Relativistisk tilläggssats för hastigheter

Den relativistiska additionssatsen för hastigheter säger hur ett objekts hastighet i en viss referensram ska bestämmas om objektet rör sig med en hastighet i förhållande till en andra referensram, som i sig rör sig med en hastighet i förhållande till den första . Satsen kan härledas från Lorentz-transformationen för tröghetssystem som rör sig mot varandra . ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} '}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

I klassisk mekanik läggs hastigheter till vektorellt ( ) och har därför ingen övre gräns. Men eftersom, enligt den speciella relativitetsteorin, kan ett objekts hastighet inte överstiga ljusets hastighet , kan de klassiska ekvationerna bara vara en approximation. Skillnader blir märkbara när en eller båda hastigheterna som ska läggas till inte längre är försumbar små jämfört med ljusets hastighet. ${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} '+ {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle c}$

Den relativistiska tilläggssatsen för hastigheter har bekräftats genom mätningar.

definition

Diagram för relativistisk tillägg av de korrigerade hastigheterna och vart och ett uttryckt i bråkdelar av ljusets hastighet (förklaringar se artikeltext). Konturlinjerna visar den resulterande hastigheten också normaliserad (gradering ändrad för ). Ju större de två initialhastigheterna desto mer avviker resultatet från den aritmetiska tillägget: den resulterande hastigheten kommer inte heller att överstiga ljusets hastighet.${\ displaystyle u_ {x} '}$${\ displaystyle v,}$
${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle u_ {x},}$${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle {\ tfrac {u_ {x}} {c}}> 0 {,} 9}$

En observatör rör sig mot observatören med hastigheten i riktning mot -axeln. För observatören rör sig en kropp med hastigheten u ' Sedan har denna kropp hastigheten med komponenterna för observatören${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle = (u_ {x} ^ {\ prime}, u_ {y} ^ {\ prime}, u_ {z} ^ {\ prime}) \,.}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

${\ displaystyle u_ {x} = {\ dfrac {u_ {x} '+ v} {1 + {\ dfrac {u_ {x}' \, v} {c ^ {2}}}}} \ qquad \ qquad \ Leftrightarrow {\ dfrac {u_ {x}} {c}} = {\ dfrac {{\ dfrac {u_ {x} '} {c}} + {\ dfrac {v} {c}}} {1+ { \ dfrac {u_ {x} '} {c}} \ cdot {\ dfrac {v} {c}}}}$

${\ displaystyle u_ {y} = {\ dfrac {u_ {y} '{\ sqrt {1- \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}} {1+ { \ dfrac {u_ {x} '\, v} {c ^ {2}}}}} = u_ {y}' \, {\ dfrac {1} {\ gamma \ left (1 + {\ dfrac {u_ { x} '\, v} {c ^ {2}}} \ höger)}}}$

${\ displaystyle u_ {z} = {\ dfrac {u_ {z} '{\ sqrt {1- \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}} {1+ { \ dfrac {u_ {x} '\, v} {c ^ {2}}}}} = u_ {z}' \, {\ dfrac {1} {\ gamma \ left (1 + {\ dfrac {u_ { x} '\, v} {c ^ {2}}} höger)}}}$

Med

• den ljusets hastighet och${\ displaystyle c}$
• den Lorentz faktorn (som alltid är större än eller lika med 1)

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}$

Uttryckt utan koordinater: Den resulterande hastigheten beror på det enkla tillägget av hastigheterna och med följande modifieringar: ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} '+ {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

• Hastigheten är mindre med en faktor .${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {{\ vec {u}} '\ cdot {\ vec {v}}} {c ^ {2}}}}$
• Komponenterna i hastigheten vinkelrätt mot är också mindre med en faktor .${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

tolkning

Är hastigheterna mycket små jämfört med ljusets hastighet

${\ displaystyle v \ ll c \ Leftrightarrow {\ frac {v} {c}} \ ll 1 \ ,,}$

nämnaren (och även termen under roten i täljaren) skiljer sig knappast från 1

${\ displaystyle \ Rightarrow 1 + {\ frac {u_ {x} '\, v} {c ^ {2}}} \ approx 1 \ ,, \ qquad {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v } {c}} \ höger) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ gamma}} \ ca 1 \ ,,}$

och det vanliga icke-relativistiska hastighetstillägget blir en bra approximation:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow u_ {x} & \ approx u_ {x} '+ v \\ u_ {y} & \ approx u_ {y}' \\ u_ {z} & \ approx u_ { z} '\ ,. \ end {align}}}$

Exempel: I ett tåg som går med går en person i körriktningen relativt tåget. Hastigheten för den person som mäts av en observatör som står vid vallen är bara 0,17 nm / h långsammare än den som erhålls med enkel tillsats . Som jämförelse: diametern på en atom är i storleksordningen 0,1 nm. Detta innebär att "tåglöparen" får nästan två atomdiametrar mindre långt per timme än man kan förvänta sig med icke-relativistiska beräkningar. I de flesta fall är detta försumbart för ett avstånd på 205 km, särskilt eftersom den ofta förbisedda lagen om giltiga siffror begränsar antalet signifikanta siffror. ${\ displaystyle v = 200 \ \ mathrm {km / h}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle u_ {x} ^ {\ prime} = 5 \ \ mathrm {km / h}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {x} ^ {\ prime} + v = 205 \ \ mathrm {km / h}}$

För hastigheter nära ljusets hastighet finns det dock betydande avvikelser från den icke-relativistiska tilläggsregeln, se följande exempel.

Slutsatser

Som en följd av tilläggssatsen kan ljusets hastighet inte överskridas även om två hastigheter överlagras.

1: a exemplet

Var där

${\ displaystyle v = 0 {,} 75c \ quad}$ och ${\ displaystyle \ quad u_ {x} '= 0 {,} 75c \,.}$

Sedan

${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {0 {,} 75c + 0 {,} 75c} {1 + 0 {,} 75 \ cdot 0 {,} 75}} = {\ frac {1 {,} 5c} {1 {,} 5625}} = 0 {,} 96c <c}$

och inte cirka 1,5 c .

2: a exemplet

Om observatörens hastighet är lika med ljusets hastighet är den densamma för observatören${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

Är till exempel

${\ displaystyle u_ {x} '= 0 \ ,, \ quad u_ {y}' = c \ ,, \ quad u_ {z} '= 0 \ ,,}$

överlämna sedan

${\ displaystyle u_ {x} = v \ ,, \ quad u_ {y} = c / \ gamma \ ,, \ quad u_ {z} = 0 \,.}$

Så det följer

${\ displaystyle {\ sqrt {u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} + u_ {z} ^ {2}}} = {\ sqrt {v ^ {2} + c ^ {2 } \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right)}} = {\ sqrt {c ^ {2}}} = c \,.}$

Härledning

För att förenkla formeln ges alla hastigheter som multiplar av ljusets hastighet i naturliga enheter . Då har tid och längd samma måttenhet och ljusets måttlösa hastighet är${\ displaystyle c = 1.}$

Från den omvända Lorentz-omvandlingen (ersättning av med - ) ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle t = {\ frac {t '+ v \, x'} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad x = {\ frac {x '+ v \, t' } {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad y = y '\, \ quad z = z'}$

det följer för skillnaderna, eftersom transformationen är linjär,

${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {\ mathrm {d} t '+ v \, \ mathrm {d} x'} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {d} x '+ v \, \ mathrm {d} t'} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad \ mathrm {d} y = \ mathrm {d} y '\, quad \ mathrm {d} z = \ mathrm {d} z' \,.}$

Därför följer det för de hastigheter som observatören bestämmer ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} x '+ v \, \ mathrm {d} t '} {\ mathrm {d} t' + v \, \ mathrm {d} x '}} = {\ frac {{\ frac {\ mathrm {d} x'} {\ mathrm {d} t '}} + v} {1 + v \, {\ frac {\ mathrm {d} x '} {\ mathrm {d} t'}}}} = {\ frac {u_ {x} '+ v} {1 + v \, u_ {x} '}} \,}$

${\ displaystyle u_ {y} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} y '{\ sqrt {1-v ^ {2 }}}} {\ mathrm {d} t '+ v \, \ mathrm {d} x'}} = {\ frac {{\ frac {\ mathrm {d} y '} {\ mathrm {d} t' }} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, {\ frac {\ mathrm {d} x '} {\ mathrm {d} t'}}}} = {\ frac {u_ {y} '{\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, u_ {x}'}} \,}$

${\ displaystyle u_ {z} = {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} z '{\ sqrt {1-v ^ {2 }}}} {\ mathrm {d} t '+ v \, \ mathrm {d} x'}} = {\ frac {{\ frac {\ mathrm {d} z '} {\ mathrm {d} t' }} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, {\ frac {\ mathrm {d} x '} {\ mathrm {d} t'}}}} = {\ frac {u_ {z} '{\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, u_ {x}'}} \.}$

Nedbrutet enligt de raderade variablerna resulterar följande relationer:

${\ displaystyle u_ {x} '= {\ frac {u_ {x} -v} {1-v \, u_ {x}}} \, \ quad u_ {y}' = {\ frac {u_ {y} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1-v \, u_ {x}}} \, \ quad u_ {z} '= {\ frac {u_ {z} {\ sqrt {1- v ^ {2}}}} {1-v \, u_ {x}}} \.}$

webb-länkar