Descartes sats

I geometri , Descartes 'sats ( Descartes' Fyra cirklar Sats ), uppkallad efter René Descartes , beskriver ett förhållande mellan fyra cirklar som berör varje annan . Meningen kan användas för att hitta, för tre givna cirklar som rör varandra, en fjärde som rör de andra tre. Det är ett speciellt fall av Apollonian-problemet .

berättelse

Geometriska problem relaterade till cirklar som rör varandra tänkte på för mer än 2000 år sedan. I antikens Grekland på 3: e århundradet f.Kr. Apollonios von Perge ägnade en hel bok åt detta ämne. Tyvärr har detta arbete med titeln On Touch inte överlevt.

René Descartes nämnde kort (i enlighet med tidens seder) problemet 1643 i ett brev till prinsessan Elisabeth av Böhmen . Han kom i princip till den lösning som beskrivs i ekvation (1) nedan, även om hans bevis var felaktigt. Därför är fyrcirkelssatsen uppkallad efter Descartes idag.

Frasen återupptäcktes flera gånger oberoende, inklusive i ett speciellt fall i japanska tempelproblem , av Jakob Steiner (1826), av den brittiska amatörmatematikern Philip Beecroft (1842) och av Frederick Soddy (1936). Soddy-cirklarna hänvisas ibland till , kanske för att Soddy publicerade sin version av meningen i form av en dikt med titeln The Kiss Precise , som publicerades i Nature (20 juni 1936). Soddy generaliserade också Descartes sats till en sats om sfärer i 3-dimensionellt utrymme och Thorold Gosset till n-dimensioner.

Allan Wilks och Colin Mallows från Bell Laboratories upptäckte i slutet av 1990-talet att en komplex version av Descartes sats också definierar var cirklarna befinner sig.

Fortsätter du konstruktionen får du en fraktalstruktur med allt mindre berörande cirklar. Medan de första fyra krökningarna är förbundna med en kvadratisk ekvation enligt Descartes sats, gäller en linjär ekvation för följande cirklar. Om du börjar med fyra heltalskurvor har följande kurvor av cirklarna i konstruktionen också heltalvärden. Antalet teoretiska aspekter av problemet följdes särskilt upp av Wilks, Jeffrey Lagarias , Ronald Graham , Peter Sarnak , Alex Kontorovich och Hee Oh .

Definition av den signerade krökningen

Descartes sats uttrycks lättast av termen krökning . Den signerade krökningen för en cirkel definieras av , där r betecknar radien. Den större cirkeln, desto mindre är mängden av dess krökning och vice versa. ${\ displaystyle k = \ pm 1 / r}$

Minustecknet är för ett län, de andra tre kretsarna inklusive beröringar. Annars ska plustecknet användas. ${\ displaystyle k = \ pm 1 / r}$

Om en rak linje betraktas som en degenererad cirkel med krökning kan Descartes sats också tillämpas när en rak linje och två cirklar ges som berör varandra, och en tredje cirkel söks som berör den raka linjen och de angivna cirklarna. ${\ displaystyle k = 0}$

Descartes sats

Med tanke på fyra cirklar vidrör varandra med radier , , och . Om man definierar den signerade krökningen (för ) för var och en av dessa cirklar enligt ovan , uppfylls följande ekvation: ${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle r_ {3}}$${\ displaystyle r_ {4}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, 4}$

${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {4}) ^ {2} = 2 \, (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2})}$

Att lösa denna ekvation gör det möjligt att bestämma radien för den fjärde cirkeln: ${\ displaystyle k_ {4}}$

${\ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} + k_ {2} k_ {3} + k_ {3 } k_ {1}}}.}$

Plus-minus-symbolen uttrycker att det i allmänhet finns två lösningar .

exempel

Angivna är tre cirklar med radierna , och . Således har tecknat krökning värdena , och . De två lösningarna och är resultatet av ekvation (2) . Den lilla cirkeln (röd) mellan de givna cirklarna har därför radien . Den stora cirkeln (även röd) som omsluter de angivna cirklarna har radien . ${\ displaystyle r_ {1} = 1/2}$${\ displaystyle r_ {2} = 1/6}$${\ displaystyle r_ {3} = 1/3}$${\ displaystyle k_ {1} = 2}$${\ displaystyle k_ {2} = 6}$${\ displaystyle k_ {3} = 3}$${\ displaystyle k_ {4} = 23}$${\ displaystyle {k_ {4}} '= - 1}$${\ displaystyle r_ {4} = 1/23}$${\ displaystyle {r_ {4}} '= 1}$

Speciella fall

Om till exempel den tredje av de tre angivna cirklarna ersätts med en rak linje, är detta lika med 0 och faller ur ekvation (1). Ekvation (2) blir mycket enklare i detta fall: ${\ displaystyle k_ {3}}$

${\ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2}}}.}$

exempel

Låt två cirklar med radierna och och en rak linje ges, vilket förstås som en cirkel med en oändlig radie. Motsvarande signerade krökningsvärden är , och . Med ekvation (3) erhåller man igen två möjliga värden, nämligen och . För radierna för de två cirklarna ritade i rött är resultatet respektive . ${\ displaystyle r_ {1} = 1/4}$${\ displaystyle r_ {2} = 1/9}$${\ displaystyle k_ {1} = 4}$${\ displaystyle k_ {2} = 9}$${\ displaystyle k_ {3} = 0}$${\ displaystyle k_ {4} = 25}$${\ displaystyle {k_ {4}} '= 1}$${\ displaystyle r_ {4} = 1/25}$${\ displaystyle {r_ {4}} '= 1}$

Descartes sats kan inte tillämpas om två eller till och med alla tre givna cirklar ersätts av raka linjer. Meningen gäller inte om det finns mer än en omfattande berörande cirkel, dvs. när det gäller tre cirklar som ligger inuti varandra med en gemensam kontaktpunkt.

Komplex sats av Descartes

För att helt bestämma en cirkel, inte bara dess radie (eller krökning), måste man också känna till dess mittpunkt. Det enklaste sättet att uttrycka ekvationen för detta är att tolka koordinaterna för mittpunkten ( x ,  y ) som ett komplext tal . Ekvationen för är mycket lik Descartes sats och kallas därför Descartes Complex Theorem . ${\ displaystyle z = x + iy}$${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$

Angivna är fyra cirklar med centra och de signerade krökningarna (se ovan) som rör varandra. Då gäller förhållandet utöver (1) ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, k_ {4}}$

${\ displaystyle (k_ {1} z_ {1} + k_ {2} z_ {2} + k_ {3} z_ {3} + k_ {4} z_ {4}) ^ {2} = 2 \, (k_ {1} ^ {2} z_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} z_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} z_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2} z_ {4} ^ {2}).}$

Ersättningen resulterar i: ${\ displaystyle q_ {i} = k_ {i} \ cdot z_ {i}}$

${\ displaystyle (q_ {1} + q_ {2} + q_ {3} + q_ {4}) ^ {2} = 2 \, (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} + q_ {4} ^ {2})}$

Denna ekvation är analog med och har lösningen: ${\ displaystyle (1)}$

${\ displaystyle q_ {4} = q_ {1} + q_ {2} + q_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {q_ {1} q_ {2} + q_ {2} q_ {3} + q_ {3 } q_ {1}}}.}$

Även här finns det i allmänhet två lösningar.

Om man har bestämt utifrån ekvation (2), får man igenom${\ displaystyle k_ {4}}$${\ displaystyle z_ {4}}$${\ displaystyle z_ {4} = q_ {4} / k_ {4}}$

olika

De primitiva heltalslösningarna av de fyra radierna är exakt de diagonala produkterna och linjeprodukterna för de två tvåparametriska representationerna av de primitiva Pythagoreiska tripplarna , t.ex. den primitiva Pythagoreiska tripletten med parameterrepresentationerna (skrivna som kolumner) och de diagonala produkterna och linjen produkter , som kallas Radii, tolkas, uppfyller Descartes sats.${\ displaystyle (5,12,13)}$${\ displaystyle (2,3) ^ {T}}$${\ displaystyle (1 = 3-2,5 = 3 + 2) ^ {T}}$${\ displaystyle 3.10}$${\ displaystyle 2.15}$

webb-länkar

• Interaktiv applet (fyra cirklar som rör varandra)
• Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
• Dana Mackenzie A tisket, a tasket, an Apollonian basket , American Scientist, Volym 98, 2010, s. 10-14 (fick Chauvenet-priset 2015).

Individuella bevis

1. ↑ Dana Mackenzie, A tisket, a tasket, packning of Apollonian, American Scientist, Volume 98, 2010, pp 10-14
2. ↑ David Gisch, Jason Ribando Apollonios Problem: en studie av lösningar och deras kopplingar , American Journal of Undergraduate Research, Volym 3, 2004, nr 1, PDF
3. ↑ https://arxiv.org/pdf/0809.4324.pdf
4. ↑ https://arxiv.org/pdf/math/0701624.pdf