Divisionssumma

Den delade summan av ett naturligt tal är summan av alla delare av detta nummer, inklusive själva numret. ${\ displaystyle \ sigma}$

Exempel:

Siffran 6 har delarna 1, 2, 3 och 6. Så divisionssumman för 6 är .${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 6 = 12}$

Partiella summor spelar en roll i många problem inom talteorin. B. med perfekta siffror och vänliga siffror .

Definitioner

Definition 1: summan av alla faktorer

Låt alla vara delare av det naturliga talet , då kallar vi divisionssumman av . Därmed är 1 och sig själv delare, dvs ingår i uppsättningen faktorer. Funktionen kallas divisorsumfunktionen och är en numerisk teoretisk funktion . ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {k}}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sigma (n) = t_ {1} + t_ {2} + \ dotsb + t_ {k}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sigma}$

Exemplet ovan kan nu skrivas så här:

${\ displaystyle \ sigma (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12}$

Definition 2: Summan av de verkliga faktorerna

Summan av de verkliga delarna av det naturliga talet är summan av delarna utan själva talet och vi betecknar denna summa med . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (n)}$

Exempel:

${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (6) = 1 + 2 + 3 = 6}$

Uppenbarligen gäller förhållandet:

${\ displaystyle \ sigma (n) -n = \ sigma ^ {*} (n)}$

Definition 3: bristfällig, riklig, perfekt

Ett naturligt nummer kallas ${\ displaystyle n> 1}$

bristfällig eller splitterarm när ,${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (n) <n}$

riklig eller partiell , om ,${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (n)> n}$

perfekt om .${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (n) = n}$

Exempel:

${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (6) = 1 + 2 + 3 = 6}$, d. H. 6 är ett perfekt nummer.

${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16> 12}$, d. H. 12 är rikligt.

${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (10) = 1 + 2 + 5 = 8 <10}$, d. H. 10 är bristfällig.

Divisionssummans egenskaper

Mening 1: delad summa av ett primtal

Var ett primtal. Sedan: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sigma (n) = n + 1}$

Bevis: Eftersom det är en prim, är 1 och de enda faktorerna. Därav följer påståendet. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Sats 2: Avdelningssumman av ett primtal

Var ett primtal. Sedan: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sigma (n ^ {k}) = {\ frac {n ^ {k + 1} -1} {n-1}}}$

Bevis: Eftersom ett primtal, har endast följande division: . Summan är en geometrisk serie . Påståendet följer omedelbart från den empiriska formeln för en geometrisk serie. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n ^ {k}}$${\ displaystyle n ^ {0}, n ^ {1}, \ ldots, n ^ {k}}$

Exempel:

${\ displaystyle \ sigma (2 ^ {3}) = {{2 ^ {4} -1} \ över {2-1}} = {{16-1} \ över 1} = 15}$

${\ displaystyle \ sigma (8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15}$

Sats 3: Divisionsumman av produkten av två primtal

Låt och vara olika primtal. Sedan: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ sigma (a \ cdot b) = \ sigma (a) \ cdot \ sigma (b)}$

Bevis: Numret har fyra olika avdelare 1 , och . Det följer: ${\ displaystyle från}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle från}$

${\ displaystyle \ sigma (a \ cdot b) = 1 + a + b + ab = (a + 1) (b + 1) = \ sigma (a) \ cdot \ sigma (b)}$

Exempel:

${\ displaystyle \ sigma (3 \ cdot 5) = \ sigma (15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24}$

${\ displaystyle \ sigma (3) \ cdot \ sigma (5) = (1 + 3) \ cdot (1 + 5) = 4 \ cdot 6 = 24}$

Mening 4: Generalisering av mening 2 och mening 3

Låt vara olika primtal och naturliga tal. Ytterligare vara . Sedan: ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {r}}$${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, ..., k_ {r}}$${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {k_ {1}} \ cdot p_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot p_ {r} ^ {k_ {r}}}$

${\ displaystyle \ sigma (n) = {\ frac {p_ {1} ^ {k_ {1} +1} -1} {p_ {1} -1}} \ cdot \ ldots \ cdot {\ frac {p_ { r} ^ {k_ {r} +1} -1} {p_ {r} -1}}}$

Thabits sats

Med hjälp av Theorem 4 kan man bevisa Thabits teorem från fältet med vänliga siffror. Meningen är:

För ett fast naturligt nummer låt och . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x = 3 \ cdot 2 ^ {n} -1, y = 3 \ cdot 2 ^ {n-1} -1}$${\ displaystyle z = 9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -1}$

Om , och är primtal större än två, då de två talen och är vänner; H. och . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle a = 2 ^ {n} xy}$${\ displaystyle b = 2 ^ {n} z}$${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (a) = b}$${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (b) = a}$

bevis

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {*} (a) & = \ sigma (a) -a \\ & = \ sigma (2 ^ {n} \ cdot x \ cdot y) -a \\ & = (2 ^ {n + 1} -1) (x + 1) (y + 1) -a \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad && {\ text {(mening 4)}} \\ & = (2 ^ {n + 1} -1) (3 \ cdot 2 ^ {n}) (3 \ cdot 2 ^ {n-1}) - 2 ^ {n} (3 \ cdot 2 ^ {n} -1) (3 \ cdot 2 ^ {n-1} -1) \\ & = (2 ^ {n + 1} -1) \ cdot 9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -2 ^ {n} (9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -6 \ cdot 2 ^ {n-1} -3 \ cdot 2 ^ {n-1} +1) \\ & = 2 \ cdot 2 ^ {n} \ cdot 9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -9 \ cdot 2 ^ {n} \ cdot 2 ^ {n-1} -2 ^ {n} (9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -9 \ cdot 2 ^ {n-1} +1) \\ & = 2 ^ {n} (18 \ cdot 2 ^ {2n-1} -9 \ cdot 2 ^ {n-1} -9 \ cdot 2 ^ {2n-1 } +9 \ cdot 2 ^ {n-1} -1) \\ & = 2 ^ {n} (9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -1) \\ & = 2 ^ {n} \ cdot t.ex. \\ & = b \ end {align}}}$

Man visar analogt . ${\ displaystyle \ sigma ^ {*} (b) = a}$

Divisionssumma som en ändlig serie

För varje naturligt tal kan delningsfunktionen representeras som en serie utan uttrycklig hänvisning till delningsegenskaperna hos : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sigma (n) = \ sum _ {\ mu = 1} ^ {n} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos {2 \ pi {\ frac {\ nu n} {\ mu}}}}$

Bevis: Funktionen

${\ displaystyle T (n, \ mu) = {\ frac {1} {\ mu}} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos 2 \ pi {\ frac {\ nu n} { \ mu}}, \ quad n = 1,2, \ dots, \ quad \ mu = 1,2, \ dots}$

blir 1 om är en faktor av , annars förblir den noll. För det första, ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle T (n, \ mu) = {\ frac {1} {\ mu}} \ lim _ {x \ to n} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos 2 \ pi {\ frac {\ nu x} {\ mu}} = \ lim _ {x \ to n} {\ frac {1} {2 \ mu}} \ left (\ sin 2 \ pi x \ cot {\ frac { \ pi x} {\ mu}} - 1+ \ cos 2 \ pi x \ right) = \ lim _ {x \ to n} {\ frac {\ sin 2 \ pi x \ cos {\ frac {\ pi x } {\ mu}}} {2 \ mu \ sin {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}}$

Räknaren i det sista uttrycket går alltid till noll när det går. Nämnaren kan bara bli noll om den är en delare av . Men då ${\ displaystyle x \ till n}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to n} {\ frac {\ sin 2 \ pi x \ cos {\ frac {\ pi x} {\ mu}}} {2 \ sin {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}} = \ cos {\ frac {\ pi n} {\ mu}} \ lim _ {x \ to n} {\ frac {\ sin 2 \ pi x} {2 \ sin {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}}; = \; \ cos {\ frac {\ pi n} {\ mu}} \ lim _ {x \ till n} {\ frac {2 \ pi \ cos 2 \ pi x} {2 {\ frac {\ pi} {\ mu}} \ cos {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}} \; = \; \ mu}$

Endast i det här fallet hävdas det som ovan. ${\ displaystyle T (n, \ mu) = 1}$

Om du nu multiplicerar med och lägger till produkten över alla värden till , görs ett bidrag till summan bara om det är en faktor av . Men det är precis definitionen av den allmänna delningsfunktionen${\ displaystyle T (n, \ mu)}$${\ displaystyle \ mu ^ {k}}$${\ displaystyle \ mu = 1}$${\ displaystyle \ mu = n}$${\ displaystyle \ mu ^ {k}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ sum _ {\ mu = 1} ^ {n} \ mu ^ {k-1} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos {2 \ pi {\ frac {\ nu n} {\ mu}}}, \ quad k = 0, \ pm 1, \ dots}$

vars speciella fall är den enkla divisionssumman . ${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle \ sigma (n)}$

Se även

• Innehållskedja
• Delvis uppsättning

litteratur

• Paul Erdős , János Surányi : Ämnen i talteorin. (=  Grundtexter i matematik ). 2: a upplagan. Springer Verlag, New York, NY ( bland annat) 2003, ISBN 0-387-95320-5 ( MR1950084 - översatt från ungerska av Barry Guiduli ). 
• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbok för talteori. Jag . Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9 ( MR2186914 ). 
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbok för talteori. II . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London 2004, ISBN 1-4020-2546-7 ( MR2119686 ). 
• Wacław Sierpiński : Elementary Theory of Numbers (=  North-Holland Mathematical Library . Volym 31 ). 2: a reviderade och utökade upplagan. Nord-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0 ( MR0930670 ).