Cullens nummer

Ett Cullen -nummer är ett nummer i formuläret . Detta är de siffror som pastor James Cullen studerade 1905 . Han märkte att förutom alla nummer i denna form till sammansatta tal, det vill säga att de inte är primtal . Hans osäkerhet var av Allan JC Cunningham 1906 elimineras av denna plats avdelaren 5591: e Cunningham visade att alla är sammansatta upp till n = 200, med ett möjligt undantag för n = 141. ${\ displaystyle C_ {n} = n \ cdot 2 ^ {n} +1}$ ${\ displaystyle C_ {1} = 3}$${\ displaystyle C_ {99}}$${\ displaystyle C_ {53}}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$

1958 bekräftade Raphael M. Robinson att det är ett primtal och visade att förutom och alla Cullen -tal från till är sammansatta tal. ${\ displaystyle C_ {141}}$${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {141}}$${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {1000}}$

Wilfrid Keller har 1 984 visat det och även primtal är det, men alla andra med är Cullen -sammansatta. ${\ displaystyle C_ {4713}, C_ {5795}, C_ {6611}}$${\ displaystyle C_ {18496}}$${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle n \ leq 30000}$

För närvarande (från november 2015) är Cullen -primtal kända för följande : ${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle n}$

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, ... (sekvens A005849 i OEIS )

Den hittills största kända Cullen prime är således att den har 852 siffror 2010. Det upptäcktes den 25 juli 2009 av en anonym japansk deltagare i PrimeGrid Internet -projektet .${\ displaystyle C_ {6679881} = 6679881 \ cdot 2 ^ {6679881} +1}$

Det är känt att det inte finns fler primära Cullen -tal upp till . Det antas dock att det finns oändligt många Cullen -primtal. Det är ännu inte känt om och kan vara bra samtidigt.${\ displaystyle n <13705481}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C_ {n}}$

Egenskaper för Cullen Numbers

Nästan alla Cullen -nummer är sammansatta tal. De är delbara med primtal i formuläret , vilket måste vara ett primtal för formuläret . På grund av Fermats lilla sats kan man också dra slutsatsen att om det är en udda primtal måste det finnas en faktor med för .${\ displaystyle p = 2n-1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 8k \ pm 3}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle C_ {m (k)}}$${\ displaystyle m (k) = (2 ^ {k} -k) \ cdot (p -1) -k}$${\ displaystyle k \ geq 0}$

Dessutom kunde följande visas:

Primtalet delar Cullen -talet när Jacobi -symbolen är .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle C _ {\ frac {p + 1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = - 1}$

Primtalet delar Cullen -talet när Jacobi -symbolen är .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle C _ {\ frac {3p-1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = + 1}$

Generaliserade Cullen -nummer

Nummer i formuläret med kallas generaliserade Cullen -nummer . Om ett sådant tal är ett primtal, kallas det ett generaliserat Cullen -primtal .${\ displaystyle n \ cdot b ^ {n} +1}$${\ displaystyle n + 2> b}$

De minsta , för vilka är primtal, är för stigande = 1, 2, ...: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ cdot b ^ {n} +1}$${\ displaystyle b}$

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, ... (sekvens A240234 i OEIS )

Följande är en lista över de första generaliserade Cullen -primtalen för baser mellan 1 och 30. Dessa undersöktes upp till minst 100 000. Om villkoret inte gäller, men antalet fortfarande är primärt, sätts det inom parentes: ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + 2> b}$${\ displaystyle n \ cdot b ^ {n} +1}$

Den hittills största generaliserade Cullen prime är . Den har 3 921 539 jobb och upptäcktes den 3 september 2019 av Tom Greer, en deltagare i PrimeGrid Internet -projektet.${\ displaystyle 2805222 \ cdot 25 ^ {2805222} + 1 = 2805222 \ cdot 5 ^ {5610444} +1}$

Se även

• Woodalls nummer

litteratur

• J. Cullen: Fråga 15897 , Educ. Times, (december 1905) 534.

webb-länkar

• Cullen Numbers
• Woodall -nummer

Individuella bevis

1. ↑ PrimeGrids Cullen Prime Search, 6679881 · 2 ^ 6679881 + 1. PrimeGrid, åtkomst 2 november 2016 . 
2. ^ Chris K. Caldwell: The Top Twenty: Cullen Primes. Prime Pages, öppnade 26 april 2018 . 
3. ↑ ^{a b} Weisstein, Eric W.: Cullen Number. MathWorld, åtkomst 1 maj 2016 . 
4. ↑ ^{a b c d e f} Chris K. Caldwell: Cullen Prime. The Prime Glossary, öppnades 1 maj 2016 . 
5. ↑ Generaliserade Cullen -primtal nb ⁿ +1. Hämtad 1 maj 2016 (Lista över generaliserade Cullen -primtal med bas 3 till 100). 
6. ↑ Lista över generaliserade Cullen -primtal med baserna 101 till 10000. Hämtad 1 maj 2016 . 
7. ^ Chris K. Caldwell: De största kända primtalen! 2805222 5 ^ 5610444 + 1. Prime Pages, öppnade 6 september 2019 . 
8. ↑ Chris K. Caldwell: The Top Twenty: Generalized Cullen. Prime Pages, öppnade 6 september 2019 .