Rotation (fysik)

Rotation , även rotationsrörelse , rotation , rotationsrörelse eller gyral rörelse , är i klassisk fysik en förflyttning av en kropp runt en rotationsaxel . Termen används både för en enstaka rotation genom en viss vinkel och för en kontinuerlig rörelse med en viss vinkelhastighet . Rotationsaxeln kan, men behöver inte gå genom kroppens masscentrum . En skillnad måste göras mellan den rotation som behandlas här och den cirkulära rörelsen, där en kropp kretsar kring en cirkel utan att ändra sin orientering och kroppens punkter rör sig alla på cirklar av samma storlek, förskjutna från varandra. De två formerna av rörelse sammanfaller bara med rörelsen av en punktmassa .

Roterande ringar

I fysik hör termen till delområdena för mekanik och kinematik . I astronomin sker det bland annat i samband med förändringar i jordens rotation och andra objekts rörelser upp till galaxer . Dagliga applikationer och exempel som ofta används för att tydligt förklara fenomen som är förknippade med rotation är toppen och karusellen .

Under rotation förblir alla punkter på rotationsaxeln på sin plats ( fasta punkter ), medan alla andra punkter rör sig runt den på ett fast avstånd från axeln i en cirkel vinkelrät mot axeln i samma vinkel eller med samma vinkelhastighet . Därför förblir längderna på anslutningslinjerna för två punkter på objektet och vinklarna mellan dem desamma.

Rotationsparametrar

En ändlig rotation kännetecknas tydligt av specifikationen av en fast punkt och en vektor som ligger parallellt med rotationsaxeln och som specificerar rotationsvinkeln med dess längd. I fallet med en progressiv rotationsrörelse är denna vektor vinkelhastigheten. Rotationen runt en viss punkt i ett fast referenssystem kan därför beskrivas av de tre komponenterna i den associerade vektorn. En annan möjlighet är att specificera de tre Euler-vinklarna .

Jämförelse med translationell rörelse

I följande tabell jämförs de karakteristiska storheterna och rörelseekvationerna för en translationell rörelse med de för en rotationsrörelse . På grund av analogierna kan varje mening om översättning konverteras till en mening om rotation genom att ersätta motsvarande kvantiteter.

Translationsrörelse	Rotationsrörelse
Positionsvektor : ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$	Rotationsvinkel eller rotationsmatris : ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle A}$
Hastighet : ⁽¹⁾ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {r}}}}$	Vinkelhastighet : ⁽³⁾ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ dot {\ psi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {1} + {\ dot {\ theta}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {2} + {\ dot {\ phi}} {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {3}}$
Acceleration : ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {r}}}}$	Vinkelacceleration : ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ dot {\ vec {\ omega}}}}$
Massa : ( skalär ) ${\ displaystyle \ m}$	Tröghetstensor : ( andra ordningens tensor , i speciella fall skalär ) ⁽²⁾ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Theta}}$ ${\ displaystyle I}$
Kraft : ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$	Vridmoment : ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$
Impuls : ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m \, {\ vec {v}}}$	Vinkelmoment ⁽²⁾ : ${\ displaystyle {\ vec {L}} = \ mathbf {\ Theta} {\ vec {\ omega}}}$
Drivning (linjär) / impuls : ${\ displaystyle \ Delta {\ vec {p}} = \ int {\ vec {F}} \ mathrm {d} t}$	Drivning (rotation) / roterande chock : ${\ displaystyle \ Delta {\ vec {L}} = \ int {\ vec {M}} \ mathrm {dt}}$
Kinetisk energi : ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \, {\ vec {v}} ^ {2} \ equiv {\ frac {1} {2}} { \ vec {v}} \ cdot {\ vec {p}}}$	Rotationsenergi : ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {red}} = {\ frac {1} {2}} {\ vec {\ omega}} \ cdot \ mathbf {\ Theta} {\ vec {\ omega}}}$
Arbete : ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}} = \ int {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} \ \ mathrm {d} t}$	Arbeta med roterande rörelse (svarvarbete): ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {M}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ varphi}} = \ int {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}} \ \ mathrm {d} t}$
Prestanda : ${\ displaystyle P = {\ dot {W}} = {\ vec {F}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {s}}} {\ mathrm {d} t}} = { \ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}$	Rotationseffekt (roterande effekt): ${\ displaystyle P = {\ dot {W}} = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}$
Rörelseekvationer
Allmänt: Kraft är kopplad till en förändring i momentum (momentum set ): ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}} = {\ vec {F}}}$	Allmänt: Momentet är kopplat till en förändring i vinkelmoment ( vridningsprincip ): ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {L}}} = {\ vec {M}}}$
När det gäller konstant massa ( Newtons andra axiom ): ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m \, {\ vec {a}} = {\ vec {F}}}$	Vid konstant tröghetsmoment : ⁽²⁾ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle I {\ vec {\ alpha}} = {\ vec {M}}}$

⁽¹⁾Poängen ovanför en variabel betyder att detta är en tidsförändring ( derivat ). Poängen mellan två vektorer betyder den skalära produkten.

{\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}

⁽²⁾I allmänhet och inte i samma riktning (en roterande kropp "vacklar" eller är ur balans ), så är tröghetsmomentet i allmänhet inte konstant. Motsvarigheten av massan av translationell rörelse är därför en andra ordningens tensor - tröghetstensorn . Ett ständigt tröghetsmoment inträffar just när kroppen roterar runt en av sina tröghetsaxlar .

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}

{\ displaystyle {\ vec {L}} = \ mathbf {\ Theta} {\ vec {\ omega}}}

⁽³⁾uttryckt i derivaten av Euler-vinklarna . Roterande axlar (enhetsvektorer).

{\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {u}}} _ {i}}

Styv kroppsrotation

För att tydligt kunna beskriva orienteringen av en stel kropp i rymden krävs tre skalära (vinkel) specifikationer. Två av dem anger bara riktningen för dess rotationsaxel, den tredje hur långt kroppen har roterats runt denna axel.

Rotationsrörelsen hos en stel kropp har åtminstone två stabila rotationsaxlar (momentfri axel) genom massacentret med fri rotationsrörelse: huvudtröghetsaxeln med det minsta eller största tröghetsmomentet är stabilt. Om alla tre huvudsakliga tröghetsmoment är olika är rotationen runt tröghetsaxeln med det genomsnittliga tröghetsmomentet i ett instabilt tillstånd, eftersom de minsta störningarna leder till starka svindlande rörelser (se t.ex. Dschanibekow-effekten ).

Om du försöker rotera en stel kropp runt en annan axel än en av dess tröghetsaxlar uppstår ögonblick som vill få den att ändra sin nuvarande rotationsaxel. Om axeln inte hålls på plats av lager som vrider vridmoment på den, kommer kroppen att vackla.

I fallet med en kraftfri fri rotation bibehålls vinkelmomentet, vilket i allmänhet inte är i linje med vinkelhastigheten. Sålunda rotationsaxeln ändras kontinuerligt, vilket är i vardagligt tal känd som "staggering" eller "ägg", tekniskt och vetenskapligt - beroende på typ av axeln rörlighet - som wobbling av den rotationsaxeln eller som sekundär axel fel , precession eller nutation .

Oavsett andra influenser är varje topp nästan integrerbar, med antingen mycket liten eller mycket energi (jämfört med den potentiella energidifferensen mellan botten och toppdödpunkt) i rotationen. De mest kaotiska rörelserna i de icke-integrerbara typerna förekommer, oavsett form, när den kinetiska energin i toppen bara är tillräcklig för att nå toppdödpunkten. Den mer exakta behandlingen utförs med hjälp av Eulers gyroekvationer , för mer detaljerade förklaringar se huvudartikeln eller där.

I följande specialfall kan Eulers gyroskopiska ekvationer lösas analytiskt. De banor systemet, särskilt vinkelhastigheterna, har en periodisk kurs här.

Fall av Euler

Eulers fall beskriver en topp som är upphängd exakt i tyngdpunkten . Oavsett toppen på toppen är fallet integrerbart , eftersom det finns mer konserverade kvantiteter än frihetsgrader : energin och vinkelmomentet i förhållande till alla tre rumsliga riktningarna i tröghetssystemet.

Är massan hos den roterande kroppen kring rotationsaxeln symmetriskt fördelad, så verka på axeln av fjädrarna från alla rotationskrafter , eftersom trögheten ( centrifugalkraft ) av varje Massenteilchens genom en likvärdig och motsatt avbryts; en sådan axel kallas en fri axel eller huvudtröghetsaxel. Men om rotationen inte äger rum kring en fri axel, uppstår - även i den symmetriska kroppen - moment av centrifugalkrafter som är i dynamisk jämvikt med momenten av Euler-krafterna , som uttrycker rotationsaxelns rörelse.

Euler-gyroen finner z. B. Teknisk tillämpning i gyrokompasser och gyroskopiska styrsystem.

Lagrange fall

När det gäller Lagrange antas att tröghetsmomenten motsvarar två huvudaxlar. Detta uppfylls till exempel av radiellt symmetriska kroppar. I det här fallet finns det tre fysiska bevarandemängder: energin, det totala vinkelmomentet och vinkelmomentet i förhållande till z-axeln (i kraftfältets riktning). I förhållande till den roterande kroppen ändras kraftfältets riktning kontinuerligt, men riktningsvektorn har alltid samma längd: Detta definierar en fjärde, rent geometrisk bevarandemängd som uppstår när man beskriver rörelsen i kraftfältet.

Eftersom varje masspartikel som roterar runt en fri axel tenderar att förbli i sitt rotationsplan vinkelrätt mot axeln, efter tröghet , måste själva den fria axeln också visa tendensen att behålla sin riktning i rymden och därmed bli en kraft som vill föra den ut ur denna riktning, ju större tröghetsmoment och den roterande kroppens vinkelhastighet, desto större motstånd . Det är därför en topp som roterar tillräckligt snabbt inte faller över, även om dess axel är krokig, precis som hjul , mynt etc. inte faller över när de rullas på kanten eller "dansar" runt den vertikala diametern .

Effekten av den störande kraften på toppen uttrycks snarare i det faktum att dess axel avviker i en riktning vinkelrät mot den störande kraftens riktning och beskriver ytan på en kon i långsam rörelse utan att axeln ändrar sin lutning till det horisontella planet . Denna rörelse är känd som nutation .

Lagranges fall förverkligas av en typisk leksakssnurr när dess beröringspunkt är fixerad på marken. Hjulen på cyklar och motorcyklar också beter sig som gyroskop i ett gravitationsfält och förutom att styra fordonet, att stabilisera bilen genom sina ansträngningar att anpassa rörelsemängdsmoment till det ögonblick av vikt . Se även: cykling .

Fall av Kovalevskaya

Den Kovalevskaya gyroskop , uppkallad efter Sofja Kovalevskaya har samma tröghetsmoment med avseende på två av sina huvudaxlar och exakt hälften samma när det gäller den tredje huvudaxeln. De fysiska bevarandemängderna är energin, det totala vinkelmomentet och ett komplext matematiskt uttryck för vilket det inte finns någon allmänt förståelig ekvivalent.

Fall av Goryachew-Chaplygin

Fallet med Dmitri Nikanorowitsch Goryachev (Goryachev) och Tschaplygin (Chaplygin) är en modifiering av fallet Kovalevskaya, som kräver en fjärdedel så stor istället för halva det tredje tröghetsmomentet. I detta fall finns det dock bara en tredje fysisk bevarandemängd om vinkelmomentet i riktning mot kraftfältet initialt försvinner. Denna vinkelmomentkomponent är en konserverad kvantitet och därför permanent noll i detta fall.

Individuella bevis

↑ Hans Schmiedel, Johannes Süss: Fysik - för tekniska yrken . 16: e upplagan, Büchner, Hamburg 1963, s. 74.
^ Teoretisk undersökning av fallet Goryachew-Chaplygin .

litteratur

Peter Brosche, Helmut Lenhardt: Polrörelsen från observationerna av FW Bessel 1842–1844 . I: zfv , tidskrift för geodesi, geoinformation och markförvaltning , nummer 6/2011, s. 329–337, DVW e. V. (redaktör), Wißner-Verlag, Augsburg 2011, ISSN 1618-8950 , om jordrotation.

webb-länkar

Wiktionary: Rotation - förklaringar av betydelser, ordets ursprung, synonymer, översättningar

Wiktionary: rotera - förklaringar av betydelser, ordets ursprung, synonymer, översättningar

[1] Hans Schmiedel, Johannes Süss: Fysik - för tekniska yrken . 16: e upplagan, Büchner, Hamburg 1963, s. 74.

[2] Teoretisk undersökning av fallet Goryachew-Chaplygin .

Languages