Axelsymmetri

Siffror med symmetriaxlar (streckade). Siffran längst ner till höger är inte axiellt symmetrisk.

Axiell symmetri i arkitektur
( Castle Howard herrgård )

Axiell symmetri är spegelbildsarrangemang av karaktärer på båda sidor av en imaginär linje. I geometrin är axiell symmetri eller axiell symmetri liknande beteckningar som egendom. En figur kallas axiellt symmetrisk om den avbildas på sig själv genom den vinkelräta axelreflektionen på dess symmetriaxel .

När det gäller en tvådimensionell figur är axiell symmetri synonym med spegelsymmetri . I tredimensionella utrymmen, däremot , motsvarar den axiella symmetrin en rotationssymmetri runt 180 ° (medan spegelsymmetrin i tredimensionellt utrymme är en symmetri till ett symmetriplan ).

definition

En figur är axiellt symmetrisk om det finns en rak linje g, så att för varje punkt P i figuren finns en annan punkt P 'i figuren (möjligen identisk med P), så att anslutningslinjen [PP'] är genomskuren vid raka vinklar med denna raka linje .

En plan figur F kallas axiellt eller axiellt symmetrisk om en rak linje g kan specificeras i dess plan, så att F omvandlas till sig själv genom att spegla vid g.

Den raka linjen g kallas sedan symmetriaxeln .

Exempel

• Som du kan se i den intilliggande figuren har fyrkanten exakt fyra symmetriaxlar. Kvadrilateraler som inte är kvadrater har färre eller inga symmetriaxlar. En rektangel har till exempel fortfarande två symmetriaxlar, nämligen de två vinkelräta på motsatta sidor och likbent trapez , drakfyrkant och antiparallelogram har fortfarande åtminstone en symmetriaxel.
• Den cirkel har även ett oändligt antal symmetriaxlarna, eftersom det är symmetrisk med avseende på varje diameter.
• En annan figur med ett oändligt antal symmetriaxlar är den raka linjen . Den är oändligt lång och därför symmetrisk med avseende på varje axel vinkelrät mot den, liksom axeln som ligger på sig själv.
• Inte bara tvådimensionella figurer kan vara axiellt symmetriska. Den sfären är axiellt symmetrisk med avseende på varje rak linje genom mittpunkten. Detta bör inte förväxlas med plan symmetri. Sfären är också plan symmetrisk. Det vill säga den är symmetrisk med avseende på en reflektion kring ett plan som innehåller sfärens centrum.
• Den rätblock är också axiellt symmetrisk.
• Grafen för cosinusfunktionen är också axiellt symmetrisk med y-axeln . Ämnet axiellt symmetriska funktioner undersöks mer detaljerat i följande avsnitt.

Axiell symmetri av funktionsdiagram

Översikt

Funktion vars graf är axiellt symmetrisk med linjen x = a

En uppgift som är särskilt populär i skolan är att bevisa axelsymmetrin för grafen för en funktion . Om y-axeln i koordinatsystemet är symmetriaxeln måste det visas att ekvationen${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (-x) \, = \, f (x)}$

uppfylls för alla x av domänen . Då sägs funktionens graf vara symmetrisk kring y-axeln. Sådana funktioner kallas också raka funktioner . Detta villkor anger att funktionsvärdena för argumenten och måste matcha. ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle -x}$

Om du vill undersöka axelsymmetrin för en funktionsgraf med avseende på vilken rät linje som helst parallell med y-axeln med ekvationen , måste du testa om funktionen uppfyller ekvationen ${\ displaystyle x = a}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (ax) \, = \, f (a + x)}$

för en fast och för alla definitioner uppfyllda. Att ersätta med ger motsvarande villkor ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xa}$

${\ displaystyle f (2a-x) \, = \, f (x).}$

Exempel

Den kvadratiska funktionen fungerar som ett exempel

${\ displaystyle f (x) \, = \, x ^ {2} -1.}$

Tillämpa nämnda villkor för axelsymmetrin i förhållande till y-axelresultaten

${\ displaystyle f (-x) \, = \, (- x) ^ {2} -1 = x ^ {2} -1 = f (x).}$

Grafen (en parabel) är därför symmetrisk kring y-axeln.

Ett exempel på en funktion kommer nu att ges vars graf inte är symmetrisk med avseende på y-axeln, men är ändå axiellt symmetrisk. Funktionen

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -4x + 3}$

är ett sådant exempel. Påståendet är att grafen för är axiellt symmetrisk med avseende på det normala . Så det är sant och det följer av det ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle a = 2}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (2a-x) & = f (4-x) \\ & = (4-x) ^ {2} -4 (4-x) +3 \\ & = ( 16-8x + x ^ {2}) - (16-4x) +3 \\ & = 16-8x + x ^ {2} -16 + 4x + 3 \\ & = x ^ {2} -4x + 3 \\ & = f (x) \ end {aligned}}}$

Detta bekräftar antagandet om axiell symmetri.

I allmänhet är grafen för en kvadratisk funktion axelsymmetrisk med avseende på den vertikala linjen genom toppunkten . Detta är lätt att se om du omformulerar den funktionella termen i vertexform . ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle S = (x_ {s}, y_ {s})}$${\ displaystyle f (x) = a (x-x_ {s}) ^ {2} + y_ {s}}$

Solid revolution

En klass av axiellt symmetriska kroppar i tredimensionellt utrymme är de roterande kropparna. Ett tredimensionellt objekt är ett solidt av rotation när en rotation genom en vinkel runt en fast axel kartlägger objektet på sig själv. Denna axel är symmetriaxeln. Det enklaste exemplet på en solid revolution är cylindern .

Plansymmetri

En annan generalisering av axelsymmetrin till det 3-dimensionella utrymmet är plansymmetrin. En figur är exakt symmetrisk, om det finns ett plan så att figuren mappas på sig själv vid spegling av detta.

litteratur

1. ↑ Axiell symmetri. I: Duden online. Hämtad 21 november 2019 . 
2. ^ Arnfried Kemnitz: Matematik i början av kursen . Grundläggande kunskaper för alla tekniska, matematiska, vetenskapliga och ekonomiska kurser. 9: e reviderade och utökade upplagan. Springer-Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3 , pp. 144 ( begränsad förhandsgranskning i Google Book Search [nås 21 november 2019]).