Styvhet

Den styvhet är en kvantitet i teknisk mekanik . Den beskriver kroppens motstånd mot elastisk deformation orsakad av en kraft eller ett ögonblick ( böjmoment eller vridmoment , beroende på belastningen ). Följaktligen finns det olika typer av styvhet: drag, skjuvning, böjning och vridstyvhet .

Styvheten hos en komponent beror inte bara på materialets elastiska egenskaper ( elasticitetsmodulen ) utan också avgörande på komponentens geometri.

Styvheten gäller inom det linjära elastiska området , dvs endast för små deformationer där dessa fortfarande är proportionella mot de verkande krafterna.

Styvheten ska inte förväxlas med styrkan . Detta är ett mått på den maximala spänningen som motstått vid plastisk deformation .

För smala kroppar med ett jämnt tvärsnittsarea (i storlek och form) över längden kan styvhet också betyda den relativa styvheten relaterad till längden . Det ömsesidiga styvheten kallas överensstämmelse .

För mer komplexa geometrier är det ofta inte möjligt att separera styvheterna beroende på belastningstyp. En belastning på tåget kan också leda till vridning , t.ex. B. i en helix . Den (absoluta) styvheten är då en tensor .

Relativ stelhet

Dragstyvhet

Dragstyvhet är produkten av elasticitetsmodul av elasticitet i materialet i den riktning lasten och den tvärsektionsarea vinkelrätt mot riktningen för lasten (oberoende av formen av tvärsnittet): ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ text {Stiffness}} = E \ cdot A,}$ till exempel i ${\ displaystyle \ mathrm {N}.}$

Denna formulering gäller för fri tvärgående sammandragning av tvärsnittet; i fallet med handikappad tvärgående sammandragning används den tvärgående sammandragningshandikappade modulen istället för elasticitetsmodulen.

Kroppens längsgående expansion är proportionell mot den verkande normalkraften och omvänt proportionell mot töjningsstyvheten i längdriktningen (längsstyvhet): ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta L} {L}} = {\ frac {F} {\ text {Stiffness}}} = {\ frac {F} {E \ cdot A}} \ vänster ( = {\ frac {\ sigma} {E}} \ höger)}$

med normal stress ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A}}.}$

Hur stark den absoluta längdförändringen hos en komponent som utsätts för böjspänning är vid en given belastning (dragkraft) beror inte bara på draghållfastheten utan också på dess längd, se nedan absoluta styvheter. ${\ displaystyle \ Delta L}$

Skjuvstyvhet

Skjuvstyvheten är produkten av materialets skjuvmodul och tvärsnittsarean : ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ text {Skjuvstyvhet}} = G \ cdot A \ cdot \ kappa \ left (= G \ cdot A_ {S} \ höger),}$ till exempel i ${\ displaystyle \ mathrm {N}}$

Den tvärsnittsberoende korrigeringsfaktorn tar hänsyn till den ojämna fördelningen av skjuvspänningen över tvärsnittet . Ofta uttrycks skjuvstyvheten också i termer av skjuvområdet . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$

Den skjuvning snedvridning av kroppen är proportionell mot den applicerade skjuvkraften och omvänt proportionell mot skjuvning styvhet: ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {Q} {GA \ kappa}} \ left (= {\ frac {Q} {GA_ {S}}} \ right)}$

Böjstyvhet

Böjstyvheten är produkten av materialets elasticitetsmodul och tvärsnittets tröghetsmoment (vilket i sin tur i stor utsträckning beror på tvärsnittsformen): ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ text {Böjstyvhet}} = E \ cdot I,}$ till exempel i ${\ displaystyle \ mathrm {N \ cdot mm ^ {2}}.}$

Den krökning kroppen är proportionell mot den pålagda böjmoment och omvänt proportionell mot böjstyvhet: ${\ displaystyle \ chi}$ ${\ displaystyle M _ {\ mathrm {B}}}$

${\ displaystyle \ chi = {\ frac {M _ {\ mathrm {B}}} {E \ cdot I}}.}$

Hur stark den absoluta nedböjningen eller sänkningen av en komponent som utsätts för böjspänning är vid en given belastning (böjmoment) beror inte bara på böjstyvheten utan också på dess längd och lagringsförhållanden .

Torsionsstyvhet

Den vridstyvhet (även hänvisad till som vridstyvhet) är produkten av den skjuvmodul av materialet och vrid ögonblick av tröghet : ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {T}}}$

${\ displaystyle {\ text {Torsionsstyvhet}} = G \ cdot I _ {\ mathrm {T}},}$ till exempel i ${\ displaystyle \ mathrm {N \ cdot mm ^ {2}}.}$

Tröghetsmomentet är relaterat till den axel kring vilken kroppen vrids. Det hävdas ofta felaktigt att det motsvarar polaritetens tröghetsmoment i ett tvärsnitt. I verkligheten gäller detta dock endast cirkulära och slutna cirkulära ringtvärsnitt. Annars kan en sluten formel bara anges för vridmomentet för tröghet i speciella fall. ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {p}}}$

Den vridning eller tvinning av kroppen (twist per längdenhet) är proportionell mot det pålagda vridmomentet och omvänt proportionell mot den vridstyvhet: ${\ displaystyle \ vartheta '}$ ${\ displaystyle M _ {\ mathrm {T}}}$

${\ displaystyle \ vartheta '= {\ frac {\ vartheta} {L}} = {\ frac {M _ {\ mathrm {T}}} {G \ cdot I _ {\ mathrm {T}}}}.}$

Den absoluta vinkeln med vilken en kropp vrids under en viss belastning beror inte bara på tröghetsmomentet utan också på dess längd och lagringsförhållandena. ${\ displaystyle \ vartheta}$

Vårkonstant

I praktiken är det ofta inte förlängningen utan den absoluta längdförändringen i förhållande till den verkande kraften som är av intresse. Därför beskrivs fjäderkonstanten för fjädrar av förhållandet mellan den kraft som krävs för en viss avböjning : ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ Delta L}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ Delta L}$

${\ displaystyle c = {\ frac {F} {\ Delta L}}.}$

För ett enhetligt tvärsnitt är fjäderkonstanten lika med fjäderns tvärsnitts styvhet dividerat med fjäderns längd:

${\ displaystyle c = {\ frac {E \ cdot A} {L}}.}$

Härav följer att fjäderkonstanten halveras när fjäderns längd fördubblas.

Exempel: En spännstång med tvärsnittet A  = 100 mm² och en elasticitetsmodul på 210 000 N / mm² har en (töjning) styvhet på E · A  = 2,1 · 10 ⁷  N. Om stången är L  = 100 mm lång därefter dess fjäderkonstant E · A  /  L  = 210 000 N / mm.

Se även

• Specifik styvhet

litteratur

• Norbert Herrlich, Johannes Kunz: Plastic Practice. Konstruktion, Volym 1 / Del 5 / Kap. 8.2: Design lämplig för användning, styvhet . WEKA Media, Augsburg 1999, ISBN 3-8111-5935-6 (från och med mars 1999, lösa bladutgåva i två mappar + 1 CD-ROM; Google Books )
• Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik, Volym 2: Elastostatik , Springer Verlag, 10: e, reviderad upplaga, 2009, ISBN 978-3-642-00565-7
• Karl-Eugen Kurrer : History of Structural Analysis. På jakt efter balans , Ernst and Son, Berlin 2016, s. 102f, ISBN 978-3-433-03134-6 .