Ungefärlig design av Kochański

Den ungefärliga konstruktionen av Kochański är en metod för att bestämma cirkelnumret . Det är uppkallat efter den polske matematikern Adam Adamandy Kochański , som utvecklade konstruktionen 1685. ${\ displaystyle \ pi}$

Att konstruera en längdlinje är väldigt enkelt: du ritar en cirkel med radie 1 (enhetscirkel). Halva omkretsen är då längden . Det är dock omöjligt att konstruera ett segment av längd , eftersom det inte kan konstrueras som ett transcendent tal . Kochańskis approximationskonstruktion ger en mycket bra approximation för eller flera av dem och kan också användas som en del av en approximationskonstruktion för kvadrering av cirkeln . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

konstruktion

Kochański approximation konstruktion

1. Rita en cirkel med radien runt mitten .${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle M}$
2. Sedan ritar du två cirkulära diametrar som är vinkelräta mot varandra och skär den cirkulära linjen vid punkterna och .${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle C}$
3. Från punkten markerar du radien på den cirkulära linjen och får punkten .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle Y}$
4. Den raka linjen skär den cirkulära tangenten som löper genom den vid punkten .${\ displaystyle MY}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$
5. Från punkten markerar du radien tre gånger på tangenten och du får punkten .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle Z}$

Längden på den (röda) rutten är en mycket bra approximation för halva omkretsen eller för produkten .${\ displaystyle {\ overline {AZ}}}$${\ displaystyle [AZ]}$${\ displaystyle r \ cdot \ pi}$

Uppskattning av felet

Värdet för bestämt med denna approximationskonstruktion är lite för litet, skiljer sig från det faktiska värdet 3.1415926 ... men bara på femte plats efter decimalpunkten. Som enkelt kan beräknas gäller följande: ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ overline {AZ}} = r \ cdot {\ sqrt {(3- \ tan 30 ^ {\ circ}) ^ {2} +4}} \ = \ r \ cdot {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 \ cdot {\ sqrt {3}}}} \ \ approx \ 3 {,} 1415333 \ cdot r}$

Värdet som bestäms med approximationskonstruktionen är cirka 99,99811 procent av det verkliga värdet. Felet är därför mindre än 2/1000 procent, eller för att uttrycka det på ett annat sätt: endast från en cirkelradie av meter är avståndets fel mer än en millimeter. ${\ displaystyle r = 16 {,} 86}$${\ displaystyle [AZ]}$

Använd när du kvadrerar cirkeln

Ungefärlig konstruktion för att kvadrera Kochańskis cirkel

Den cirkelns kvadratur - dvs konstruktionen av en kvadrat av samma område från en given cirkel med en linjal och kompass - är omöjligt. Enligt Kochański ger ruttlängden oss dock en mycket bra approximation för produkten .${\ displaystyle {\ overline {AZ}}}$${\ displaystyle r \ cdot \ pi}$

Cirkelns yta är . ${\ displaystyle r ^ {2} \ cdot \ pi}$

Så en rektangel uppförd över rutten (här ritad i rött) med höjden har nästan samma yta som den givna cirkeln. Denna rektangel kan i sin tur förvandlas till en kvadrat med samma yta utan fel med hjälp av metoden för att kvadrera rektangeln . Torget konstruerat på detta sätt är en mycket bra approximation för det olösliga problemet. ${\ displaystyle [AZ]}$${\ displaystyle r}$

Uppskattning av fel: Ytan på den gula rutan är cirka 99,99811 procent av den givna cirkelns yta. Eller för att uttrycka det på ett annat sätt: För cirklar med en radie mindre än 12,99 cm är skillnaden mellan de två områdena mindre än en kvadratmillimeter.

Individuella bevis

1. ↑ ^{a b} Dieter Grillmayer: Inom geometri. Del I: plangeometri . 2. Kochanskis approximationskonstruktion. 2009, s. 49 ( books.google.de [öppnade den 24 augusti 2021]).