Birch och Swinnerton-Dyer gissningar

Den förmodan av Björk och Swinnerton-Dyer är en av de viktigaste olösta problemen i modern matematik och gör uttalanden om talteori på elliptiska kurvor .

formulering

Antagandet säger något om rankningen av elliptiska kurvor . Elliptiska kurvor ges av ekvationer av den tredje graden i x och andra graden i y, vars ”diskriminerande” D inte försvinner. Rationella punkter kan läggas till på dessa kurvor med hjälp av en "secant tangentmetod" undersökt av Henri Poincaré 1901 så att resultatet återigen blir en rationell punkt på kurvan. Denna "tillägg" definieras geometriskt enligt följande: en rak linje dras genom två rationella punkter P och Q. Om den raka linjen skär kurvan vid en tredje punkt reflekteras detta på x-axeln, som återigen ger en punkt på kurvan, eftersom detta är symmetriskt till x-axeln. Den sålunda erhållna rationella punkten är summan P + Q. Punkt vid oändligheten (projektivt plan) fungerar som det neutrala elementet "0". Spegelpunkten mot P på kurvan är dess inversa. Om den raka linjen genom P, Q inte har en tredje skärningspunkt på kurvan, används punkten vid oändlighet för detta och tillägget är: P + 0 = P. Man kan också bilda P + P genom att ta skärningspunkten mellan tangenten i P som den andra punkten i additionskonstruktionen. Denna konstruktion är baserad på det faktum att elliptiska kurvor har Riemann-ytor i form av en torus (kön 1), är geometriska gitter och därmed är tillsatsgrupper, vilket också överförs till deras beteende i rationella tal eller ändliga fält. Förekomsten av en sådan underlig typ av tillägg utnyttjas också i de så kallade "Elliptic-curve" -primetesterna, HW Lenstras "Elliptic-curve" -faktoriseringsmetod och "public-key" -krypteringsmetod i kryptografi . För detta behöver man kurvor med så många rationella punkter som möjligt och utnyttjar svårigheten att hitta startdata för tillsatsgenerering av stora rationella punkter i kurvan. Se även Elliptic Curve Cryptosystems .

Om du lägger till en rationell startpunkt P ₀ till dig själv får du en sekvens av poäng:

${\ displaystyle P_ {1} = P_ {0} + P_ {0}}$

${\ displaystyle P_ {2} = P_ {0} + P_ {0} + P_ {0}}$

${\ displaystyle P_ {3} = P_ {0} + P_ {0} + P_ {0} + P_ {0}}$

och så vidare.

Nu kan två fall uppstå - naturligtvis också på samma kurva vid olika rationella punkter:

1. Man rör sig i en cirkel, d.v.s. H. varje P _n är återigen identisk med utgångspunkten. I detta fall bildar poängen en begränsad grupp. Motsvarande punkter kallas torsionspunkter , den associerade gruppen kallas torsionsgrupp .
2. Du fortsätter att komma till nya punkter, som alla är på kurvan. I det här fallet skulle gruppen vara isomorf i förhållande till r-vikningsprodukten av heltal, beroende på hur många utgångspunkter P0 _är nödvändiga för att generera de rationella punkterna. Antalet av dessa utgångspunkter kallas kurvens " rang " r.

I sin antagande ger Bryan Birch och Peter Swinnerton-Dyer en metod för att bestämma rankningen av den elliptiska kurvan från ekvationen. Det härrör från beaktandet av L-funktionen L (E, s), som är beroende av den undersökta elliptiska kurvan E och en komplex variabel s. L-funktionen definieras analogt med Riemann zeta-funktionen, bara nu går vi från primtalsidan - dvs. från Euler-produkten - och dessutom kodar i serien antalet lösningar av den elliptiska kurvan modulo ett primtal p:

${\ displaystyle L (E, s) = \ prod _ {p} {\ frac {1} {(1-a_ {p} p ^ {- s} + p ^ {(1-2s)})}}$

med antalet lösningar mod p . L (E, s) har formen av en korrekt zeta-funktionsserie (som summan över de naturliga talen), den konvergerar för verkliga delar av s ≥3 / 2. Man kan nu undersöka huruvida den kan fortsättas analytiskt genom hela s, om den uppfyller en funktionell ekvation, där dess nollor är osv. Som med Riemann zeta-funktionen för primtal, ger L (E, s) information om den asymptotiska fördelningen av lösningarna (mod p, för stora p). Birch och Swinnerton-Dyer undersökte lösningarna med datorn på 1960-talet och formulerade deras berömda antagande för den asymptotiska fördelningen av antalet N (p) punkter på E över ändliga fält F (p), dvs mod p: ${\ displaystyle N (p) = \ left (p-a_ {p} \ right)}$

Diagram över logaritmen för den elliptiska kurvan på den vertikala axeln (blå färg), där M går genom de första miljoner primtal. Den ritas på den horisontella axelloggen (log ( M )), så att BSD-antagandet förutsäger en approximation till den raka linjen ritad i rött (lutning är lika med kurvens rang, här 1)${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {p \ leq M} {\ frac {N_ {p}} {p}}}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -5x}$

${\ displaystyle \ prod _ {p <M} {\ frac {N (p)} {p}} \ approx \ log (M) ^ {r}}$ För ${\ displaystyle M \ rightarrow \ infty.}$

Den ansluter en produkt med lokala densiteter (de enskilda ändliga fälten har maximalt p-element) via primtalen med den asymptotiska logaritmiska fördelningen (med en exponent r, eftersom här finns ”naturliga tal” tillgängliga). Översatt till språket för zeta-funktionen L (E, s) betyder det att ordningen på nollan av L (E, s) vid punkten s = 1 - om funktionen har en där - är lika med r grupp av rationella poäng är. För att göra detta måste det naturligtvis bevisas att L kan fortsättas analytiskt upp till s = 1, så att L kan utvidgas till en Taylor-serie där. Det finns också en mer detaljerad version som relaterar koefficienten för Taylor-expansionen vid punkten s = 1 till aritmetiska objekt, såsom ordningen på Tate-Shafarevich-gruppen, "lokala faktorer", kurvens verkliga period och ordningen på torsionsgrupperna.

Några ytterligare satser inom talteorin följer av antagandet av Birch-Swinnerton-Dyer, till exempel problemet med att bestämma kongruenta tal från Jerrold Tunnell .

status

Antagandet har hittills bara bevisats i speciella fall:

1. 1976 bevisade John Coates och Andrew Wiles att om E är en elliptisk kurva med ”komplex multiplikation” och L (E, 1) inte är 0, har E bara ett begränsat antal rationella punkter. De bevisade detta för imaginära kvadratfält K - det är här faktorn för "komplex multiplikation" kommer ifrån - med klass nummer 1; Nicole Arthaud (Arthaud-Kuhman) utvidgade detta till alla imaginära kvadratantalfält.
2. 1983 visade Benedict Gross och Don Zagier att om en modulär elliptisk kurva har en första ordningens noll vid s = 1, finns det en rationell punkt av oändlig ordning.
3. År 1990 visade Victor Kolyvagin att för en modulär elliptisk kurva för vilken L (E, 1) har en första ordningens noll vid s = 1, rankas r = 1. Han visade också för modulära kurvor att r = 0 om L inte har någon noll där.
4. 1991 visade Karl Rubin att för elliptiska kurvor E med komplex multiplikation med element från ett imaginärt kvadratiskt talfält K, liksom med icke-försvinnande L-serie vid s = 1, "p-delen" av Tate-Shafarevich grupp är att från Birch -Swinnerton-Dyer antagandet har följande ordning för alla primtal p> 7.
5. 1999 visade Andrew Wiles , Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond och Richard Taylor att alla elliptiska kurvor över de rationella siffrorna är modulära ( Taniyama-Shimura-antagandet ), så att resultaten av Kolyvagin och Rubin för alla elliptiska kurvor över den rationella siffror Nummer gäller.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
6. Under 2010 visade Manjul Bhargava och Arul Shankar att ett positivt mått på den elliptiska kurvan över de rationella siffrorna har rang 0 och uppfyller antagandet av Birch och Swinnerton-Dyer. Under 2014 visade Bhargava, Christopher Skinner och Wei Zhang att detta är fallet för majoriteten (över 66 procent) av elliptiska kurvor.

För kurvor med grupper av rang r> 1 har ingenting bevisats hittills, men det finns starka numeriska argument för gissningens riktighet.

Beviset för Birch och Swinnerton-Dyers fortfarande öppna antagande lades till i deras lista över Millenniumproblem av Clay Mathematics Institute .

litteratur

• Peter Meier, Jörn Steuding och Rasa Steuding: Elliptiska kurvor och en djärv gissning i vetenskapens spektrum Dokumentation: "Matematikens största gåtor" (6/2009), ISBN 978-3-941205-34-5 , sidorna 40–47 .
• Jürg Kramer Antagandet av Birch och Swinnerton-Dyer , Elements of Mathematics, Volym 57, 2002, s. 115–120, här online
• John Coates : Gissningen av Birch och Swinnerton-Dyer, i: John Forbes Nash jr., Michael Th. Rassias (red.), Öppna problem i matematik, Springer 2016, s. 207–224

Generellt i samband med elliptiska kurvor över de rationella siffrorna:

• Serge Lang: Fascination Mathematics , Vieweg 1989 (populär)
• ders.: Elliptiska kurvor - diofantinanalys , Springer 1978
• Neil Koblitz: Introduktion till elliptiska kurvor och modulformer 1984, Springer
• Husemoller: Elliptiska kurvor , Springer 1987
• Silverman: Aritmetiken för elliptiska kurvor , 1986, Springer
• Silverman, Tate: Rationella punkter på elliptiska kurvor 1992, Springer
• Knapp: Elliptiska kurvor , Princeton 1992
• Avner Ash, Robert Gross: Elliptic Tales: Curves, Counting, and Number Theory , Princeton University Press 2012, ISBN 0691151199 .

Individuella bevis

1. ↑ Diskriminanten är proportionell mot produkten av kvadraterna för de tre rotskillnaderna. Om två rötter i den kubiska ekvationen är desamma, försvinner D. Dessa så kallade ”singular points”, vid vilka de båda derivaten båda försvinner, bör undvikas. De har formen av en nod (två tangenter i en punkt) eller en punkt (dubbel tangent i en punkt) på x-axeln. I det "normala fallet" består kurvan av en enda kurva med endast en nollpunkt ("stängd" vid oändlighet) eller av två kurvor med en ytterligare kurva stängd vid änden med två riktiga nollor.
2. ↑ Proceduren var redan känt att Isaac Newton . Poincarés behandling visade också luckor; B. han bevisade inte gruppstrukturen. Norbert Schappacher Développement de la loi de groupe sur une cubique , Séminaire de théorie des nombres de Paris 1988–1989, Birkhäuser, 1990, s. 158–184
3. ↑ Enligt Faltings / Mordells sats finns det bara ändå många rationella poäng för kurvor med kön som är större än 1
4. ↑ varigenom ett primtal p förekommer i produkten som diskriminanten inte delar upp, ett så kallat " bra primtal ". Om den gjorde detta ("dålig prim") skulle E vara den elliptiska kurvan över det tillhörande ändliga fältet "singular" och proceduren är då mer komplicerad.
5. ↑ det är gruppen av ekvivalensklasser av "homogena utrymmen" för gruppen E över lokala organ. Lite är känt om dessa grupper; man vet inte ens om de är ändliga för alla elliptiska kurvor.
6. ↑ modulärt betyder att antalet lösningar mod p också härrör från Fourier-koefficienterna i en modulär form eller, bättre sagt, att en modulär form kan bildas med bara dessa lösningar . Modulära elliptiska kurvor kallas också "Weil curves".
7. ↑ För att bevisa Fermat-antagandet hade Wiles och Taylor redan bevisat detta för speciella (halvstabila) elliptiska kurvor
8. ↑ Bhargava, Shankar Ternära kubiska former med avgränsade invarianter och förekomsten av en positiv andel elliptiska kurvor med rang 0 , 2010, Arxiv
9. Arg Bhargava, Skinner, Zhang, En majoritet av elliptiska kurvor över Q tillfredsställer björk- och Swinnerton-Dyer-antagandet , Arxiv 2014

webb-länkar

• Officiell problembeskrivning i samband med Millennium Problems (PDF) av Andrew Wiles (140 kB)
• Föreläsning av Jürg Kramer
• Rubin, Silverberg: Ranger av elliptiska kurvor , Bulletin AMS, 2002