Cauchys integrerade sats

Den Cauchys integralsats (efter Augustin Louis Cauchy ) är en av de viktigaste uppsättningar funktion teori . Det handlar om kurvintegraler för holomorfiska (komplexdifferentierbara på en öppen uppsättning) -funktioner. I grund och botten står det att två banor som förbinder samma punkter har samma vägintegral om funktionen är holomorf överallt mellan de två banorna. Satsen hämtar sin mening från det faktum att den används för att bevisa Cauchys integrerade formel och restsatsen .

Den första formuleringen av satsen är från 1814 , då Cauchy bevisade det för rektangulära områden. Han generaliserade detta under de närmaste åren, även om han tog den jordanska kurvan som en självklarhet. Tack vare Goursats lemma klarar sig moderna bevis utan detta djupa uttalande från topologin .

Meningen

Den integrerade satsen formulerades i flera versioner.

Cauchys integrerade sats för elementära domäner

Låt vara en elementär domän, dvs en domän där varje holomorf funktion har en antiderivativ . Stjärnregioner är till exempel elementära regioner . Cauchys integrerade sats säger nu att ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}$

för varje sluten kurva (var och ). För integralskylt med cirkel se notation för kurvintegraler av slutna kurvor . ${\ displaystyle \ gamma \ colon [a, b] \ till D}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a <b}$

Om det inte finns något elementärt område är påståendet fel. Till exempel är fältet holomorf, men försvinner inte över varje sluten kurva. Till exempel ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f \ colon z \ mapsto {\ tfrac {1} {z}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial U_ {r} (0)} {\ frac {1} {z}} \, \ mathrm {d} z = 2 \ pi \ mathrm {i} \ neq 0}$

för den enkelt korsade kantkurvan för en cirkulär skiva med en positiv radie . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle r}$

Cauchys integrerade teorem (homotopyversion)

Är öppen och två homotopiska kurvor är inåt mot varandra , då är det ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ colon [0,1] \ till D}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int \ limit _ {\ alpha} f (z) \, dz = \ int \ limits _ {\ beta} f (z) \, dz}$

för varje holomorf funktion . ${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {C}}$

Är ett enkelt anslutet område, sedan försvinner integralen efter homotopiesversion för varje sluten kurva d. H. är ett elementärt område . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$

Om du ser tillbaka på exemplet ovan märker du att det inte bara är anslutet. ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$

Cauchys integrerade teorem (homologiversion)

Om det finns ett område och en cykel i försvinner det ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int \ limit _ {\ Gamma} f (z) \, dz}$

för varje holomorf funktion om och endast om är null homolog i . ${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle D}$

Isolerade singulariteter

Antal varv på integrationsvägen

Låt det vara ett område, en inre punkt och holomorf. Låt vara en prickig stadsdel som är holomorf. Låt oss dessutom vara en helt sluten kurva , som kretsar exakt en gång med en positiv orientering, dvs. H. för cirkulationshastigheten gäller (är särskilt inte på ). Med den integrerade satsen har vi nu ${\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a \ i D}$${\ displaystyle f \ colon D \ setminus \ {a \} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle U: = U_ {r} (a) \ setminus \ {a \} \ subset D}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} _ {\ gamma} (a) = 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ oint _ {\ partial U} f (z) \, dz.}$

Genom att generalisera till valfritt antal cirkulationer får man ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ operatorname {ind} _ {\ gamma} (a) \ oint _ {\ partial U} f (z) \, dz.}$

Med hjälp av definitionen av restresultatet blir det till och med

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ operatorname {ind} _ {\ gamma} (a) \ operatorname {Res} _ {a} f (z).}$

Den återstående satsen är en generalisering av detta tillvägagångssätt till flera isolerade singulariteter och cykler.

exempel

Integralen är nedan med bestämd. Som integrationsväg Välj en cirkel med radie till , så ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial U (a)} {\ frac {1} {(za) ^ {n}}} \ mathrm {d} z}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ partial U (a) = \ partial U_ {r} (a)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle z = \ gamma (t) = a + re ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathrm {d} z = {\ frac {\ partial \ gamma} {\ partiell t}} \ mathrm {d} t = 2 \ pi ire ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ mathrm {d} t}$

När det används resulterar det i:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial U_ {r} (a)} {\ frac {1} {(za) ^ {n}}} \ mathrm {d} z & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {2 \ pi \ mathrm {i} re ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t}} {r ^ {n} e ^ {2 \ pi n \ mathrm {i } t}}} \ mathrm {d} t = 2 \ pi \ mathrm {i} r ^ {1-n} \ int _ {0} ^ {1} e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t ( 1 -n)} \ mathrm {d} t = {\ begin {cases} 2 \ pi \ mathrm {i} [t] _ {0} ^ {1} & {\ mbox {for}} \ n = 1 \ \ {\ frac {r ^ {1-n}} {1-n}} [e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t (1-n)}] _ {0} ^ {1} & {\ mbox {for}} \ n \ neq 1 \ end {cases}} \\ & = {\ begin {cases} 2 \ pi \ mathrm {i} & {\ mbox {for}} \ n = 1 \\ 0 & {\ mbox {for}} \ n \ neq 1 \ end {cases}} = 2 \ pi \ mathrm {i} \ delta _ {n, 1} \ end {align}}}$

Eftersom varje funktion som är holomorf på en cirkulär ring runt kan utvidgas till en Laurent-serie , resulterar integrationen runt : ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial U (a)} f (z) \ mathrm {d} z = \ oint _ {\ partial U (a)} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } c_ {n} (za) ^ {n} \ mathrm {d} z = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \ oint _ {\ partial U (a)} ( za) ^ {n} \ mathrm {d} z}$

Ovanstående resultat kan nu användas: ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial U_ {r} (a)} (za) ^ {n} \ mathrm {d} z = 2 \ pi \ mathrm {i} \ delta _ {n, -1}}$

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial U (a)} f (z) \ mathrm {d} z = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} 2 \ pi \ mathrm { i} \ delta _ {n, -1} = 2 \ pi \ mathrm {i} \, c _ {- 1} = 2 \ pi \ mathrm {i} \, {\ text {Res}} _ {a} (f)}$,

där expansionskoefficienten kallades rest . ${\ displaystyle c _ {- 1}}$

Härledning

Följande härledning, som förutsätter den kontinuerliga komplexa differentierbarheten, leder den komplexa integralen tillbaka till verkliga tvådimensionella integraler.

Var med och med . Gäller sedan integralen längs kurvan i det komplexa planet eller motsvarande linjeintegral längs kurvan ${\ displaystyle z = x + iy \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (z) = f (x, y) = u (x, y) + iv (x, y) \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle u, v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ gamma (z)}$

${\ displaystyle C (x, y) = {\ begin {pmatrix} \ Re (\ gamma (z)) \\\ Im (\ gamma (z)) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ Re (\ gamma (x, y)) \\\ Im (\ gamma (x, y)) \ end {pmatrix}}}$

i det riktiga planet ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ underset {\ gamma \ subset \ mathbb {C}} {\ int}} f (z) \, dz & = {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} f (x, y) \, (dx + idy) = {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix } f (x, y) \\ if (x, y) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix}} \\ & = {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} u (x, y) \\ - v (x, y) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix}} + i {\ underset {C \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} v (x, y) \\ u ( x, y) \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} dx \\ dy \ end {pmatrix}} \ end {aligned}}}$

Den komplexa kurvintegralen uttrycktes således av två verkliga kurvintegraler.

För en sluten kurva som gränsar till ett enkelt anslutet område S kan Gauss sats (här används kontinuiteten för partiella derivat) tillämpas ${\ displaystyle C = \ partial S}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ underset {\ gamma \ subset \ mathbb {C}} {\ oint}} f (z) \, dz & = {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} \ partial _ {x} \\\ partial _ {y} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} u \\ - v \ end {pmatrix}} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} {\ begin {pmatrix} \ partial _ {x} \\\ partial _ {y} \ slut {pmatrix}} \ cdot {\ start {pmatrix} v \\ u \ end {pmatrix}} dxdy \\ & = {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {\ partial _ {x} u- \ partial _ {y} v \ right \} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {\ partial _ {x} v + \ partial _ {y} u \ right \} dxdy \ end {align}}}$

eller alternativt Stokes-satsen

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ underset {\ gamma \ subset \ mathbb {C}} {\ oint}} f (z) \, dz & = {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left [{\ begin {pmatrix} \ partial _ {x} \\\ partial _ {y} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} u \ \ -v \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right] _ {3} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left [{\ börja {pmatrix} \ partial _ {x} \\\ partial _ {y} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} v \\ u \\ 0 \ end {pmatrix}} \ höger ] _ {3} dxdy \\ & = {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {- \ partial _ {x} v- \ partial _ {y } u \ right \} dxdy + i {\ underset {S \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} {\ int}} \ left \ {\ partial _ {x} u- \ partial _ {y} v \ höger \} dxdy \ slut {justerad}}}$

Om funktionen i S är komplex differentierbar måste Cauchy-Riemanns differentiella ekvationer vara där${\ displaystyle f (z)}$

${\ displaystyle \ partial _ {x} u = \ partial _ {y} v}$   och   ${\ displaystyle \ partial _ {x} v = - \ partial _ {y} u}$

håll, så att integranderna ovan (oavsett om det är i Gauss- eller Stokes-versionen) försvinner:

${\ displaystyle {\ underset {\ gamma} {\ oint}} f (z) \, dz = 0}$

Således bevisas Cauchys integrerade sats för holomorfiska funktioner på enkelt anslutna domäner.

Cauchys integrerade sats med Wirtinger-kalkyl och Stokes sats

Den Cauchy gralsats erhålls som lätt följd av uppsättningen av Stokes när Wirtinger derivaten kan ge till björn. För att bevisa integralsatsen, beräknas beräkningen av kurvintegralen som integrationen av den komplexa värderade differentiella formen

${\ displaystyle \ omega = f (z) dz}$

via den stängda kurvan som går runt det helt enkelt angränsande och avgränsade området . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C = \ partial S}$ ${\ displaystyle S}$

Den Wirtinger kalkyl säger nu att avvikelsen är representationen ${\ displaystyle df}$

${\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} dz + {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} {d {\ bar {z}} }}$

har vad omedelbart

${\ displaystyle d {\ omega} = df \ wedge dz = {{\ frac {\ partial f} {\ partial z}} dz} \ wedge dz + {{\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} {d {\ bar {z}}}} \ wedge dz}$

följer.

Först och främst är det grundläggande

${\ displaystyle dz \ wedge dz = 0}$

Dessutom betyder det antagna Holomorphiebedingung för efter Wirtinger-derivat inget mer än ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} = 0}$  ,

vad omedelbart

${\ displaystyle {{\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} {d {\ bar {z}}}} \ wedge dz = 0}$

innebär.

Så det övergripande resultatet är:

${\ displaystyle d {\ omega} = 0}$

och slutligen med hjälp av Stokes sats :

${\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {\ partial S} \ omega = \ int _ {S} \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {S} \ mathrm {0 } = 0}$

anteckning

Med hjälp av Goursats integrala lemma kan det visas att den komplexa differentierbarheten ensam - dvs utan ytterligare antagande om derivatens kontinuitet! - Cauchys integrerade teorem och sedan också förekomsten av alla högre derivat resultat. Detta tillvägagångssätt för Cauchys integrerade teorem kringgår Stokes sats och är att föredra ur en didaktisk synvinkel.

Slutsatser

Cauchys integralsats möjliggör omedelbara bevis på den fundamentala teorem av algebra , där det sägs att varje komplexa polynom sönderdelas till linjära faktorer över , dvs. Detta innebär att fältet med komplexa tal är algebraiskt stängt. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

litteratur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh : Analys. Volym 3: Funktionsteori, differentialekvationer. 6: e reviderade upplagan. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9 , s. 143, mening 4.7.3
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb : Funktionsteori. 7: e förbättrade upplagan. Vieweg, Braunschweig et al. 1994, ISBN 3-528-67247-1 , s. 57, kapitel 3, mening 1.4 ( Vieweg-studie. Avancerad kurs i matematik 47).
• Günter Bärwolff : Högre matematik för naturvetare och ingenjörer. 2: a upplagan, 1: a korrigerad omtryck. Spectrum Academic Publishing House, München a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9 .
• Klaus Jänich : Introduktion till funktionsteori . 2: a upplagan. Springer-Verlag, Berlin (bland annat) 1980, ISBN 3-540-10032-6 . 

Individuella bevis

1. ↑ Klaus Jänich : Introduktion till funktionsteori . 2: a upplagan. Springer-Verlag, Berlin (bland annat) 1980, ISBN 3-540-10032-6 , pp. 19-20 . 
2. ↑ Klaus Jänich : Introduktion till funktionsteori . 2: a upplagan. Springer-Verlag, Berlin (bland annat) 1980, ISBN 3-540-10032-6 , pp. 15, 20 . 
3. ↑ Klaus Jänich : Introduktion till funktionsteori . 2: a upplagan. Springer-Verlag, Berlin (bland annat) 1980, ISBN 3-540-10032-6 , pp. 16, 20 .