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {0} = \ Omega _ {z} y_ {0}}$
   ${\ displaystyle \ Omega}$
   ${\ displaystyle \ Omega _ {z} = \ Omega \ sin (\ varphi)}$
   
   
   ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 2 \ Omega _ {z} {\ begin {pmatrix} {\ dot {y }} \\ - {\ dot {x}} \ end {pmatrix}} - \ omega _ {0} ^ {2} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$
   ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = g / L}$
   ${\ displaystyle g}$
3. ↑ Inställning vid 90 ° N, 50 ° N, 30 ° N, 15 ° N, 0 ° och 15 ° S. Representation av jordens rotation i det stjärnfasta systemet. Förhållandet mellan pendelns svängningsperiod och längden på jordens omlopp (sidodag) är i själva verket mycket mindre. Initialt tillstånd: Alla pendlar startar samtidigt från en maximal parallellavböjning i öster utan initialhastighet.

Individuella bevis

1. ↑ Heike Kamerlingh Onnes: Nieuwe Bewijzen voor de aswenteling the earth . Wolters, Groningen 1879, s. 1–312 (nederländska, gdz.sub.uni-goettingen.de [nås den 16 mars 2018] Titel på tyska: ”Nytt bevis för jordens axelrotation”). 
2. ^ Historia av Pantheon Paris. I: pantheonparis.com. Hämtad 17 oktober 2018 . 
3. ↑ ^{a b} A. Budo: Teoretisk mekanik . 4: e upplagan. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 24 Rörelser på den roterande jorden, s. 119 . 
4. F P. Furtwängler: Mekanik för fysiska apparater. I: F. Klein, C. Müller (red.): Encyclopedia of Mathematical Sciences. Vol. IV.2, Teubner, Leipzig 1904.
5. ^ William J. Noble: En direkt behandling av Foucault-pendeln . I: American Journal of Physics . Nej. 20 , 1952, sid. 334–336 (engelska, edu.tw [PDF]). 
6. I'TJ Jag är. Bromwich: Om teorin om Foucaults pendel och om den gyrostatiska pendeln . I: Proceedings of the London Mathematical Society . s2-13, nej. 1 , 1914, s. 222-235 (engelska, wiley.com ). 
7. ↑ WS Kimball: Foucault Pendulum Star Path och n- Leaved Rose . I: American Journal of Physics . tejp 13 , nr. 5 , 1945, s. 271-277 , doi : 10.1119 / 1.1990726 (engelska). 
8. ↑ Roland Szostak: En permanent svängande Foucault-pendel för skolor . I: PLUS LUCIS 2 / 2002-1 / 2003 . Matematik och naturvetenskap lektioner. S. 11–15 ( online [PDF; 160 kB ]).