Varignon set

Den uppsättning Varignon (också fastställts av mittrutan i) beskriver geometri en egenskap för fyra hörn . Det är uppkallat efter Pierre de Varignon (1654–1722).

formulering

Om du ansluter centrum av angränsande sidor av en kvadrat får du ett parallellogram .

bevis

krav

${\ displaystyle {\ overline {AE}} = {\ overline {EB}}, {\ overline {BF}} = {\ overline {FC}}, {\ overline {CG}} = {\ overline {GD}} , {\ overline {DH}} = {\ overline {HA}}}$

krav

Det fyrkantiga EFGH är ett parallellogram.

Bevisförlopp

1. Titta på triangeln ABC. Om du tar B som centrum för förlängningen av en centrerad förlängning mappas A till E och C till F med en sträckningsfaktor på ½. Enligt bildbildningsegenskaperna för centrerad sträckning - bilden är rak och den ursprungliga raka linjen är parallella - följer att AC ∥ EF.
2. På samma sätt visar man att AC, GH, BD, FG och BD, HE.
3. Parallellismen är övergående . Så EF ∥ HG och FG ∥ HE.

De motsatta sidorna av fyrkanten EFGH är parallella, vilket motsvarar definitionen av ett parallellogram.

Slutsatser

Omkrets av Varignon parallellogram

Omkretsen för Varignon-parallellogrammet är exakt lika stor som summan av diagonalerna i ursprungets kvadrat.

Område av Varignon parallellogram

Området för Varignon-parallellogrammet är hälften så stort som området för ursprungstorget.

Trivia

Den så kallade Varignon-apparaten är en profan tillämpning av de matematiska satserna och kan användas för platsoptimering. Flera platser ritas i stor skala på en bordsskiva. På dessa platser borras hål genom vilka trådar dras. Ändarna på alla trådar knyts ihop på toppen av bordet. Motsvarande vikter involverade hängs på trådarna under bordsskivan. Till exempel används antalet personer eller antalet invånare som vikt för att uttrycka platsens viktning. Krafterna som nu verkar drar noden på plattans yta till det optimala läget.

Se även

• Commandinos sats
• Diagonalt set

litteratur

• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Elementary Geometry Experience: En arbetsbok för oberoende och aktiv upptäckt . Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0 , sid 76-77
• HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Washington 1967, s. 52-54
• Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF) Ingår i: Mathematics Teacher , Volym 94, nr 4, april 2001, s.316-319
• Peter N. Oliver: Konsekvenser av Varignon Parallelogram Theorem (PDF) I: Mathematics Teacher , Volym 94, nr 5, maj 2001, s. 406-408

webb-länkar

• Eric W. Weisstein : Varignons teorem . På: MathWorld (engelska).
• Varignon-parallellogram i kompendiumgeometri (engelska)
• Varignons sats på Matroids Matheplanet
• Varignon parallellogram på cut-the-knot-org

Individuella bevis

1. ↑ Matematisk prisma. Hämtad 17 augusti 2020 .