Polygon
En polygon (från forngrekiska πολυγώνιον polygṓnion 'polygon'; från πολύς polýs 'mycket' och γωνία gōnía 'vinkel') eller polygon är en platt geometrisk figur i elementär geometri , som bildas av en sluten linje .
En polygon är en tvådimensionell polytop .
En polygon erhålls genom att (icke-kollinjärt) i ett plan åtminstone tre olika punkter genom sträckning är sammanbundna. Detta skapar en sluten linje ( polygon ) med lika många hörn , till exempel en triangel (3 punkter, 3 rader) eller en kvadrat (4 punkter, 4 rader).
Det slutna området kallas ofta som en polygon, som i planimetri .
Definition och termer
En polygon är en siffra som definieras av en tuppel av olika punkter.
- De punkter kallas hörnpunkter eller hörn av polygonen för kort , en polygon med är hörn kallas -Eck eller (särskilt i engelsk litteratur) också -on.
- Linjerna och kallas polygonens sidor .
- Alla anslutningslinjer mellan två hörnpunkter som inte är sidor kallas diagonaler .
Ibland krävs ytterligare villkor för definitionen av en polygon, men de är inte formellt nödvändiga:
- En polygon har minst tre hörnpunkter som skiljer sig från varandra i par. Det utesluter ett "tvåhörn".
- Tre intilliggande hörnpunkter ligger inte på en rak linje. Dessutom , , och , , kommer att betraktas som angränsande hörn. Detta utesluter hörn med raka vinklar.
klassificering
Efter antal hörn
Polygoner är vanligtvis uppkallade efter antalet hörn (polygonens vikt).
Vanlig polygon
Om en polygon har samma sidor och samma inre vinklar kallas den en vanlig polygon eller en vanlig polygon. Många vanliga polygoner kan konstrueras med kompasser och linjaler ( konstruerbara polygoner ).
Hörn | beskrivning | grekisk | Kompass + linjal |
Specialitet |
---|---|---|---|---|
1 | Einck | Monogonisk | - | Punkt |
2 | Delta | Digon | - | rutt |
3 | triangel | Trine | Ja | 1. Fermats primtal |
4: e | fyrkant | Tetragon | Ja | fyrkant |
5 | femkant | Pentagon | Ja | 2. Fermats primtal |
6: e | sexhörning | sexhörning | Ja | |
7: e | heptagon | heptagon | Nej | Ungefärlig konstruktion möjlig, heptagon enligt Archimedes |
8: e | oktogon | Oktogon | Ja | engelska oct a gon |
9 | Neuneck | Nonagon | Nej | sällsynt Enneagon , approximation konstruktion möjlig |
10 | dekagon | Decagon | Ja | |
11 | Älva | Hendekagon | Nej | Ungefärlig konstruktion möjlig |
12: e | Dodecagon | Dodecagon | Ja | |
13: e | Triangel | Tridecagon | Nej | |
14: e | Fjorton | Tetradecagon | Nej | |
15: e | Femtonde | Pentadecagon | Ja | |
16 | Sexhörning | Hexadecagon | Ja | |
17: e | Sjuttonde hörnet | Heptadecagon | Ja | 3. Fermats primtal |
18: e | Artonde | Octodecagon | Nej | engelska oct a decagon, octakaidecagon |
19: e | Nittonde | Nonadekagon | Nej | Engelska även enneadecagon , enneakaidecagon |
20: e | Tjugonde | Ikosagon | Ja | |
21: a | Tjugoett | Ikosihenagon | Nej | |
24 | Tjugofyra kvadrat | Icositetragon | Ja | |
30: e | Trettiofyra hörn | Triakontagon | Ja | |
40 | Tetragonal | Tetrakontagon | Ja | |
50 | Femtio poäng | Pentakontagon | Nej | |
51 | Femtioett | Pentacontahenagon | Ja | |
60 | Sexhörning | Sexkantskontakt | Ja | |
70 | Sjuttionde | Heptakontagon | Nej | |
80 | Åttkantig | Octocontagon | Ja | engelska oct a contagon |
85 | Åttiofem kvadrat | Octocontapentagon | Ja | engelska oct a contapentagon |
90 | 94 | Enneakontagon | Nej | |
100 | Hunderteck | Hektogon | Nej | |
257 | 257 hörn | Ja | 4. Fermats primtal | |
1 000 | Tusentals bitar | Chiliagon | ||
10 000 | Tiotusentals | Myriagon | ||
65 537 | 65537-hörn | Ja | 5. Fermats primtal | |
100 000 | Hundra tusen | |||
1 000 000 | 1000000 hörn | Megagon | ||
4 294 967 295 | 4294967295-hörn | Ja | Största kända udda antal hörn som teoretiskt kan konstrueras med en kompass och linjal | |
Googoleck | Googolgon | Hörnenummer: en 1 med 100 nollor | ||
∞ | Oändligt hörn | Apeirogon | Teoretisk gränsform med ett oändligt antal sidor |
Fler typer
- Vänd polygon
- Om kanterna skär (berör) inte bara vid hörnpunkterna kallas polygonen för att välta . Om det inte finns någon självkorsning kallas polygonen enkel .
- Icke-vält polygon
- Polygoner som inte välter kan vara konvexa (alla inre vinklar är mindre än 180 °) eller icke- konvexa (minst en inre vinkel är större än 180 °).
- Plan polygon
- I planet som ligger (plan) polygon.
- Icke-plan polygon
- I rymden (icke-plan) polygon.
Polygoner kan vara liksidiga eller liksidiga :
- Vanlig polygon
- Om en polygon har båda sidor och inre vinklar samma, kallas den en vanlig polygon eller en vanlig polygon.
- Stjärnans polygon
- Plana vältade vanliga polygoner är också kända som stjärnpolygoner på grund av deras utseende .
- Ortogonal polygon
- Med ortogonala polygoner möts alla kanter i rät vinkel (det vill säga den inre vinkeln är antingen 90 ° eller 270 ° vid varje kant).
egenskaper
vinkel
I ett plant hörn som inte välter är summan av de inre vinklarna
- .
Följande gäller då summan av de yttre vinklarna oavsett antalet hörn
- .
Dessutom, om alla inre och yttre vinklar är desamma, har dessa värdet
- eller .
Diagonaler
För polygoner som inte är överkorsade gäller följande överväganden vid beräkning av antalet diagonaler:
- Var och en av hörnen kan anslutas till ett av de andra hörnen med en länk.
- Anslutningen från hörn till hörn är identisk med anslutningen från till .
- Exakt anslutningar är sidorna av polygonen.
Så ett hörn som inte välter har exakt diagonaler. När det gäller en icke-konvex polygon finns det diagonaler utanför polygonen (i området med en stympad inre vinkel).
omfattning
Om hörnpunkterna för en platt enkel polygon ges av kartesiska koordinater , kan omkretsen för polygonen bestämmas genom att lägga till sidlängder beräknade med hjälp av Pythagoras sats :
område
Om hörnpunkterna för en platt enkel polygon ges av kartesiska koordinater , kan polygonets yta beräknas enligt den gaussiska trapetsformeln :
- .
Här index som är större än alltid vara modulo , det vill säga vad som menas med:
I determinant form är den gaussiska trapetsformeln:
Förutom den gaussiska trapetsformeln kan arean på en polygon beräknas med hjälp av en undertecknad summa av trianglarna som bildas med polygonets kanter som bas och en fast punkt (till exempel ursprungspunkten ) som toppen. Områdena på trianglarna med en bas vänd bort från den fasta punkten (som kanten på polygonen) får ett negativt tecken.
Arean av gitterpolygoner vars hörn är alla på ett gitter kan beräknas med Picks sats .
Algoritmer
Område
Särskilt för att programmera följande representationen är Gaussisk trapets formeln särskilt lämplig eftersom att spara koordinat arrayer erbjuda arrayen indexering i många programmeringsspråk börjar redan vid noll och modulo-funktionen kan därför särskilt komma elegant används. Modulofunktionen är nödvändig här för att utesluta så kallade off-by-one-fel i arrayindexeringen. Här , , de koordinaterna för hörn av polygon.
Följande programkod är avsedd att visa en exemplarisk implementering - här i C # programmeringsspråk :
public double berechnePolygonFlaeche(double[] x, double[] y)
{
if ((x == null) || (y == null)) // auf leere Argumente testen
{
return 0.0;
}
int anzahlDerEcken = Math.Min(x.Length, y.Length);
if (anzahlDerEcken < 3) // ein Polygon hat mindestens drei Eckpunkte
{
return 0.0;
}
double flaecheninhalt = 0.0;
// Schleife zwecks Summenbildung
for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
{
// Modulo-Funktion für die Indexe der Koordinaten
flaecheninhalt += (y[i] + y[(i + 1) % anzahlDerEcken]) * (x[i] - x[(i + 1) % anzahlDerEcken]);
}
return Math.Abs(flaecheninhalt / 2.0);
}
De koordinater för hörnpunkter är lagrade i de två uppsättningarna x
och y
. För exemplet femkant , som har en yta på 45, kan dessa matriser t.ex. B. initialiserades enligt följande:
double[] x = {7.0, 8.0, 4.0, 1.0, 1.0}; // beispielhafte x-Koordinaten des Polygons
double[] y = {0.0, 7.0, 9.0, 6.0, 2.0}; // beispielhafte y-Koordinaten des Polygons
Konvex skrov
Algoritmer för bestämning av det konvexa skrovet av punkter i planet har som en nedre gräns en asymptotisk drifttid på . Beviset görs genom att reducera det till sorteringen av siffror (se sorteringsproceduren ). Om bara de punkter ligger på kanten av den konvexa skrovet, är gränsen ingår .
Det finns flera algoritmer för att bestämma det konvexa skrovet :
- Graham scan algoritm
- Algoritm för förpackning av gift
- QuickHull
- Inkrementell algoritm
- Chans algoritm
Peka i polygonen
Det finns en enkel algoritm som kan användas för att kontrollera om en punkt är inom en polygon i planet :
En horisontell stråle placeras genom den punkt som undersöks och hur ofta strålen skär polygonens kanter. Punkten är inne i polygonen om antalet skärningspunkter till höger om punkten är udda. Om talet är jämnt är punkten utanför.
Följande datorprogram i C # programmering språk visar en möjlig implementering:
// Bestimmt, ob sich ein Punkt mit den Koordinaten (x, y) innerhalb des Polygons befindet
public bool PunktIstInnerhalb(PointF[] ecken, int x, int y)
{
int anzahlDerSchnittpunkte = 0;
int anzahlDerEcken = ecken.Length;
// Ermittelt die Anzahl der Schnittpunkte des Strahls mit den Kanten des Polygons
for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
{
// Die Ecken der untersuchten Kante
PointF ecke1 = ecken[i];
PointF ecke2 = ecken[(i + 1) % anzahlDerEcken];
double x1 = ecke1.X;
double y1 = ecke1.Y;
double x2 = ecke2.X;
double y2 = ecke2.Y;
// Prüft, ob der Strahl die Kante des Polygons schneidet
if (x < x1 && x > x2 || x > x1 && x < x2 && y > (x * y1 - x * y2 - x2 * y1 + x1 * y2) / (x1 - x2))
{
anzahlDerSchnittpunkte++;
}
}
// Wenn die Anzahl ungerade ist, gib true zurück
// Wenn die Anzahl gerade ist, gib false zurück
return anzahlDerSchnittpunkte % 2 == 1; // Modulo-Operation für Division durch 2
}
använda sig av
Inom datavetenskap är viktiga approximationer av komplexa polygoner det konvexa skrovet och den minimalt omgivande rektangeln . I algoritmer används approximationen ofta för att testa en möjlig icke-tom sektion med ett annat geometriskt objekt (eller detta är uteslutet), först då laddas hela polygonen in i minnet och en exakt sektion beräknas.
I 3D -datorgrafik , förutom andra metoder för geometrisk modellering, är alla (inklusive böjda) ytor modellerade som ett polygonnät . Triangelnät är särskilt lämpade för snabb visning av ytor, men de kan inte interpoleras lika bra med underavdelningsytor . Det finns ett antal kända datastrukturer för lagring av polygonala nätverk.
Vanliga polygoner används ofta som en planlösning i arkitekturen. Kända exempel:
- 5-Eck : Pentagon i Arlington, Virginia
- Octagon : Castel del Monte i Apulien, Italien
- 12-hörn : Saarpolygon , minnesmärke för kolgruvor i Ensdorf (Saar), Saarland
- 16-hörn : Huisduinen fyr nära Den Helder, Nederländerna
- 18-hörn: Liberation Hall i Kelheim, Bayern
- 30-hörn: Wiener Riesenrad i Wien, Österrike
Exempel på polygoner inom maskinteknik
Vidare används termen polygon också analogt för användning som en positivt låsande polygonal axel-nav-anslutning inom maskinteknik. Alla polygonprofiler är tänkbara här.
Exempel på polygoner i geografi
Gränserna för de amerikanska delstaterna Colorado och Wyoming gränsar vart och ett till en rektangel och därmed en konvex polygon.
Staterna New Mexico och Utah har var och en formen av en konkav polygon.
Se även
webb-länkar
- Eric W. Weisstein : Polygon . I: MathWorld (engelska).
- För matematiken för oregelbundna polygoner
- Online beräkning av planpolygoner med grafisk utmatning
Individuella bevis
- ^ Wilhelm Gemoll : grekisk-tysk skola och handordbok . G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München / Wien 1965.
- ^ Cha Zhang, Tsuhan Chen: Effektiv extrahering av funktioner för 2D / 3D -objekt i maskrepresentation (PDF; 66 kB). Bildbehandling, 2001. Proceedings. 2001 Internationella konferensen om. Volym 3. IEEE, 2001. APA (engelska).
- ↑ GeeksforGeeks: Hur kontrollerar man om en given punkt ligger inuti eller utanför en polygon?