Funktionsteori

Funktionsdiagram för f (z) = (z ² -1) (z-2-i) ² / (z ² + 2 + 2i) i polära koordinater . Nyansen indikerar vinkeln, ljusheten är det absoluta värdet för det komplexa talet.

Den funktionella teori är en gren av matematiken . Den behandlar teorin om differentierbara komplexvärderade funktioner med komplexa variabler. Eftersom i synnerhet funktionsteorin för en komplex variabel i stor utsträckning använder metoder från verklig analys , kallas underområdet också för komplex analys .

De viktigaste grundarna av funktionsteorin inkluderar Augustin-Louis Cauchy , Bernhard Riemann och Karl Weierstrass .

Funktionsteori i en komplex variabel

Komplexa funktioner

En komplex funktion tilldelar ett komplext tal , ett ytterligare komplext tal till. Eftersom vilket komplext tal som helst kan skrivas med två reella tal i formen kan en allmän form av en komplex funktion skickas igenom ${\ displaystyle x + iy}$

{\ displaystyle x + iy \ mapsto f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}

representera. Var och är verkliga funktioner som är beroende av två verkliga variabler och . kallas den verkliga delen och den imaginära delen av funktionen. I detta avseende är en komplex funktion inget annat än en mappning från till (dvs. en mappning som tilldelar två reella tal till två reella tal). I själva verket kan man också bygga funktionsteori med metoder från verklig analys. Skillnaden mot verklig analys blir bara tydligare när man tar hänsyn till komplexa differentierbara funktioner och tar i bruk multiplikationsstrukturen för fältet med komplexa tal, som vektorutrymmet saknar. Den grafiska representationen av komplexa funktioner är lite mer komplicerad än vanligt, eftersom fyra dimensioner nu måste representeras. Av denna anledning nöjer man sig med färgtoner eller mättnader. ${\ displaystyle \, u (x, y)}$ ${\ displaystyle \, v (x, y)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \, u (x, y)}$ ${\ displaystyle \, v (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Holomorf funktion

Begreppet differentiering av endimensionell verklig analys utvidgas till komplex differentiering i funktionsteori . Analogt med det verkliga fallet definierar man: En funktion av en komplex variabel kallas komplexdifferentierbar (i punkten ) om gränsvärdet ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle f '(a): = \ lim _ {w \ to 0} {\ frac {f (a + w) -f (a)} {w}}}

existerar. Måste definieras i en miljö av . Det komplexa avståndsbegreppet måste användas för att definiera gränsvärdet . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$

Således definieras två olika differentierbarhetsbegrepp för komplexvärderade funktioner för en komplex variabel: den komplexa differentierbarheten och differentierbarheten hos den tvådimensionella verkliga analysen ( verklig differentierbarhet ). Komplexdifferentierbara funktioner är också verkligt differentierbara, det motsatta är inte sant utan ytterligare krav.

Funktioner som är komplexdifferentierbara i närheten av en punkt kallas holomorf eller analytisk . Dessa har ett antal utmärkta egenskaper som motiverar det faktum att en egen teori huvudsakligen handlar om dem - funktionsteorin. Till exempel kan en funktion som är komplexdifferentierbar en gång automatiskt vara komplexdifferentierbar så ofta som krävs, vilket naturligtvis inte gäller i verkliga fall.

Systemet med Cauchy-Riemanns differentialekvationer erbjuder ett annat tillvägagångssätt för funktionsteori

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {x} u (x, y) & = \ partial _ {y} v (x, y), \\\ partial _ {y} u (x, y) & = - \ partial _ {x} v (x, y). \ slut {justerad}}}

En funktion är komplex differentierbar vid en punkt om och bara om den är verklig differentierbar där och uppfyller systemet med Cauchy-Riemanns differentiella ekvationer. Därför kunde man förstå funktionsteori som en gren av teorin om partiella differentialekvationer . Teorin är emellertid nu för omfattande och för mångsidig nätverksbunden med andra delområden för analys för att bli inbäddad i samband med partiella differentialekvationer.

Den komplexa differentierbarheten kan tolkas geometriskt som (lokal) approximabilitet genom orienteringssanna affinekartor, närmare bestämt genom sammankoppling av rotationer, förlängningar och översättningar. På motsvarande sätt är giltigheten av Cauchy-Riemanns differentialekvationer ekvivalent med det faktum att den associerade Jacobi-matrisen är representationsmatrisen för en rotationsförlängning. Holomorfa kartläggningar visar sig därför vara lokalt konforma (bortsett från härledningsnollarna), dvs riktigt mot vinkel och orientering.

Cauchys integrerade formel

Med en integrationsväg som inte kretsar kring några singulariteter av och för vars antal varv det gäller det ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {1} {wz}} \ mathrm {d} w,}

Cauchys integrerade formel gäller:

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {f (w)} {wz}} \ mathrm {d} w.}

Detta innebär att värdet på en komplex-differentierbar funktion i en domän bara beror på funktionsvärdena på domänens gräns.

Funktioner med singulariteter

Eftersom uppsättningen holomorfa funktioner är ganska liten, tar man också hänsyn till funktioner i funktionsteori som är holomorfa överallt utom i isolerade punkter . Dessa isolerade punkter kallas isolerade singulariteter . Om en funktion begränsas av en singularitet i ett grannskap kan funktionen fortsättas holomorf i singulariteten. Detta uttalande kallas Riemanns avdragsrätt . Är en singularitet av en funktion inte lyftbar, har den dock funktionen i en avtagbar singularitet, då talar man om en polordning k-th, där k är minimal vald. Om en funktion har isolerade poler och annars är holomorf kallas funktionen meromorf . Om singulariteten varken är lyftbar eller en pol, talar man om en väsentlig singularitet. Enligt Picards teorem kännetecknas funktioner med en väsentlig singularitet av det faktum att det högst finns ett undantagsvärde a, så att de i varje litet område av singulariteten får ett komplext numeriskt värde med högst undantaget a. ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {k} f (z)}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$

Eftersom du kan utveckla varje holomorf funktion till en power-serie kan du också utveckla funktioner med avtagbara singulariteter i power-serien. Meromorfiska funktioner kan utvidgas till en Laurent-serie som bara har begränsat många termer med negativa exponenter, och Laurent-serien av funktioner med väsentlig singularitet har en icke-avslutande expansion av makterna med negativa exponenter. Koefficienten för Laurent- expansionen kallas rest . Enligt restsatsen kan integraler över meromorfa funktioner och överfunktioner med väsentliga singulariteter endast bestämmas med hjälp av detta värde. Denna teorem är inte bara viktig i funktionsteorin, för med hjälp av detta uttalande kan man också bestämma integraler från verklig analys som, liksom den Gaussiska felintegralen, inte har en sluten representation av antiderivativet. ${\ displaystyle a _ {- 1}}$ ${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {- 1}}$

Andra viktiga ämnen och resultat

Viktiga resultat är också Riemann-kartläggningssatsen och algebras grundläggande teorem . Den senare säger att ett polynom i komplexa tal kan helt sönderdelas i linjära faktorer . För polynom i intervallet av reella tal är detta i allmänhet inte möjligt (med verkliga linjära faktorer).

Andra viktiga forskningsfokus är den analytiska fortsättningen av holomorfa och meromorfa funktioner till gränserna för deras domän och bortom.

Funktionsteori i flera komplexa variabler

Det finns också komplexa funktioner av flera komplexa variabler. Jämfört med verklig analys finns det grundläggande skillnader i komplex analys mellan funktioner för en och flera variabler. I teorin om holomorfiska funktioner hos flera variabler finns det ingen analog med Cauchys integrerade sats . Den identitet sats gäller endast i en försvagad form analytisk funktion av flera variabler. Cauchys integrerade formel kan dock generaliseras till flera variabler på ett mycket analogt sätt. I denna mer allmänna form kallas det också Bochner-Martinelli-formeln . Dessutom har meromorfiska funktioner av flera variabler inga isolerade singulariteter , vilket följer av Hartogs så kallade kulteori, och som en följd också inga isolerade nollor . Till och med Riemannian-kartläggningssatsen - en hög funktionstidsteori i en variabel - har ingen motsvarighet i högre dimensioner . Inte ens de två naturliga generaliseringarna av den endimensionella cirkulära skivan , enhetssfären och polycylindern , är biholomorfiskt ekvivalenta i flera dimensioner . En stor del av funktionsteorin för flera variabler behandlar fortsättningsfenomen (Riemanns levitionssats, Hartogs bollsats, Bochners teorem om rörregioner, Cartan-Thullen-teori). Funktionsteorin för flera komplexa variabler används till exempel i kvantfältsteori .

Komplex geometri

Komplex geometri är en gren av differentiell geometri som använder metoder från funktionsteori. I andra delområden av differentiell geometri, såsom differentiell topologi eller Riemannian-geometri , undersöks släta grenrör med tekniker från verklig analys. I komplex geometri undersöks emellertid grenrör med komplexa strukturer . Till skillnad från de släta grenrören är det på komplexa grenrör möjligt att definiera holomorfa kartor med hjälp av Dolbeault-operatören . Dessa grenrör undersöks sedan med hjälp av metoder för funktionsteori och algebraisk geometri . I föregående avsnitt förklarades att det finns stora skillnader mellan funktionsteorin för en variabel och funktionsteorin för flera variabler. Dessa skillnader återspeglas också i den komplexa geometrin. Teorin om Riemann-ytor är en gren av komplex geometri och handlar uteslutande om ytor med en komplex struktur, dvs. med endimensionella komplexa grenrör. Denna teori är rikare än teorin om n-dimensionella komplexa grenrör.

Funktionsteorimetoder inom andra matematiska delområden

En klassisk tillämpning av funktionsteori är i talteori . Om man använder metoder för funktionsteori där kallar man detta område för analytisk talteori . Ett viktigt resultat är till exempel sats för primtal .

Verkliga funktioner som kan utökas till en kraftserie är också verkliga delar av holomorfa funktioner. Detta gör att dessa funktioner kan utökas till den komplexa nivån. Genom denna förlängning kan man ofta hitta kopplingar och egenskaper hos funktioner som förblir dolda i det verkliga, till exempel Eulers identitet . Här Om att öppna upp många tillämpningar inom fysik (till exempel i kvantmekanik representerar vågfunktioner , liksom i den elektriska tvådimensionella strömmen - spänning - diagram ). Denna identitet är också grunden för den komplexa formen av Fourier-serien och för Fourier-transformationen . I många fall kan dessa beräknas med hjälp av metoder för funktionsteori.

För holomorfiska funktioner är de verkliga och imaginära delarna harmoniska funktioner , dvs. de uppfyller Laplace-ekvationen . Detta kopplar funktionsteorin med partiella differentialekvationer , båda områdena har regelbundet påverkat varandra.

Banintegralen för en holomorf funktion är oberoende av vägen. Detta var historiskt det första exemplet på homotopi-invarians . Många idéer om algebraisk topologi uppstod från denna aspekt av funktionsteorin , från Bernhard Riemann.

Funktionella medel spelar en viktig roll i teorin om komplexa Banach-algebraer , ett typiskt exempel är Gelfand-Mazur-satsen . Den holomorfa funktionella kalkylen tillåter tillämpningen av holomorfiska funktioner på element i en Banach-algebra, en holomorf funktionell kalkyl av flera variabler är också möjlig.

Se även

Viktiga meningar

Fler meningar

Hela funktioner

Meromorfa funktioner

litteratur

Lars Ahlfors : Komplex analys . McGraw-Hill, 1953.
Heinrich Behnke , Friedrich Sommer: Teori om en komplex variabels analytiska funktioner . 3. Upplaga. Springer, Berlin 1976, ISBN 978-3-540-07768-8 .
Ludwig Bieberbach : Lärobok om funktionsteorin . 2 volymer. Teubner, 1923.
Rolf Busam, Eberhard Freitag : Funktionsteori 1 . 4: e upplagan. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3 .
Heinrich Durege: Delar av teorin om funktionerna hos en komplex variabel kvantitet . 1-5 Utgåva. Teubner ( archive.org - 1882–1906).
Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionsteori . 8: e upplagan. Vieweg, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6 .
Joseph Anton Gmeiner, Otto Stolz : Introduktion till funktionsteori . Volym 1. och 2. Teubner, 1904.
Klaus Jänich : Funktionsteori . 6: e upplagan. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3 .
William Fogg Osgood : Lärobok för funktionsteori . Volymer 1.2.3. Teubner, 1923 ( hti.umich.edu ).
Alfred Pringsheim : Föreläsningar om funktionsteori . Teubner, 1925 (synpunkt Weierstrasse).
Reinhold Remmert , Georg Schumacher: Funktionsteori 1 . 5: e upplagan. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7 .
Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionsteori 2 . 3. Upplaga. Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-40432-5 .
Volker Scheidemann: Introduktion till komplex analys i flera variabler . Birkhäuser, Basel 2005, ISBN 3-7643-7490-X .
Ian Stewart , David Tall: Komplex analys . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3 .
Carl Johannes Thomae : Elementär teori om en komplex variabels analytiska funktioner . Nebert, Halle (Saale) 1898 ( resolver.library.cornell.edu ).

webb-länkar

Wikibooks: Introduktion till funktionsteori - inlärnings- och läromedel

Languages