Bana parabel
Den bana parabel är banan att ett organ beskriver när de kastas i en homogen gravitationsfält om inverkan av luftmotståndet försummas. Det lutande kastet är regeln - vertikalt och horisontellt kast är exceptionella fall. Banparabeln är alltid öppen nedåt; den högsta punkten på banan är toppen av den parabel .
På jorden är gravitationsfältet ungefär homogent endast på små kastavstånd. Då är den paraboliska formen en bra approximation. Till en bättre approximation följer kroppen en elliptisk Kepler-bana .
Den ballistiska kurvan är den kurva som avviker från den ideala banparabeln under påverkan av luftmotstånd . Banparabolen är idealiseringen av den ballistiska banan.
Bana parabel utan luftmotstånd
Anledningen till den paraboliska formen är det faktum att endast tyngdkraften verkar på kroppen under flygningen . Det finns ett fritt fall . För beräkningen delas initialhastigheten in i de ömsesidigt vinkelräta komponenterna och som kan behandlas oberoende av varandra. Den horisontella komponenten är helt oberoende av den vertikala komponenten, som är riktad uppåt. Detta har följande konsekvenser (vara utgångspunkten ):
- Enligt Newtons första lag flyger kroppen i horisontell riktning med konstant hastighet , eftersom ingen kraft verkar på den i denna riktning; vid konstant hastighet ändras således avståndet linjärt med tiden. Formeln gäller för detta avstånd:
- I vertikal riktning orsakar tyngdkraften en konstant nedåtriktad acceleration , nämligen accelerationen på grund av tyngdkraften . Det gäller följande den hastighet :
- Platsen är resultatet av detta genom integration över tiden:
Matematisk beskrivning
Kroppen kastas snett uppåt med en hastighet i vinkeln . Därefter gäller följande för de hastighetskomponenter som kasthastigheten består av genom linjär överlagring (försummande luftmotstånd):
- horisontell:
- vertikal:
Detta resulterar i följande för och placera komponenter:
- horisontell: horisontell del av starthastigheten:
och
- vertikal: vertikal del av starthastigheten plus hastighetsförändring på grund av konstant acceleration:
Den vektor ekvationen är då:
Den explicit sökväg ekvationen i koordinatmodell (genom att lösa upp och sedan i bruk) är:
Betydelsen av de andra variablerna: är tiden, är accelerationen på grund av tyngdkraften .
Räckvidd
Området definieras vanligtvis av det faktum att banparabeln når starthöjden igen, dvs. h.: . Med detta kan man lösa rörelseekvationen och få:
Startvinkel för maximal räckvidd
Eftersom sinusfunktionen har sitt största värde uppnås det största intervallet för vid den initiala höjden .
Maximal räckvidd med en initialhöjd
Formeln med arccosine är resultatet av representationen för arccosine, och för den sista representationen delas argumenten för de två föregående formlerna av varandra. Starthöjden måste vara så långt under målet att detta bara kan nås med ett vertikalt kast med kastavståndet , så:
Det maximala horisontella kastet beroende på fallhöjden är för en flygtid på .
Genom att ordna om ekvationen resulterar formeln för maximalt kastavstånd i minsta kasthastighet för en given kasthöjd och kastavstånd samt en optimal kastvinkel och en flygtid på .
De redan kända formlerna resultat för.
Övre och nedre vinkelgrupp
Om ett mål ska nås i samma höjd på ett visst avstånd med ett kast , finns det antingen inga, en eller två lösningar för denna uppgift, beroende på initialhastigheten . Det första fallet inträffar när det maximala intervallet är mindre än avståndet till målet; det andra fallet, när målet bara kan nås med ett kast på 45 °. För ännu högre initialhastigheter finns det alltid två vinklar vid vilka banparabolen leder båda gånger till målet; det här är de två positiva vinklarna som utgör ekvationen
uppfylla. Därigenom är exakt en lösning alltid större än 45 °, den andra mindre än 45 °.
På motsvarande sätt, i ballistik, kallas lösningar med en vinkel över 45 ° den övre vinkelgruppen , de andra som den nedre vinkelgruppen. I artillerivaror kallas högvinkeleld med en mortel eller av en platt eld med en pistol eller valfritt båda med en haubits .
exempel
För ett kast (eller skott) på ett mål 100 m bort i samma höjd måste starthastigheten under de vanliga idealantagandena (ingen friktion, acceleration på grund av tyngdkraften på 9,81 m / s 2 ) vara minst 31 m / s. Med detta värde för starthastigheten kan det uppnås med ett kast på 45 ° och endast genom att göra detta. Det finns då alltid två lösningar för varje högre hastighetsvärde. Till exempel, med en initialhastighet på 40 m / s, kan målet nås med en vinkel på 18,9 ° såväl som 71,1 °; flygtiden är kortare för lösningar från den nedre vinkelgruppen, i exemplet är den cirka 2,6 s jämfört med 7,7 s för den andra lösningen.
Nå vid starthöjd som inte är noll
Den allmänna formeln gäller
för kastet . Det maximala intervallet och tillhörande startvinkel kan också bestämmas från den omslutande banparabeln utan att använda derivat . För är tvärtom , för följer .
Vertex
Spetsen uppnås i det ögonblick som den vertikala hastigheten är noll, dvs. det vill säga när en rörelse uppåt till den punkten slutar och en nedåtgående rörelse börjar. Vid toppunkten omvandlades hela den kinetiska energin (i vertikal riktning) till potentiell energi .
Spetsen kan beräknas eftersom kullen har en parabolform och toppunkten ligger exakt i mitten mellan nollorna och . Så toppunkten har koordinaten . Den koordinaten erhålls från rörelseekvationen.
När det är löst har toppunktet följande koordinater:
Förklaring med hjälp av ett exempel
Skulle varken tyngdkraften fortfarande ha luftmotstånd , skulle kroppen vara tröghetsprincipen som följer enhetligt i samma riktning och med samma hastighet som i början fortsätta att flyga (röd pil).
Men jordens gravitationsfält böjer kroppen nedåt - ökar kvadratiskt över tiden :
- Efter 1 s är den faktiska banan knappt 5 m lägre än tangenten vid startpunkten (släpppunkt),
- efter 2 s fyra gånger (ca 20 m),
- efter 3 s 45 m också
- efter 4 s 80 m och så vidare (acceleration på grund av tyngdkraften avrundad från 9,81 till 10 m / s²).
Vertikalt kast
Det vertikala kastet är ett viktigt specialfall för kastparabolen. Det kan kastas i två olika riktningar - uppåt (mot tyngdacceleration ) och nedåt (med tyngdacceleration).
Det vertikala kastet uppåt motsvarar en ostörd superposition av rak, enhetlig rörelse uppåt och fritt fall nedåt. Om du representerar detta i en grafik får du en symmetrisk parabel , vars högsta punkt motsvarar kroppens vändpunkt (toppunkt). Följande formler resulterar:
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Belvedere_szokokut_4.jpg/170px-Belvedere_szokokut_4.jpg)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Belvedere_szokokut_5.jpg/170px-Belvedere_szokokut_5.jpg)
- Maximal kasthöjd
beräknas genom att ställa in hastigheten , sedan först
- Stigtid
beräknas och bestäms slutligen med hjälp av ekvationen nedan.
Det resulterar:
- Den varaktighet kastet är beräknad genom att i ekvationen nedan och sedan lösa andragradsekvation för . Det är dock lättare att bestämma kasttiden genom att fördubbla den senare, eftersom falltiden är densamma som klättringstiden .
Det vertikala nedåtkastet motsvarar en överlagring av rakt nedåtgående rörelse och fritt fall nedåt. Följande formler resulterar:
Horisontellt kast
Ett annat speciellt fall för vilket ekvationerna är förenklade är det horisontella kastet.
Omslutande banparabel
Om startvinkeln ändras vid en given starthastighet (och starthöjd ) når de olika banparabolorna olika punkter i (vertikalt) banplan. Räckvidden för dessa banparabolor är begränsad av den omslutande banparabolen.
Ekvationen av kuvertkurvan för banparabolorna är:
Det motsvarar därför ett horisontellt kast ( ) från den maximala uppnåbara kasthöjden för det vertikala kastet med dess initialhastighet .
Kastavstånd vid kastning i en sluttning
Du kan också bestämma vinkeln för det maximala intervallet för kast på lutande plan.
Banparabel med luftmotstånd
De luftmotståndsbromsar proportionellt . Vid låga hastigheter och kompakta missiler bibehålls den paraboliska formen ganska bra, vilket framgår av banan för en idealiserad golfboll utan lyfteffekter från snurr och gropar. Vid en initial hastighet på 65 m / s flyger den cirka 200 meter på en nästan symmetrisk bana. Hur starkt luftmotståndet verkar på en fjärrkontroll visar emellertid också intilliggande skiss för 65 m / s. I slutet av banan faller bollen nästan vertikalt till marken - efter bara 10 till 15 meter. Det maximala flygavståndet uppnås inte heller vid 45 ° utan i en startvinkel på 20 °. Vid lägre initialhastigheter ökar den och närmar sig 45 ° parabolen.
När det gäller missiler med kort förbränningstid (kortdistansmissiler, luftfartygsmissiler) liknar flygbanans form den sneda kroppen på en snygg kropp. Det intervall bestäms sedan genom den initiala hastigheten och höjden på vertex, vilket i sin tur beror på tändvinkeln.
Parabolisk flygning
Den paraboliska flygningen är en flygmanövrer, som vanligtvis utförs på hög höjd, där ett plan beskriver en ungefär halvparabolisk banminut. Den används för att träna astronauter i tyngdlöshet och för experiment med minskad gravitation, så kallad mikrogravitation .
webb-länkar
- Interaktiv applet för att illustrera det snedställda kastet
- Video: Tvådimensionell rörelse och principen om ostörd superposition . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2019, tillgänglig av Technical Information Library (TIB), doi : 10.5446 / 40456 .
Individuella bevis
- Kos Peter Kosmol: Optimering och tillnärmning . Walter de Gruyter, 2010, s. 215 ( begränsad förhandsgranskning i Google Book-sökning).
- Rich Ulrich-människor: Fysik och dess tillämpningar inom teknik och miljö . Hanser Verlag, 2004, s. 22 ( begränsad förhandsgranskning i Google Book-sökning).
- ↑ Parabolen är axiellt symmetrisk mot -axeln.