Fredholm operatör

I funktionell analys , en gren av matematik , är klassen av Fredholm-operatörer (enligt EI Fredholm ) en viss klass av linjära operatorer som kan "nästan" inverteras. Varje Fredholm-operatör tilldelas ett heltal, detta kallas Fredholm-index , analytiskt index eller förkortat index .

definition

En avgränsad linjär operatör mellan två Banach-utrymmen och kallas Fredholm-operatören, eller kort sagt: " är Fredholm", om ${\ displaystyle A \ kolon X \ till Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle A}$

• ${\ displaystyle \ ker A}$har en ändlig dimension och
• ${\ displaystyle \ mathrm {ran} \, A}$har ändlig koddimension i .${\ displaystyle Y}$

Det är den kärna av , så mängden och den bild av , så delmängden . ${\ displaystyle \ ker A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {x \ i X: Ax = 0 \}}$${\ displaystyle \ mathrm {ran} \, A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {Ax \ mid x \ i X \} \ subseteq Y}$

Numret

${\ displaystyle \ mathrm {ind} (A) = \ dim (\ ker A) - \ mathrm {codim} (\ mathrm {ran} \, A, Y) \ in \ mathbb {Z}}$

kallas Fredholm index för . ${\ displaystyle A}$

egenskaper

Bilden är ett slutet underområde

Bilden av en Fredholm-operatör är ett slutet utrymme. ${\ displaystyle \ mathrm {ran} \; (A)}$

strukturera

Om en Fredholm-operatör har det ändliga dimensionella delområdet ett slutet kompletterande utrymme i , dvs. dvs. det gäller . Begränsningen av är då uppenbarligen en bijektiv operatör vars inversa också begränsas av satsen för den kontinuerliga inversen . Operatören är kontinuerligt inverterbar "förutom ett begränsat antal dimensioner". Det kan bevisa många av följande egenskaper. ${\ displaystyle A \ kolon X \ till Y}$${\ displaystyle \ ker (A)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X = \ ker (A) \ oplus W}$${\ displaystyle {\ widetilde {A}} \ kolon W \ till \ operatorname {ran} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

sammansättning

Sammansättningen av två Fredholm-operatörer och är återigen en Fredholm-operatör och gäller indexet${\ displaystyle A \ circ B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ operatorname {ind} (A \ circ B) = \ operatorname {ind} (A) + \ operatorname {ind} (B)}$.

Dubbel operatör

Låt vara operatören dubbel till Fredholm- operatören . Sedan och . Därför är det också en Fredholm-operatör och håller för sitt index .${\ displaystyle A '\ colon Y' \ to X '}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ dim (\ ker A ') = \ operatorname {codim} (\ mathrm {ran} (A))}$${\ displaystyle \ operatorname {codim} (\ mathrm {ran} (A ')) = \ dim (\ ker A)}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} (T ') = - \ operatorname {ind} (T)}$

Atkinsons sats

Enligt Atkinsons teorem är en operatör en Fredholm-operatör om och bara om det finns operatörer och kompaktoperatörer så att och håller, det vill säga om modulo kompaktoperatorer är inverterbara. I synnerhet är en avgränsad operatör en Fredholm-operatör om och endast om dess klass är inverterbar i Calkins algebra . ${\ displaystyle A \ kolon X \ till Y}$${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$${\ displaystyle AB_ {1} = I_ {Y} -K_ {1}}$${\ displaystyle B_ {2} A = I_ {X} -K_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ kolon X \ till X}$${\ displaystyle [A] _ {{\ mathcal {C}} (X)}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X) / {\ mathcal {C}} (X)}$

Kompakt störning

För varje Fredholm operatör och varje kompakt operatör finns finns också en Fredholm operatör med samma Fredholm index . Därför sägs indexet för en Fredholm-operatör vara oföränderligt under kompakta störningar. I synnerhet är varje kompakt störning av identitet , dvs. varje operatör av formen för en kompakt operatör, en Fredholm-operatör med index 0. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A + K}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I + K}$${\ displaystyle K}$

Fredholm-indexets egenskaper

Uppsättningen av Fredholm-operatörer mellan Banach-utrymmena och är öppen i uppsättningen av avgränsade operatörer . På varje ansluten komponent i indexet är konstant: för alla . Faktum är att kartläggningen är bijektiv. Detta resulterar omedelbart i följande egenskaper hos indexet: ${\ displaystyle \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X, Y)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} (A) = n_ {U} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle A \ in U}$${\ displaystyle U \ mapsto n_ {U}}$

• Indexmappningen är kontinuerlig.${\ displaystyle \ operatorname {ind} \ colon \ Phi (X, Y) \ to \ mathbb {Z}}$
• Indexet är invariant under små störningar, det vill säga det finns så för alla av följande gäller: .${\ displaystyle A \ in \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle S \ in L (X, Y)}$${\ displaystyle \ | S \ | <\ varepsilon}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} (A + S) = \ operatorname {ind} (A)}$
• Indexet är ett homotopi-invariant nummer.: Är kontinuerligt, sedan och har samma index.${\ displaystyle \ psi \ colon [0,1] \ to \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle \ psi (1)}$

Fredholm index surjectivity

Fredholm-index, som en kartläggning av uppsättningen av Fredholm-operatörer till uppsättningen heltal, är förväntat .

Punkterad grannskapssats

Om en Fredholm-operatör är, så finns det enligt Punctured Neighborhood Theorem en , så att för alla med${\ displaystyle A \ kolon X \ till X}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle 0 <| \ lambda | <\ varepsilon}$

1. ${\ displaystyle \ dim \ ker (A- \ lambda I) \ equiv \ mathrm {const} \ leq \ dim \ ker A}$ och
2. ${\ displaystyle \ mathrm {codim} \, \ mathrm {ran} (A- \ lambda I) \ equiv \ mathrm {const} \ leq \ mathrm {codim} \, \ mathrm {ran} A}$

gäller. Så i synnerhet är en Fredholm-operatör. Eftersom Fredholm-indexet är kontinuerligt följer det . The Punctured Neighborhood Theorem bevisades av Israel Gohberg .${\ displaystyle A- \ lambda I}$${\ displaystyle \ mathrm {ind} (A- \ lambda I) = \ mathrm {ind} (A)}$

Elliptiska operatörer

Varje enhetligt elliptisk differentialoperatör är en Fredholm-operatör.

Var och ett område med en Lipschitz-gräns . Sedan definieras den svaga elliptiska differentialoperatören med homogena Neumann-gränsvillkor av ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A \ colon H ^ {1,2} (\ Omega) \ to H ^ {1,2} (\ Omega) '}$

${\ displaystyle A (u) (v): = \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i, j} \ partial _ {i} va_ {ij} \ partial _ {j} u}$

för en Fredholm-operatör. ${\ displaystyle u, v \ i H ^ {1,2} (\ Omega)}$

Exempel

Skiftoperatör

Integrerad operatör

Ett klassiskt exempel på en Fredholm-operatör är operatören

${\ displaystyle A: = I + T}$,

där identitetsoperatören och är en kompakt operatör . På Banach-utrymmet för kontinuerliga funktioner eller på det för kvadratiska integrerbara funktioner har operatören formen ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle (A \ phi) (x) = \ phi (x) + \ int _ {a} ^ {b} k (x, y) \ phi (y) \ mathrm {d} y}$,

där den integrerade kärnan är en kontinuerlig eller kvadratisk integrerbar funktion. Denna Fredholm-operatör har index 0. I Fredholm-teorin undersöks ekvationer av typen . Den Fredholm alternativ som en central resultat av Fredholm teorin ger ett svar på de förhållanden under vilka ekvationer av denna typ kan lösas. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A \ phi (x) = f (x)}$

Laplace-operatör

Laplace-operatören

${\ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}}$

definierad på Sobolev-utrymmet för de två svagt differentierbara kvadratiska integrerbara funktionerna är en kontinuerlig elliptisk operator. Därför är han också Fredholm-operatör. Eftersom det också är självanslutet har det Fredholm Index 0. ${\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Med tanke på Laplace operatören i fördelnings mening på , han är inte en kontinuerlig operatör och således ingen Fredholm operatör med avseende på ovanstående definition. När det gäller obegränsade operatörer, som kommer att förklaras senare i artikeln, är det fortfarande en Fredholm-operatör. ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Elliptisk operatör på grenrör

Den cirkel (som tanke) kan förstås som en endimensionell sluten grenrör . En kontinuerlig elliptisk differentiell operatör av första ordningen på de smidiga funktionerna från cirkeln till de komplexa siffrorna är genom ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle D = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} - 2 \ pi i \ lambda}$

ges för en komplex konstant . Kärnan av är det utrymme som spänns av villkoren för formuläret , om och 0 i de andra fallen. Kärnan i den angränsande operatören är ett liknande utrymme, bara det ersätts av dess komplexa konjugat. Fredholm-operatören har således index 0. Detta exempel visar att en elliptisk operatörs kärna och kärna kan hoppa diskontinuerligt om elliptikoperatören varieras så att ovannämnda termer inkluderas. Eftersom hopp i kärnans och koksdimensionerna är desamma, ändras deras skillnad, indexet, ständigt . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ exp (i2 \ pi \, \ lambda \, x)}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle D}$

Obegränsat Fredholm operatörer

Hittills i denna artikel har Fredholm-operatörer bara betraktats som speciella begränsade operatörer. I indexteorin för elliptiska operatörer över icke-kompakta utrymmen är det till exempel vettigt att utvidga definitionen av Fredholm-operatören till obegränsade operatörer. Med undantag för operatörens närhet krävs definitionen identisk med definitionen i det begränsade fallet:

Var och två Banach-utrymmen och ett delutrymme av . En (obegränsad) operatör kallas en Fredholm-operatör, om ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ colon X \ supset {\ mathcal {D}} (A) \ to Y}$

• ${\ displaystyle A}$ avslutad är,
• kärnans dimension är ändlig,${\ displaystyle \ operatorname {ker} (A)}$
• koddimensionen för in är ändlig.${\ displaystyle \ operatorname {ran} (A)}$${\ displaystyle Y}$

Vissa författare kräver också att domänen är tät , vilket uppenbarligen är helt oberoende av den faktiska Fredholm-egenskapen. Som i fallet med begränsade operatörer är Fredholm-indexet klart ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ mathrm {ind} (A) = \ dim (\ ker A) - \ mathrm {codim} (\ mathrm {ran} (A)) \ in \ mathbb {Z}}$

Är definierad.

Om en sluten operatörs domän ges den så kallade grafnormen är det ett Banach-utrymme och , betraktat som en operatör från till , en avgränsad operatör. Följaktligen kan en obegränsad Fredholm-operatör alltid reduceras till en begränsad Fredholm-operatör. Följaktligen rymmer många fastigheter ovanifrån även för obegränsade Fredholm-operatörer. Sammankopplingen av obegränsade Fredholm-operatörer är återigen en Fredholm-operatör, för vilken ovanstående indexformel gäller; Atkinsons sats gäller också, och Fredholm-indexet för obegränsade Fredholm-operatörer är också oföränderligt under kompakta störningar och lokalt konstant (ordet "lokal" hänvisar här till den så kallade gap-metriska). Slutligen gäller Punctured Neighborhood Theorem även för obegränsade Fredholm-operatörer. Det finns dock ingen koppling till Calkin-algebra för obegränsade Fredholm-operatörer.${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A) \ delmängd X}$${\ displaystyle A \ kolon X \ till Y}$${\ displaystyle \ | x \ | _ {A}: = \ | x \ | _ {X} + \ | Ax \ | _ {Y}}$${\ displaystyle X_ {A}: = ({\ mathcal {D}} (A), \ | \ cdot \ | _ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X_ {A}}$${\ displaystyle Y}$

Se även

• Viktigt spektrum

litteratur

• Dirk Werner : Funktionsanalys. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 .

Individuella bevis

1. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 159 . 
2. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 156 . 
3. ↑ Masoud Khalkhali: Grundläggande icke-kommutativ geometri . 2: a upplagan. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6 , pp. 201 . 
4. Ür Jürgen Appell, Martin Väth : Element av funktionell analys . Springer / Vieweg, 2005, ISBN 3-322-80243-4 , pp. 164-165 . 
5. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 171, 293-294 . 
6. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 231 . 
7. ^ Martin Schechter: Fredholm Operators and the Essential Spectrum . (uppkopplad)