Soddy Circle

Frederick Soddy

De Soddy cirklarna är lösningarna för ett specialfall av Apollonisk problem , där de tre givna cirklar , vars centra är hörnen av en triangel , i kontakt med varandra. De är uppkallade efter Frederick Soddy , som återupptäckte Descartes sats med hjälp av dessa cirklar och publicerade den den 20 juni 1936 i tidskriften Nature i form av en dikt med titeln The kiss exact .

definition

Ges en triangel och de tre cirklar med de centra , respektive , var och en definieras av kontaktpunkterna i den inskrivna cirkeln språng med de intilliggande sidorna av triangeln. (Dessa tre cirklar berör varandra parvis.) De två Soddy-cirklarna är nu de cirklar som berör de tre nämnda cirklarna. I allmänhet skiljer man mellan de inre och yttre Soddy-cirklarna. ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

egenskaper

• Enligt Descartes sats gäller följande för krökning av de två Soddy-cirklarna:${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle k = k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} + k_ {2} k_ {3} + k_ {3} k_ { 1}}}.}$

I det här fallet betecknar krökningarna (= ömsesidiga radier ) av cirklarna runt hörnet punkterna A, B och C.${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}}$

• Mitten av den yttre Soddy-cirkeln är den isoperimetriska punkten .
• Mitten av den inre Soddy-cirkeln är punkten för samma omväg .
• Det gäller följande de radier av de Soddy kretsar

${\ displaystyle r = \ left | {\ frac {\ Delta} {4R + r \ pm U}} \ right |.}$

Här hänvisas till området , den Inkreisradius , den radie radie och omkretsen. Plus-tecknet gäller den inre Soddy-cirkeln, minus-tecknet för den yttre.${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle U}$

• Radien för den inre Soddy-cirkeln beräknas med formeln från WKB Holz .
• Cirklarna runt triangelns hörn berörs av den yttre Soddy-cirkeln för att inkludera, för att utesluta. I gränsfallet ( ) finns en oändlig radie, dvs. H. den yttre Soddy-cirkeln blir en vanlig tangent.${\ displaystyle 4R + r <U}$${\ displaystyle 4R + r> U}$${\ displaystyle 4R + r = U}$

svälla

• N. Dergiades: Soddy Circles. I: Forum Geometricorum . Volym 7, 2007, s. 191-197. ( Onlineversion )
• Eric W. Weisstein : Soddy Circles . På: MathWorld (engelska).
• Soddy cirklar på knuten

webb-länkar

• Arthur Baragarm, Alex Kontorovich: Efficently Constructing Tangent Circles - enkel konstruktion av de två Soddy-cirklarna
• isoperimetriska och lika omvägspunkter - interaktiv illustration på Geogebratube