Dynamiskt system

Ett ( deterministiskt ) dynamiskt system är en matematisk modell av en tidsberoende process som är homogen med avseende på tid, vars ytterligare förlopp endast beror på det initiala tillståndet men inte på valet av startpunkt i tid. Termen dynamiskt system i sin nuvarande form går tillbaka till matematikerna Henri Poincaré och George David Birkhoff .

Dynamiska system hittar en mängd olika tillämpningar i vardagliga processer och tillåter insikter i många områden inte bara inom matematik (t.ex. talteori , stokastik ) utan också fysik (t.ex. pendelrörelse , klimatmodeller ) eller teoretisk biologi (t.ex. rovdjur-bytesmodeller ) .

Man skiljer mellan diskret och kontinuerlig tidsutveckling. I ett tidsdiskret dynamiskt system förändras tillstånden i lika långa tidshopp, d.v.s. H. i på varandra följande alltid samma tidsintervall, medan tillståndsförändringarna för ett tidskontinuerligt dynamiskt system sker i oändligt små tidssteg. Det viktigaste sättet att beskriva kontinuerliga dynamiska system är autonoma vanliga differentialekvationer . Ett blandat system av kontinuerliga och diskreta delsystem med kontinuerligt diskret dynamik kallas också hybrid . Exempel på sådan hybriddynamik finns i processteknik (t.ex. doseringsmästarsystem).

Viktiga frågor i samband med dynamiska system gäller främst deras långsiktiga beteende (t.ex. stabilitet , periodicitet , kaos och ergodicitet ), systemidentifiering och deras reglering .

Inledningsexempel

Exponentiell tillväxt

Två exponentiellt växande populationer x _t (röd) och y _t (blå) med y ₀ = x ₃

Ett enkelt exempel på ett dynamiskt system är utveckling över tid av en kvantitet som exponeras för exponentiell tillväxt , såsom en population av en obegränsad bakteriekultur . Tillståndet vid en fast tidpunkt ges här av ett icke-negativt reellt tal, nämligen befolkningens lagerstorlek, det vill säga systemets tillståndsutrymme är en uppsättning icke-negativa reella tal. Om du först överväger tillstånden vid de diskreta tidpunkterna , dvs. över perioden , gäller följande med en konstant tillväxtfaktor . Detta resulterar i tillståndet vid en tidpunkt . ${\ displaystyle X = [0, \ infty)}$${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc}$${\ displaystyle t = 0,1,2, \ dotsc}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle x_ {t + 1} = ax_ {t}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle t \ in T}$${\ displaystyle x_ {t} = a ^ {t} x_ {0}}$

Den karakteristiska egenskapen hos ett dynamiskt system är att tillståndet beror på förfluten tid och på initialvärdet , men inte på valet av den initiala tidpunkten. Låt till exempel vara en annan exponentiellt växande befolkning med samma tillväxtfaktor , men med tanke på det ursprungliga värdet . Vid en tidpunkt gäller då ${\ displaystyle t \ in T}$${\ displaystyle x_ {0} \ i X}$${\ displaystyle y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle y_ {0} = x_ {t}}$${\ displaystyle s \ in T}$

${\ displaystyle y_ {s} = a ^ {s} y_ {0} = a ^ {s} a ^ {t} x_ {0} = a ^ {s + t} x_ {0} = x_ {s + t }}$.

Den andra befolkningen växer alltså under samma period som den första under perioden . Detta kan vara eller på annat sätt uttrycka: Den så kallade flödesfunktion som helst och alla initiala tillståndet tillståndet vid tids medarbetare, i detta fall , nöjda för alla och alla , ekvationen ${\ displaystyle [0, s]}$${\ displaystyle [t, s + t]}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon T \ times X \ to X}$${\ displaystyle t \ in T}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle \ Phi (t, x)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ Phi (t, x) = a ^ {t} x}$${\ displaystyle s, t \ in T}$${\ displaystyle x \ i X}$

${\ displaystyle \ Phi {\ bigl (} s, \ Phi (t, x) {\ bigr)} = \ Phi (s + t, x)}$.

Detta är den så kallade semigroupegenskapen för ett dynamiskt systems flöde.

Vårpendel

En annan källa för dynamiska system är matematisk modellering av mekaniska system, i det enklaste fallet rörelse av en masspunkt under påverkan av en kraft som beror på platsen och hastigheten, men inte uttryckligen på tiden. Tillståndet för ett sådant system vid en tidpunkt anges som det beställda paret som består av platsen och hastigheten . I synnerhet definieras sedan hela rörelsekvensen tydligt genom att ange en initial position tillsammans med en initial hastighet . I fallet med en endimensionell rörelse är detta tillståndsutrymmet . ${\ displaystyle t \ in T = [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle (x (t), v (t))}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle v (t)}$${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$${\ displaystyle v (0) = v_ {0}}$${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$

Dämpad svängning och väg i tillståndsutrymmet

Som ett konkret exempel ska en fjäderpendel betraktas, på vars massa fjäderns återställningskraft och eventuellt en hastighetsberoende friktionskraft verkar med massan . Om man betecknar den totala kraften med , resulterar det vanliga differentiella ekvationssystemet för tillståndet${\ displaystyle m}$${\ displaystyle F (x (t), v (t))}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} (t) & = v (t), \\ {\ dot {v}} (t) & = {\ frac {1} {m}} F (x (t), v (t)), \ slut {justerad}}}$ 

där punkten ovanför variabeln betecknar derivatet enligt - i detta exempel kontinuerlig - tid. Den första ekvationen säger att hastigheten är härledda från platsen med avseende på tid, och den andra är direkt från Newtons andra axiom , enligt vilken mass gånger acceleration är lika med den totala kraften som verkar på masspunkten.

Det kan visas att även i detta system flödet

${\ displaystyle \ Phi \ kolon T \ gånger X \ till X, \ quad \ Phi (t, x_ {0}, v_ {0}) = {\ bigl (} x (t), v (t) {\ bigr )}}$

uppfyller halvgruppsegenskapen. Om man tittar på systemets tillståndsförlopp i tillståndsutrymmet , dvs. den så kallade vägen , uppstår en bana i fallet med en dämpad svängning av fjäderpendeln , som spiral mot viloläget . ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ {(x (t), v (t)) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle (0,0)}$

Definitioner

Ett dynamiskt system är en trippel bestående av en uppsättning eller den perioden , en icke-tom mängd , det tillståndsutrymmet (den fasrummet ), och en operation från på så att för alla stater och alla tider : ${\ displaystyle (T, X, \ Phi),}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {N} _ {0}, \ mathbb {Z}, \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Phi \ colon \, T \ times X \ to X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle x \ i X}$ ${\ displaystyle t, s \ in T}$

1. ${\ displaystyle \ Phi (0, x) = x}$   ( Identitetsegenskap ) och
2. ${\ displaystyle \ Phi (s, \ Phi (t, x)) = \ Phi (s + t, x)}$   ( Semigroup-egendom ).

Om eller är betyder det tidsdiskret eller diskret för kort , och med eller kallas tidskontinuerligt eller kontinuerligt . kallas också ett diskret eller kontinuerligt dynamiskt system för realtid eller som invertibelt , om eller är tillämpligt. ${\ displaystyle T = \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle T = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$ ${\ displaystyle T = \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle T = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$ ${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$${\ displaystyle T = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle T = \ mathbb {R}}$

För varje avbildnings kallas den rörelse av , och uppsättningen kallas omloppsbana (den (fullständiga) omloppsbana , den bana , den fas kurvan , den bana kurva , den kurva lösningen ) av . Den positiva halvomloppsbana eller framåt bana av säga och om inverterbar, är den negativa halv bana eller omvänd omlopp av . ${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle \ beta _ {x} \ kolon \, T \ till X, \, t \ mapsto \ beta _ {x} (t): = \ Phi (t, x)}$${\ displaystyle x = \ beta _ {x} (0)}$${\ displaystyle O (x): = \ {\ beta _ {x} (t) \ mid t \ in T \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle O ^ {+} (x): = \ {\ beta _ {x} (t) \ mid t \ i T \ cap \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \}}$${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$${\ displaystyle O ^ {-} (x): = \ {\ beta _ {x} (t) \ mid -t \ i T \ cap \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \}}$${\ displaystyle x}$

Ett diskret dynamiskt system är kontinuerligt om dess tillståndsutrymme är ett (icke-tomt) metriskt utrymme och om varje transformation som tillhör en tidpunkt är kontinuerlig . Ett kontinuerligt dynamiskt system kallas kontinuerligt eller halvflöde om dess tillståndsutrymme är ett metriskt utrymme och om varje transformation som tillhör en tidpunkt såväl som varje tillståndsrörelse är kontinuerlig. Dessutom kallas ett kontinuerligt diskret dynamiskt system också en kaskad och ett halvflöde kallas en flod . Tillståndsutrymmet för ett kontinuerligt dynamiskt system kallas också fasutrymmet och för var och en av banorna som faskurva eller banan för vilken helt enkelt skrivs med . ${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t \ in T}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {t} \ colon \, X \ till X, \, x \ mapsto \ varphi _ {t} (x): = \ Phi (t, x),}$ ${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle x_ {0} \ i X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x \ colon \, t \ mapsto x (t)}$${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$

Kopplat till kontinuerligt och givet fall ytterligare diskreta dynamiska system i ett enda system, kallas det ett kontinuerligt diskret it eller hybrid it dynamiskt system.

Anmärkningar

• I litteraturen skiljer man ofta inte mellan dynamiska system och kontinuerliga dynamiska system eller flöden, och ett flöde uppfattas ofta som ett differentierbart flöde (se nedan). Det finns också mer generella definitioner av kontinuerliga dynamiska system där z. B. ett topologiskt grenrör , ett (möjligen kompakt ) Hausdorff-utrymme eller till och med bara ett topologiskt utrymme tas som fasutrymme .
• Istället för den vänstra operationen som i definitionen ovan definieras dynamiska system ofta med en rätt operation på , ordningens argument vänds därefter därefter .${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} \ kolon \, X \ gånger T \ till X}$${\ displaystyle X}$
• I definitionen krävs operationens identitetsegenskap eftersom varje tillstånd , så länge ingen tid går (dvs. för ), inte bör förändras. Den här egenskapen innebär att motsvarande transformation är identisk mappning till :  ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varphi _ {0} = \ operatorname {id} _ {X}.}$
• Semigroupegenskapen gör det dynamiska systemet homogent med avseende på tid: Du kommer först från staten till staten i tidsenheter och sedan därifrån i tidsenheter till staten , dvs. H. samma tillstånd som man kommer direkt från staten i tidsenheter. De alla tidpunkter som hör transformationer bildar en kommutativ semigrupp med kompositionen som en länk och ett neutralt element , liksom bilden är en semi grupp homomorfism :  för alla denna omvandling semigrupp är i inverterbara dynamiska system även en grupp , eftersom det för alla är det inversa elementet till${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Phi (t, x)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ Phi (s + t, x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s + t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi _ {t} \ colon \, X \ till X, \, x \ mapsto \ varphi _ {t} (x): = \ Phi (t, x),}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$${\ displaystyle T \ till X ^ {X} \ !, \, t \ mapsto \ varphi _ {t},}$${\ displaystyle \ varphi _ {s + t} = \ varphi _ {s} \ circ \ varphi _ {t}}$${\ displaystyle s, t \ i T.}$${\ displaystyle t \ in T}$${\ displaystyle \ varphi _ {- t}}$${\ displaystyle \ varphi _ {t}.}$
• Ett dynamiskt system med eller kan vara exakt inverterbart och sedan till ett dynamiskt system för att fortsätta när man ska tillhöra en omvänd funktion har. Det finns då och rekursivt för alla Om kontinuerligt, sedan ges genom unikt för alla med och även alla transformationer som tillhör negativa tider. En operation av på förklaras med så exakt att den inverterbara fortsättningen av är.${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$${\ displaystyle T = \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle T = \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle (T ', X, \ Phi')}$${\ displaystyle (T '\ cap \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, X, \ Phi' | _ {(T '\ cap \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}) \ gånger X}) = (T, X, \ Phi)}$ ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$ ${\ displaystyle (\ varphi _ {1}) ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {- 1}: = (\ varphi _ {1}) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {- (n + 1)}: = \ varphi _ {- 1} \ circ \ varphi _ {- n}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}.}$${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$${\ displaystyle \ varphi _ {- t}: = \ varphi _ {1-s} \ circ \ varphi _ {- (n + 1)}}$${\ displaystyle t = n + s \ i \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle s \ in [\, 0,1)}$${\ displaystyle T ': = T \ cup \ {- t \ mid t \ in T \}}$${\ displaystyle \ Phi '\ kolon \, T' \ gånger X \ till X, \, (t, x) \ mapsto \ Phi '(t, x): = \ varphi _ {t} (x),}$${\ displaystyle T '}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (T ', X, \ Phi')}$${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$
• På grund av halvgruppsegenskapen kan varje diskret dynamiskt system eller som en iterativ tillämpning av den transformation som den tillhör förstås med tiden som iterationsindex:  för alla och med är dessutom för alla därför definieras redan klart av och är lättare att skriva.${\ displaystyle (\ mathbb {N} _ {0}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ varphi: = \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {t + 1} = \ varphi \ circ \ varphi _ {t}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle \ varphi _ {t-1} = \ varphi ^ {- 1} \ circ \ varphi _ {t}}$${\ displaystyle -t \ in \ mathbb {N} _ {0}.}$${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle (X, \ varphi)}$
• Om du begränsar tiden till ett kontinuerligt dynamiskt system , blir alltid ett diskret dynamiskt system. Å ena sidan, denna diskretisering är ofta används i numerik , t.ex. B. i bakåt analys. Å andra sidan finns det naturliga och tekniska system som kännetecknas av icke-kontinuerliga tillståndsförändringar och som kan modelleras direkt av diskreta dynamiska system.${\ displaystyle (T, X, \ Phi),}$${\ displaystyle T \ cap \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (T \ cap \ mathbb {Z}, X, \ Phi | _ {(T \ cap \ mathbb {Z}) \ times X})}$
• Differentierbara (halva) flöden är (halva) flöden där varje transformation som tillhör en tidpunkt är differentierbar . I synnerhet är var och en av dessa transformationer av ett differentierbart flöde en diffeomorfism .${\ displaystyle (T, X, \ Phi)}$
• I teorin om dynamiska system är man särskilt intresserad av banor för . Här är gränssatser och deras stabilitet av stor betydelse. De enklaste gränsuppsättningarna är fasta punkter , det här är de punkter med för alla , dvs. de tillstånd vars omlopp är en-elementuppsättningen . Man är också intresserad av punkter vars bana konvergerar mot en fast punkt. Förutom fasta punkter är de viktigaste gränssättningarna de periodiska banorna . Men särskilt i icke-linjära system stöter man också på komplexa, icke-periodiska gränser. I teorin om icke-linjära system, fasta punkter, periodiska banor och allmänna icke-periodiska gränsuppsättningar underordnas under den generiska termen attractor (eller repeller , om avstötande, se också konstig attractor ). Dessa undersöks i detalj i kaoteteorin .${\ displaystyle t \ to \ pm \ infty}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle \ Phi (t, x) = x}$${\ displaystyle t \ in T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ {x \}}$${\ displaystyle t \ to + \ infty}$

Viktiga specialfall

Vanliga differentialekvationer

Kontinuerliga dynamiska system förekommer främst i samband med vanliga differentialekvationer . Den autonoma differentialekvationen ges

${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t))}$

med ett vektorfält i ett fält . Om ekvationen för alla de initiala värdena för en för alla definierade och unik lösning med besitter, därefter med ett kontinuerligt dynamiskt system. Systemets banor är därför lösningskurvorna för differentialekvationen. De fasta punkterna här är de med ; de kallas också stationära eller kritiska punkter i vektorfältet. ${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x_ {0} \ i X}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ beta _ {x_ {0}} \ colon \ mathbb {R} \ to X}$${\ displaystyle \ beta _ {x_ {0}} (0) = x_ {0}}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle \ Phi (t, x): = \ beta _ {x} (t)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle f (x) = 0}$

iteration

Diskreta dynamiska system är nära relaterade till iteration av funktioner. Om det finns en självmappning av en godtycklig uppsättning , dvs en funktion som åter tilldelar ett element till var och en, kan man överväga den rekursivt definierade sekvensen för ett initialvärde . Med -följande körning ( gånger) gäller sedan . Ekvationen visar att med detta finns ett diskret dynamiskt system. Omvänt, för ett dynamiskt system av en bild med definierad. De fasta punkterna i ett sådant system är de med . ${\ displaystyle g \ kolon X \ till X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle g (x) \ i X}$${\ displaystyle x_ {0} \ i X}$${\ displaystyle x_ {n + 1} = g (x_ {n})}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle g ^ {n} = g \ circ g \ circ \ ldots \ circ g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {n} = g ^ {n} (x_ {0})}$${\ displaystyle g ^ {m + n} = g ^ {m} \ circ g ^ {n}}$${\ displaystyle (\ mathbb {N} _ {0}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle \ Phi (n, x_ {0}) = g ^ {n} (x_ {0})}$${\ displaystyle (\ mathbb {N} _ {0}, X, \ Phi)}$${\ displaystyle g (x): = \ Phi (1, x)}$${\ displaystyle g \ kolon X \ till X}$${\ displaystyle \ Phi (n, x_ {0}) = g ^ {n} (x_ {0})}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle g (x) = x}$

Exempel på detta är Markov-kedjor i diskret tid med ändligt tillståndsutrymme . Tillståndsutrymmet för ändamålen för ett dynamiskt system är då alla sannolikhetsvektorer för tiden , och iterationen ges av den vänstra multiplikationen av sannolikhetsvektorn med övergångsmatrisen . De fasta punkterna är då de stationära fördelningarna . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle M}$

Se även

• Bifurcation (matematik)
• C * -dynamiskt system
• Stokastisk process
• Symbolisk dynamik
• W * -dynamiskt system

litteratur

• Herbert Amann: Vanliga differentialekvationer . 2: a upplagan. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0 . 
• George David Birkhoff : Dynamiska system. Pastor Ed. AMS, Providence, RI, 1966.
• Manfred Denker: Introduktion till analys av dynamiska system . Springer, Berlin et al. 2005, ISBN 3-540-20713-9 . 
• John Guckenheimer , Philip Holmes: Icke-linjära oscillationer, dynamiska system och bifurcationer av vektorfält. Corr. 3: e tryckningen. Springer, New York 1990, ISBN 3-540-90819-6 .
• Diederich Hinrichsen, Anthony J. Pritchard: Matematiska systemteori I - modellering, statlig rymdanalys, stabilitet och robusthet. Springer, 2005.
• Wolfgang Metzler: Icke-linjär dynamik och kaos , BG Teubner, Stuttgart / Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1 .
• Gerald Teschl : Vanliga differentialekvationer och dynamiska system . American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 ( gratis onlineversion ). 
• J. de Vries: Element av topologisk dynamik. Springer, 1993.

webb-länkar

• Historia av dynamiska system . I: Scholarpedia . (Engelska, inklusive referenser)
• Dynamiska system . I: Scholarpedia . (Engelska, inklusive referenser)