Livränte lån

Återbetalning och andel av en livränta (100 000 €, hela löptiden med 2,5% ränta). Som den streckade gröna linjen visar förblir livränta densamma under hela perioden. Alternativt kan detta också bestämmas genom att lägga till de blå (motsvarar räntan) och de röda staplarna (motsvarar återbetalningen) för varje år.

Ett annuitetslån är ett återbetalningslån med konstanta återbetalningsbelopp (avbetalningar). Till skillnad från avbetalningslånet förblir det avbetalningsbelopp detsamma under hela löptiden (förutsatt att en fast ränteperiod har avtalats över hela löptiden). Livränta eller kort livränta består av en ränta - och en återbetalningskomponent tillsammans. Eftersom en del av återstående skuld återbetalas för varje delbetalning minskas räntedelen till förmån för återbetalningsdelen. I slutet av löptiden återbetalas låneskulden helt.

Räntan fastställs för en avtalsenlig period när ett livräntelån ingås. Denna period kan också sträcka sig över hela lånetiden. Den återbetalning bör uppgå till minst 1 procent av (resterande) lånebeloppet Det ökar sedan när antalet avbetalningar går upp till teoretiskt sett 100% av återstående lånebelopp under det senaste året.

Bestämning av livränta

Beloppet på (ett) årligt livränta på ett lån med lånebeloppet till en räntesats på (t.ex. 3 procent ) och en löptid kan beräknas med hjälp av ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ Rightarrow i = 0 {,} 03}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle R = S_ {0} \ cdot {\ frac {(1 + i) ^ {n} \ cdot i} {(1 + i) ^ {n} -1}} = S_ {0} \ cdot { \ frac {q ^ {n} \ cdot i} {q ^ {n} -1}}}$

beräkna, var . kallas återvinnings- eller livräntefaktorn ( , eller ) och är lika med ömsesidigheten av pensions nuvärdesfaktorn . ${\ displaystyle q = 1 + i}$${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} \ cdot i} {q ^ {n} -1}}}$${\ displaystyle WGF_ {n, i} ^ {n}}$${\ displaystyle ANF_ {n, i} ^ {n}}$

Livränteformeln i ord säger:

${\ displaystyle \ mathrm {Annuit {\ ddot {a}} t} = {\ text {Lånbelopp}} \ cdot {\ frac {(1 + {\ text {Ränta}}) ^ {\ text {Term} } \ cdot {\ text {Ränta}}} {(1 + {\ text {Ränta}}) ^ {\ text {Term}} - 1}}}$

Exempel med en räntesats på 3% och en löptid på 5 år:

${\ displaystyle \ mathrm {Annuit {\ ddot {a}} t} = {\ text {Lånbelopp}} \ cdot {\ frac {1 {,} 03 ^ {5} \ cdot 0 {,} 03} {1 {,} 03 ^ {5} -1}}}$

Bestämning av körtiden

Om du vill beräkna gångtid som en funktion av , och du bara måste lösa ovanstående formel för livränta efter . Man får här ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n = - {\ frac {\ ln (1 - {\ frac {i \ cdot S_ {0}} {R}})} {\ ln (q)}}.}$

Om delbetalningarna betalas flera gånger om året är formeln något annorlunda

${\ displaystyle n = {\ frac {\ ln (1 + {\ frac {i} {t}})} {\ ln (1 + {\ frac {i} {m}})}}}$

för det totala antalet avbetalningar (inte år). Detta motsvarar antalet avbetalningar per år och är den så kallade initiala återbetalningen, vilket indikerar minskningstakten på lånet efter den första avbetalningen. Det härrör från formeln ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle 1-t = {\ frac {S_ {0} (1 + i) -R} {S_ {0}}}}$,

från vad

${\ displaystyle t = {\ frac {R} {S_ {0}}} - i}$

resultat.

Beräkningarna gäller en antagen räntesats som är densamma under hela löptiden. I praktiken kan den faktiska körtiden därför skilja sig avsevärt från den som beräknats i förväg.

Bestämning av återbetalningsbetalningarna

När man analyserar en återbetalningsplan kan man se att återbetalningsbetalningarna bildar en geometrisk sekvens med räntefaktorn : ${\ displaystyle T_ {t}}$ ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle T_ {t} = T_ {1} \ cdot q ^ {t-1}}$

Återbetalningsbetalningarna för alla perioder kan således spåras tillbaka till den första återbetalningsbetalningen . Detta kan enkelt bestämmas med hjälp av två alternativ: ${\ displaystyle T_ {1}}$

Om livränta är känd ${\ displaystyle R}$	Om körtiden är känd ${\ displaystyle n}$
Livränta definieras som summan av återbetalningsavbetalningen och räntan, gäller därför för den första avbetalningen: var ${\ displaystyle \! \, T_ {1} = R-Z_ {1},}$ ${\ displaystyle Z_ {1} = S_ {0} \ cdot i}$	Summan av alla återbetalningsbetalningar över löptiden måste motsvara lånebeloppet , dvs.${\ displaystyle T_ {t}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle S_ {0}}$ ${\ displaystyle S_ {0} = \ sum _ {t = 1} ^ {n} T_ {t} = \ sum _ {t = 1} ^ {n} T_ {1} \ cdot q ^ {t-1} = T_ {1} \ sum _ {t = 1} ^ {n} q ^ {t-1}}$ Summan kan konverteras till följande stängda uttryck med hjälp av sumformeln för geometriska serier : Efter lösning, resulterar det äntligen ${\ displaystyle S_ {0} = T_ {1} {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}}}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {1} = S_ {0} \ cdot {\ frac {q-1} {q ^ {n} -1}}}$
Du kan nu ersätta i ovanstående formel med respektive uttryck: ${\ displaystyle T_ {1}}$
${\ displaystyle T_ {t} = (R-S_ {0} \ cdot i) q ^ {t-1}}$	${\ displaystyle T_ {t} = S_ {0} \ cdot {\ frac {q-1} {q ^ {n} -1}} q ^ {t-1}}$

Fler formler

Återstående skuld per period kan beräknas med ${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} \ cdot {\ frac {q ^ {n} -q ^ {t}} {q ^ {n} -1}}.}$

Om livränta är känd istället för löptiden kan den återstående skulden beräknas enligt perioder med: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} \ cdot q ^ {t} -R \ cdot {\ frac {q ^ {t} -1} {i}}.}$

Räntebetalningen för den femte perioden ( ) är resultatet av återstående skuld vid slutet av föregående period multiplicerat med räntan : ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle Z_ {t}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle Z_ {t} = S_ {t-1} \ cdot i = S_ {0} \ cdot {\ frac {q ^ {n} -q ^ {t-1}} {q ^ {n} -1 }} \ cdot i.}$

Summan av de räntebetalningar som gjorts per period är också intressant : ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle Z_ {cum, t} = \ sum _ {x = 1} ^ {t} Z_ {x} = S_ {0} \ left (t {\ frac {q-1} {q ^ {n} - 1}} q ^ {n} - {\ frac {q ^ {t} -1} {q ^ {n} -1}} \ höger) = t \ cdot R- \ vänster (R-S_ {0} \ cdot i \ right) \ cdot {\ frac {q ^ {t} -1} {q-1}}.}$

Detta resulterar i att summan av de räntebetalningar som ska göras tills livräntslånet återbetalas ( perioder): ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle Z_ {cum, n} = \ sum _ {x = 1} ^ {n} Z_ {x} = S_ {0} \ left (n {\ frac {q-1} {q ^ {n} - 1}} q ^ {n} -1 \ höger).}$

Återbetalningsbetalningen under -th perioden ( ) ges av skillnaden mellan livränta och räntebetalningen : ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T_ {t}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle Z_ {t}}$

${\ displaystyle T_ {t} = R-Z_ {t} = S_ {0} \ cdot {\ frac {q ^ {t-1}} {q ^ {n} -1}} \ cdot i.}$

Med återbetalning av livränta ökar återbetalningen exponentiellt .

Livränteberäkning av bankerna

När man använder ovanstående formler hittar man ofta skillnader i jämförelse med erbjudanden från en bank eller med onlineanniträknare. Detta avsnitt beskriver hur dessa skillnader uppstår. För att beskriva detta så tydligt som möjligt begränsar vi oss till fallet med månatliga avbetalningar. Alla andra fall såsom kvartals- eller halvårsavbetalningar ska beaktas analogt. Följande tabell visar alla namn på de storlekar som används i följande.

beteckning	betydelse	enhet
${\ displaystyle S}$	Lånebelopp	EUR
${\ displaystyle R}$	Årlig ränta	EUR
${\ displaystyle i}$	Årsränta	-
${\ displaystyle t}$	Första återbetalningen	-
${\ displaystyle n}$	körtid	År
${\ displaystyle S_ {k}}$	Återstående skuld efter månader${\ displaystyle k}$	EUR
${\ displaystyle r}$	Månadsavgift	EUR
${\ displaystyle i _ {\ text {M}}}$	Månadsränta	-
${\ displaystyle {\ widehat {i}}}$	Nominell ränta enligt bankernas definition	-
${\ displaystyle {\ widehat {t}}}$	Initial återbetalning enligt bankernas definition	-
${\ displaystyle {\ widehat {R}}}$	Årlig ränta enligt bankernas definition	EUR

Avvikelse från ränta, avbetalning och initial återbetalning

Bankerna annonserar ofta för en ränta, den så kallade nominella räntan. Den nominella räntan på bankerna motsvarar dock endast den faktiska räntan om avbetalningarna inte betalas under året. Vid beräkning av årlig till månatlig ränta delar banken årskursen med 12. På så sätt försummar den att få årsräntan tidigare under året. Detta ökar den faktiska räntan jämfört med bankens nominella ränta. Vi betecknar nu värdena som de bestäms av banken med en hatt om de inte matchar de faktiska värdena. De värden som matchar i båda fallen är lånebeloppet , den månatliga räntan och den månatliga avbetalningen . Banken antar lånebeloppet , den årliga räntan och den första återbetalningen . Hon beräknar årssatsen${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ widehat {\}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle i _ {\ text {M}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ widehat {i}}}$${\ displaystyle {\ widehat {t}}}$${\ displaystyle {\ widehat {R}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {R}} & = ({\ widehat {i}} + {\ widehat {t}}) S \ end {align}}}$

och månadsavgiften

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ frac {\ widehat {R}} {12}}. \ end {align}}}$

Från detta beräknar vi nu de faktiska värdena. Först och främst kommer de månatliga räntorna från

${\ displaystyle {\ begin {align} i _ {\ text {M}} & = {\ frac {\ widehat {i}} {12}}. \ end {align}}}$

Det faktiska intresset är resultatet av ekvationen ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (1 + i) & = \ left (1 + i _ {\ text {M}} \ right) ^ {12} \\ i & = \ left (1 + i _ { \ text {M}} \ höger) ^ {12} -1. \ Slut {justerad}}}$

Enligt prisindikeringsförordningen måste denna faktiska ränta beaktas och visas i den effektiva årliga räntan . Om det inte finns några ytterligare avgifter motsvarar det april. För den faktiska årliga avgiften gäller ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {align} R & = {\ frac {i} {i _ {\ text {M}}}} r. \ end {align}}}$

Den faktiska räntan och den faktiska årliga avbetalningen är därför högre än de som banken visar när de betalar månadsbetalningar. För små avvikelser finns det små avvikelser, för stora men mycket stora avvikelser, som följande exempel visar: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$

• Vid resultat . Den faktiska räntan är 0,5% högre än bankens nominella ränta.${\ displaystyle {\ widehat {i}} = 0 {,} 01}$${\ displaystyle i = 0 {,} 01005}$
• Vid resultat . Den faktiska räntan är 34025% högre än bankens nominella ränta.${\ displaystyle {\ widehat {i}} = 12}$${\ displaystyle i = 4095}$

Nu använder vi kända formler för att bestämma den faktiska initiala återbetalningen (fortfarande relaterad till året) och löptiden i år. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} t & = {\ frac {R} {S}} - i \\ n & = {\ frac {\ ln \ left (1 + {\ frac {i} {t}} \ höger)} {\ ln (1 + i)}}. \ slut {justerad}}}$

En återbetalningsplan baserad på månadsstorlek är därför korrekt, medan en återbetalningsplan baserad på bankens årliga storlek inte skulle vara korrekt om man betalade överens om månatliga avbetalningar på det beskrivna sättet.

Beräkning av löptiden och den sista delen

Termen är vanligtvis ett krokigt tal. I praktiken beräknas löptiden i månader, avrundas och en lägre ränta överenskommits under den senaste månaden. Den första återbetalningen under den första månaden definieras av ${\ displaystyle t _ {\ text {M}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 1-t _ {\ text {M}} & = {\ frac {S (1 + i _ {\ text {M}}) - r} {S}} \\\ Longrightarrow t_ {\ text {M}} & = {\ frac {r} {S}} - i _ {\ text {M}}. \ Slut {justerad}}}$

Låt det vara termen i månader. Därefter den avrundade löptiden i månader, som anger hur många hela månadsbetalningar som måste betalas. Den faktiska perioden i månader avrundas uppåt, varvid den sista delen vanligtvis är lägre. Vi beräknar nu den sista månadsbetalningen. Återstående skuld före sista delbetalningen är ${\ displaystyle m = 12n}$${\ displaystyle \ lfloor m \ rfloor}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle S _ {\ lfloor m \ rfloor}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} S _ {\ lfloor m \ rfloor} & = \ left (S- \ left ({\ frac {1} {i _ {\ text {M}}}} - {\ frac {1} {i _ {\ text {M}} (1 + i _ {\ text {M}}) ^ {\ lfloor m \ rfloor}}} \ höger) r \ höger) (1 + i _ {\ text {M}}) ^ {\ lfloor m \ rfloor} \\ & = \ left (S - {\ frac {r} {i _ {\ text {M}}}} \ right) (1 + i _ { \ text {M}}) ^ {\ lfloor m \ rfloor} + {\ frac {r} {i _ {\ text {M}}}} \ end {align}}}$

och den sista delen kan därför bestämmas via

${\ displaystyle {\ begin {align} r _ {\ lceil m \ rceil} & = S _ {\ lfloor m \ rfloor} (1 + i _ {\ text {M}}). \ end {align}}}$

Dessutom gäller följande användbara relationer:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {i} {t}} & = {\ frac {i _ {\ text {M}}} {t _ {\ text {M}}}} = {\ frac {\ widehat {i}} {\ widehat {t}}} \\ {\ frac {R} {i}} & = {\ frac {r} {i _ {\ text {M}}}} = { \ frac {\ widehat {R}} {\ widehat {i}}} \\ (1 + i) ^ {n} & = 1 + {\ frac {i} {t}} \\ m & = {\ frac {\ ln \ left (1 + {\ frac {i _ {\ text {M}}} {t _ {\ text {M}}}} \ höger)} {\ ln (1 + i _ {\ text { M}})}} = {\ frac {\ ln \ left (1 + {\ frac {i} {t}} \ right)} {\ ln (1 + i) ^ {\ frac {1} {12} }}} = {\ frac {\ ln \ left (1 + {\ frac {i} {t}} \ right)} {{\ frac {1} {12}} \ ln (1 + i)}} = 12 {\ frac {\ ln \ left (1 + {\ frac {i} {t}} \ right)} {\ ln (1 + i)}} = 12n. \ End {aligned}}}$

Om du använder för att beteckna antalet delbetalningar under året, blir detta generellt för perioden i år: ${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ begin {align} n & = \ mu {\ frac {\ ln \ left (1 + {\ frac {\ widehat {i}} {\ widehat {t}}} \ right)} {\ ln (1 + {\ frac {\ widehat {i}} {\ mu}})}. \ Avsluta {justerad}}}$

Årlig återbetalning av livränta

Formlerna för återbetalning av livränta under året kan också användas för att beräkna lånefall där livränta betalas flera gånger om året, till exempel månadsvis eller kvartalsvis, istället för bara en gång i slutet av året.

Om antalet betalningsdatum är per år betraktas de första betalningarna inom året vanligtvis bara som återbetalningar, dvs. de innehåller ännu inte någon räntekomponent som bara läggs till i sin helhet till den sista betalningen i slutet av året för hela föregående år. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m-1}$

Beloppet för de enskilda livräntorna som ska betalas årligen beräknas enligt formlerna för den linjära räntan för villkor som är mindre än ett år från den årliga livränta, som i sin tur är produkten av lånebeloppet och livräntefaktorn , som den är fallet med den årliga återbetalningen av livränta, dvs. en livränta som alltid är i efterskott . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$

Är den effektiva räntan p. a. och lånets totala löptid i år, med förskottsbetalning i delbetalningar ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {R} {m + {\ frac {i} {2}} \ cdot (m + 1)}} = S_ {0} \ cdot {\ frac {(1 + i) ^ {n} \ cdot i} {(1 + i) ^ {n} -1}} \ / \ (m + {\ frac {i} {2}} \ cdot (m + 1))}$.

Vid efterföljande delbetalningar gäller dock följande:

${\ displaystyle r = {\ frac {R} {m + {\ frac {i} {2}} \ cdot (m-1)}} = S_ {0} \ cdot {\ frac {(1 + i) ^ {n} \ cdot i} {(1 + i) ^ {n} -1}} \ / \ (m + {\ frac {i} {2}} \ cdot (m-1))}$

Om den räntefaktor som långivaren bygger på ska bestämmas utifrån vad som kan vara av intresse för jämförelsen av olika lånerbjudanden, resulterar detta i en efterföljande betalning av delbetalningarna efter att den sistnämnda formeln omvandlats till det maximala av lösningarna av följande polynom (detta alltid som en triviell lösning har värdet ): ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle q = 1}$

${\ displaystyle (S_ {0} -r \ cdot {\ frac {m-1} {2}}) \ cdot q ^ {n + 1} - (S_ {0} + r \ cdot {\ frac {m + 1} {2}}) \ cdot q ^ {n} + r \ cdot {\ frac {m-1} {2}} \ cdot q + r \ cdot {\ frac {m + 1} {2}} = 0}$.

Procentuell avskrivning

En särskild form av återbetalning av livränta är den så kallade. Procentuell livränta, där beloppet för den första återbetalningsbetalningen inte definieras som skillnaden mellan livränta och debetränta, utan snarare - oavsett den senare - som en fast procentsats av lånebeloppet.

applikationsområden

Privata lån från banker ges ofta som annuitetslån, eftersom den konstanta räntan ger en bra beräkningsgrund för kunden.

Livräntelånet är en form av fastighetsfinansiering . I Tyskland är räntan vanligtvis fast i fem, tio eller femton år. Avtalet kan sedan sägas upp eller en ny räntesats för fortsättningen av avtalet måste förhandlas fram.

Alternativt kan man komma överens om en rörlig ränta som uppdateras regelbundet, till exempel beroende på EURIBOR eller annat index. Ett annat alternativ är att ersätta livräntorna med konstanta månatliga betalningar, en tolftedel av den nominella årliga räntan. Denna kombination (månatlig återbetalning med konstanta avbetalningar, som dock kan påverkas av ränteförändringar varje år) är den vanligaste formen i Spanien.

Se även inteckning och markavgift .

Jämförelse med andra typer av lån

Återbetalningsplaner för de tre vanligaste lånetyperna: Kapital: 100 000 euro, ränta: 3,00% pa, löptid: 5 år, ränta och återbetalning årligen i efterskott

Individuella bevis

1. ↑ Bernd Luderer, Uwe Würker; Tillträde till företagsmatematik ; 9: e upplagan, Springer-Verlag, 2014; Pp. 112-113.
2. ^ Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft; Matematik 2 för icke-matematiker ; Oldenbourg Verlag, 2005, s. 114.