Sfärisk geometri

Den sfäriska geometrin , även sfärisk geometri eller geometri på sfären , behandlar punkter och punktuppsättningar på sfären . Det motiverades ursprungligen av geometriska observationer på världen (se kartografi ) och himmelsfären (se astrometri ). Det är av speciellt intresse inom geometrin , eftersom det med en lämplig definition av punkten på sfären representerar både en modell för elliptisk geometri och uppfyller axiomerna för projektiv geometri .

Den sfäriska geometrin skiljer sig mycket från planet Euklidisk geometri på vissa punkter . Det har inga paralleller, eftersom två stora cirklar, analogen av den raka linjen på sfären, alltid skär varandra. Många satser kända från euklidisk geometri , såsom 180 ° vinkelsummen i en triangel eller Pythagoras teorem , är inte giltiga på sfären. De finns dock i en anpassad form.

Grundläggande koncept

Starttermerna för plangeometrier är punkten och den raka linjen. Dessa definieras på sfären enligt följande:

Hetero

Den raka linjens roll spelas av de stora cirklarna i sfärisk geometri . Stora cirklar är cirklar på sfären vars (euklidiska) centrum är centrum för sfären. Exempel på stora cirklar på jorden är ekvatorn och meridianerna . En stor cirkel erhålls genom att korsa sfärens yta med ett plan som innehåller centrum av sfären.

Punkt

En cirkel erhålls genom att korsa sfären med ett euklidiskt plan. Om avståndet mellan sfärens centrum och korsningsplanet är lika med sfärens radie, beskriver sektionen en cirkel med radien 0, dvs en punkt på sfären.

Geografisk punkt

I den geografiska vyn för sfärisk geometri hämtas definitionen av punkten från euklidisk geometri, dvs. H. uppsättningen sfäriska punkter definieras som uppsättningen av alla punkter i tredimensionellt euklidiskt utrymme som ligger på sfärens yta.

Elliptisk punkt

Ur geometrisk synvinkel har den geografiska definitionen av punkten en allvarlig nackdel. I geometriska axiomsystem krävs det i allmänhet att två punkter definierar exakt en rak linje. Med ovanstående definition är detta inte fallet när man tar hänsyn till motpunkter på sfären. Motsatta punkter är punkter vars euklidiska anslutningslinje löper genom sfärens centrum. (De relaterar till varandra som nord- och sydpolen på jordklotet.) Ett oändligt antal stora cirklar löper genom motpunkter (motsvarande längdcirklarna på världen). Varje stor cirkel genom en punkt går också genom dess kontrapunkt. Det är därför vettigt att kombinera par motpunkter för att bilda en punkt.

Eftersom den elliptiska definitionen av punkten identifierar varje punkt med sin motsatta punkt, identifieras också varje figur (uppsättning punkter) på sfären med dess motsatta figur. (I synnerhet består en triangel till exempel av två mottrianglar.)

rutt

Linjer är bra bågar på sfären. Avståndet mellan två punkter A och B på sfären är identiskt med längden på den kortaste stora cirkelbågen från A till B. Vid enhetsfären med centrum M är dess längd identisk med vinkeln i radianer . Längder kan också anges som vinklar på en sfär med valfri radie r. Den faktiska sfäriska längden d beräknas sedan från vinkeln i radianer som . ${\ displaystyle \ vinkel AMB}$${\ displaystyle d = \ vinkel AMB \ cdot r}$

Med en elliptisk definition av punkten motsvarar den mindre av de två vinklarna mellan de euklidiska raka linjerna som förbinder motpunkterna det sfäriska avståndet på enhetssfären. Avståndet är därför aldrig större än . ${\ displaystyle \ pi / 2}$

cirkel

En cirkel erhålls genom att korsa sfären med ett euklidiskt plan. I sfärisk geometri är raka linjer (delar av sfären med euklidiska plan som innehåller centrum av sfären) inget annat än speciella cirklar ( stora cirklar ). Sfärens cirkelns skärningspunkt med ett plan som inte innehåller mitten av sfären kallas den lilla cirkeln. (På jorden, till exempel, med undantag för ekvatorn, är alla breddgrader små cirklar.)

Areaberäkning

Sfärisk triangel

Två stora cirklar med skärningspunkterna P och P 'delar den sfäriska ytan i fyra sfäriska polygoner. En sfärisk triangel är begränsad av två bågar av dessa stora cirklar som förbinder P och P '. Området för en sfärisk triangel är relaterad till sfärens totala yta som dess öppningsvinkel till hela vinkeln: ${\ displaystyle A_ {Z}}$${\ displaystyle A_ {K}}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle A_ {Z} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot A_ {K} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot 4 \ pi r ^ {2 } = 2 \ alpha r ^ {2}}$.

I synnerhet gäller följande på enhetens sfär

${\ displaystyle A_ {Z} = 2 \ alpha}$.

Sfärisk triangel

Området för en sfärisk triangel med vinklarna och beräknas utifrån dess vinklar: ${\ displaystyle A_ {D}}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle A_ {D} = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) \ cdot r ^ {2}}$

Eftersom området alltid är större än noll måste summan av de tre inre vinklarna i en sfärisk triangel vara större än (eller 180 °): ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi}$

Överskottet av summan av vinklarna över summan av vinklarna i en euklidisk triangel kallas det sfäriska överskottet . Det sfäriska överskottet av en triangel är proportionellt mot dess yta (och till och med lika med enhetssfären med proportionalitetsfaktorn 1).

Sfären som ett projektivt plan, dualitet och polaritet

Dualitet av punkt och linje på sfären

Förekomst och vinkellängdskonservering med dualisering

Den sfäriska geometrin är ett projektivt plan med den elliptiska definitionen av punkterna . I projektiv geometri kan alla meningar dualiseras, det vill säga att termerna punkt och rak linje byts ut (följaktligen längder och vinklar som i tabellen ovan). På sfären kan varje rak linje a unikt tilldelas sin dubbla punkt A och omvänt varje punkt A sin dubbla raka linje a. För en cirkel erhålls dubbelpunktsparet som skärningspunkten mellan sfären och vinkelrätt mot cirkelplanet som löper genom sfärens centrum (se figur).

Med dualisering bibehålls förekomsten av punkter och raka linjer. Följande gäller: Om en punkt A ligger på en rak linje b, löper den raka linjen a, som är dubbla till den, genom punkten B, som är dubbel mot den raka linjen b. Men inte bara bibehålls incidensen utan vinklar och längder smälter också samman. Dimensionen d av vinkeln mellan två raka linjer a och b motsvarar (på enhetssfären) dimensionen av avståndet d mellan punkterna A och B, som är dubbla med de raka linjerna.

→ Denna dualitet är en speciell korrelation , nämligen en elliptisk, projektiv polaritet . Detta förklaras mer detaljerat i artikeln Correlation (Projective Geometry) .

Koordinater

För att skapa ett koordinatsystem tar man först godtyckligt en stor cirkel som ekvatorn . Sedan väljer du en meridian som huvudmeridian och definierar en rotationsriktning . Nu kan du mäta vinklarna från ekvatorn och huvudmeridianen och därmed tydligt definiera varje position på sfären. Latitudcirklar är parallella med ekvatorn, medan longitudcirklar går genom de två polerna.

Gränsregel

För beräkningar på den sfäriska ytan gäller principen att alla formler som innehåller den sfäriska radien och därmed tar hänsyn till den absoluta storleken måste konverteras till giltiga formler med platt geometri för gränsfallet . ${\ displaystyle r \,}$${\ displaystyle r \ to \ infty}$

Se även

• Sfärisk trigonometri
• Orthodrome (kortaste sträckan på sfären)

webb-länkar

• Föreläsning om sfärisk geometri